一類微分方程的解及其解的導數與不動點的關系

孟琳琳

（鄭州工業應用技術學院，河南 鄭州 451150）

1 微分方程的相關基本定義

微分方程指的是由未知函數的導數與自變量之間形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式兩邊成立的函數.微分方程具有十分廣泛的應用，在物理學中許多涉及到動態的變化量的研究常用到微分方程.包括涉及到變力的動力學和運動學等，例如受到空氣阻力的落體運動都可以利用微分方程進行求解.

圖1 微分方程的坐標圖

當未知函數是一元函數時，未知函數導數與自變量之間的關系等式即為一類微分方程，也稱常微分方程.當未知函數為多元函數時，未知函數導數與自變量之間的關系等式稱為偏微分方程.微分方程的數學模型如圖1.

2 一類微分方程的解與不動點

假設某一類微分方程形式為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左邊部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy為某個二元函數T(x,y)的全微分，則可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為全微分方程，二元函數T(x,y)為該全微分方程的原函數.

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一個原函數，則對全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0進行通積分，可得到全微分的通積分T(x,y)=A，其中A為任意的常數[1].

假若M(x,y)dx+N(x,y)dy=0中的M(x,y)和N(x,y)在B：|x-x0|≤a，|y-y0|≤b形成的矩形范圍內連續并且可微，則微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程的充分且必要條件是)在實數集R內成立，并且還滿足

因為y=y（x）是微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的解，所以M(x,y(x))dx+N(x,(x))dy(x)=0，又因為T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的原函數，所以dT(x,y(x))=0，所以T(x,y)=A.所以M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的任意解y=y（x）均能使T(x,y)=A[2].

又因為y=y（x）是T(x,y)=A方程的解，所以存在一個常數A使T(x,y(x))=A.通過對x進行微分，同時由T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的原函數的性質得到dT(x,y(x))=M(x,y(x))dx+N(x,(x))dy(x)=0=0，所以y=y（x）是微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的解.所以T(x,y)=A的任意解均是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的解.

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假設M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，則存在一個原函數T(x,y)使得(x,y)dx+N(x,y)dy，對)兩式分別對y和x求偏導數得到和，又因為M(x,y)，N(x,y)在R上連續并且可微，所以，即

3 一類微分方程解的導數與不動點

定義1 若x1，x2，…（|xj|＝rj，0＜r1＜r2＜…）為亞純函數f(x)的不動點，則+∞}稱為f（x）的不動點的收斂指數顯然有τ（f）=

假設u（x）是亞純函數，且ρ（u）＜β＜＋∞，Γ=｛（k1，j1），（k2，j2），…，（km，jm）｝，均表示不同整數對的有限集合，并且滿足ki＞ji≥0（i=1，2，…，m），對于任意給定的正常數ε，那么存在（1，+∞）的有限對數測度有限的子集E，對所有x滿足|x|=r[0，1]∪E和（k，j）∈Γ 有

假設T（x）是有限級超越亞純函數，微分方程f（k）（x）+T（x）f（x）=0（k≥2）存在非零亞純解f（x）.

令w（x）=f（x）-x，則λ'2（f）＝=0，其中Rj（A）（j=1,2,…,2k-1）是關于w的微分多項式，系數形式為cx，c為常數，不要求Rj（A）每次出現都一樣.其中N獨立同分布.

證明 對w=f-z求k-1次導數并通過方程f（k）+Tf=0可得w（k+1）=-Tf'-T'f，從而得到f=w+x=0.

假設A(z)為有限級超越亞純函數，微分方程f(k)（x）＋T（x）f（x）=0（k≥2）存在非零亞純解f（x）.令w（x）=f'（x）-x，則Tw(k)-T'w(k-1)+T2w+T2x-T'x(k-1)=0.對w=f'-x求k次導數并結合方程f(k)+Tf=-可得w(k)=-Tf'-T'f，所以有將f和對f'求k-1次導數后代入f（k）+Tf=0并整理得Tw（k）-T'w(k-1)+T2w+T2x-T'x(k-1)=0由Clunie 引理知T2x-T'x(k-1)不恒等于零[6].

假設T（x）和F（x）是有限級超越亞純函數，微分方程f（k）+T（x）f＝F（x）（k≥2）存在非零亞純解f（x）.

如果F（x）≠xA（x），則對于方程f（k）＋T（x）f＝F（x）的非零亞純解f（x）有無窮多個不動點，且τ（f）＝σ（f）＝＋∞和τ2（f）＝σ2（f）＝σ 至多有一個例外解f0（z）.

如果TF′－T′F＋T′x（k－1）－TT′x≠0，則對于方程f（k）＋T（x）f＝F（x）的非零亞純解f（x）的導數f′（x）有無窮多個不動點,且τ（f′）＝σ（f）＝＋∞和τ2（f′）＝σ2（f）＝σ 至多有一個例外解f0（x）.

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次數為k 的多項式,則對于方程非零亞純解f（x）的k－1 階導數f（k-1）（x）有無窮多個不動點，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ 至多有一個例外解f（x）.

4 一類微分方程解與解的導數與不動點關系

假設函數f(x)為亞純函數，且σ(f)=σ＜+∞，那么對于坌ε＞0，都存在有限對數測度的集合M奐(1，+∞)，使所有滿足的x，當γ→+∞時，存在|f(x)|≤exp{γσ+ε}[7].

假設多項式g(x)=（an+ibn）xn+（an-1+ibn-1）xn-1+…+（a1+ib1）x+（a0+ib0），其中aj，bj（j=1,2，…，n）是實數，且滿足，n為大于等于1的整數，T(x)是不恒為0的亞純函數，σ（T）＜n.令p(a)=T(x)eg(x)，x=γeiθ，δ（g，θ）=αcosnθ-βsinnθ，如果，都存在線測度為零的集合M1奐[0,2π）,滿足∈[0,2π)-(M1∪M2),存在R＞0，使對|x|=γ＞R 有：

（1）如果δ（g，θ）＞0，則有exp（（1-ε）δ（g，θ）γn）≤|g(γeni)|≤exp（（1+ε）δ（g，θ）γn）.

（2）如果δ（g，θ）＞0，則有exp（（1+ε）δ（g，θ）γn）≤exp（（1-ε）δ（g，θ）γn）.其中M2={θ∈[0,2π）；δ（g，θ）=0}是有限集.

假設T0，T1，…，Tn-1（n≥1）是不完全恒等于0的有限級亞純函數，且σ（Tj）＜n，Gj（x）=ajnxn+aj（n-1）xn-1+…aj1x+aj0x 為n次多項式，其中ajn（j=0，1，2，…，kl；m=0，1，2，…，n)為復常數，且滿足ajn=cja0n(o

通過對微分方程進行方程假設和窮級轉換，在非零亞純函數的變化下，通過極點等數據方程轉化，構建微分方程的等式典型乘積或通過多項式建立，對方程等式進行數學歸納.在對數測度為有限的集合條件中，通過范圍假設，引理帶入運算，建立相應的解集表達式.通過微分方程的解集表達式，進行方程式的解集求導，獲取一類微分方程的解的一階導數.對解集等式和解集一階導數式進行變形，并代入上述引理等式中，通過變形轉化和數據假設推斷，從而得到不動點的關系等式.

5 結束語

綜上所述，通過對一類微分方程進行求解和解的導數與不動點之間的關系研究，指出受微分方程的制約影響，一類微分方程的不動點密度與解和解的導數情況有著密切的關系.對一類微分方程的解進行分析以及解的導數情況進行分析，從而分析一類微分方程解與解的導數與微分方程不動點之間的關系，從而更好地幫助我們進行微分方程的學習以及高階層微分方程的研究，從而將微分方程的數學知識應用到更多的領域，幫助各領域研究人員進行動態量的研究，從而提高各領域的應用水平的發展以及社會技術的發展和提高.目前，我們對于一類微分方程的解與解的導數和微分方程不動點之間的關系研究還不深入，因此希望后期更多研究者對微分方程進行更加深入的探討和研究.

〔1〕金瑾,石寧生.一類微分方程的解及其解的導數與不動點的關系[J].數學的實踐與認識,2011,41(22):185-190.

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〔3〕梁霄,翟延慧.經濟系統中一類微分方程模型的Hopf 分支[J].伊犁師范學院學報（自然科學版）,2012,10(4):8-12.

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〔5〕姚慧麗,卜憲江,宋曉秋等.一類微分方程的指數增長的溫和漸近概自守解[J].哈爾濱理工大學學報,2014,19(5):23-26.

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