數學分析中輔助函數法的妙用

貢麗霞,王瑞霞,何東中

(石家莊鐵道大學四方學院,石家莊,051132)

0 引言

從數學產生那天起，數學中的構造性的方法也就伴隨著產生了。數學基礎的直覺派最先提出了這種不成熟的構造性方法，經過了直覺數學，算法數學，現代構造數學階段，這種方法逐漸成熟，并且成為了數學分析中最常用的方法之一。

所謂“構造法”即是在解題過程中,為了實現條件向結論的轉化,利用問題的特殊性設計一個新的關系系統去實現原問題的解決.這種思維活動的特點在于“構造”，構造的量有時看來似乎與題意無關，但實際上恰與問題有內在關系，而且在某種條件下正是題目所求，具有較強的靈活性和技巧性.這種轉換思維的方法在微積分解題過程中常有用到,例如在等式或不等式的證明中,通常是根據要證的式子,探索所需函數,先構造一個輔助函數,再利用有關知識去解決.

下面從以下幾方面談談妙用構造輔助函數法解決數學分析中的相關問題．

對于這類問題，我們已經研究的比較清楚，并有以下命題：

命 題1 設且上連續，在 內可導及 ，則至少存在一點 使

注：① 中的積分只取一個原函數；

②命題中若 ，即為羅爾定理；值定理

③命；題中若，即為拉格朗日中

我們學過常微分方程，只要將命題結論看成一個微分方程（將看作未知量），那么 就是這個方程的特解（在通解中?。?/p>

例1 設函數 在 上連續，在 內可導，則至少存在一點使得

1 用構造函數法證明等式

1.1 證明中值的存在性

（1）要求中值滿足“”型的問題．

證 對照上面的命題，我們可設

例1還可以有第二種解法：

如果不便于積分，那么將作適當處理(如乘上一個不恒為零的函數等)，使其便于積分，再使用積分法來構造輔助函數．

（2） 結論中出現或二階以上導數的情況．

證 作輔助函數

此方法雖然易懂，但有時計算很繁雜，因此就要求用技巧更高的構造輔助函數法．

分析 此題若用上述方法構造函數，求原函數時計算復雜，因此構造另一個簡便的函數．

證 令

1.2 證明雙介值問題，即的存在性

先運用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理，然后轉化為單介值問題，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理．運用柯西中值定理來說明，我們將柯西中值公式寫成：

可以看到，若選取不同的函數可將表示成不同的形式，若另取，則使得

1.3 證明3個中值的存在性

解這類題找三個不同的函數，滿足柯西中值定理，故存在，使得

因為左式相等所以右式也相等．

1.4 證明個中值的存在性

推廣到證明個中值的存在性，用個不同的函數（只要滿足柯西中值定理的條件）便可得到含個中值的個等式．

2 用構造函數法證明不等式

步驟:

證 構造函數

3 構造具有特殊性質的函數

在數學分析中，為了加深對概念的理解，或說明定義的嚴密性，許多地方都會舉出一些實例。如一元（多元）函數的極限、連續等，大多數人認為僅僅是構造函數，而不是解題．事實上，能夠真正熟悉了解具有特殊性的函數，一方面可以幫助我們在構造函數時打開思路，最快的找到我們需要的輔助函數；另一方面，構造具有特殊性質的函數也可能直接解決問題。

例如函數，由于其導數仍是它本身，利用它容易將與甚至更高階導數聯系起來，這就要求我們對一些重要的常用的函數及其性質非常熟悉．

例7 證明：若函數 在區間內可導，且

4 結術語

除了構造函數法以外，我們還可以構造數列、構造積分、構造級數、構造區間套、構造反例等不同的數學形式，來解決數學分析中的相關問題，總之使用構造法,對于數學理論的研究,發展和數學問題的解決都具有重要的意義,同時對學生創造性思維素質和能力的培養也具有不可忽視的作用。

參考文獻

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