等價(jià)關(guān)系在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

韓寶燕

（山東工藝美術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，山東 濟(jì)南250000）

1 等價(jià)關(guān)系

1.1 等價(jià)關(guān)系的定義

定義1 設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系，如果R是自反的、對(duì)稱的和傳遞的，則稱R為A上的等價(jià)關(guān)系.對(duì)于任何x，y∈A,如果∈等價(jià)關(guān)系R，則記作x～y.

下面舉個(gè)例子。

例（1）在一群人的集合上年齡相等的關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，而朋友關(guān)系不一定是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)樗赡懿皇莻鬟f的.一般稱這種自反的對(duì)稱的關(guān)系為相容關(guān)系.顯然等價(jià)關(guān)系都是相容關(guān)系，但相容關(guān)系不一定是等價(jià)關(guān)系.

（2）動(dòng)物是按種屬分類的，“具有相同種屬”的關(guān)系是動(dòng)物集合上的等價(jià)關(guān)系.

（3）集合上的恒等關(guān)系和全域關(guān)系都是等價(jià)關(guān)系.

（4）在同一平面上三角形之間的相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，但直線間的平行關(guān)系不是等價(jià)關(guān)系，因?yàn)樗皇亲苑吹?

1.2 等價(jià)類的定義及性質(zhì)

設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，則A上相互等價(jià)的元素構(gòu)成了A的若干個(gè)子集，叫做等價(jià)類.下面給出等價(jià)類的一般定義.

定義2 設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任意x∈A，令[x]R={y|y∈A∧xRy}，則稱[x]R為x關(guān)于R的等價(jià)類，簡稱為x的等價(jià)類，簡記為[x].

等價(jià)類具有下面的性質(zhì)：

設(shè)R是非空集合A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任意的x，y∈A，下面的結(jié)論成立.

（1）[x]≠?，且[x]?A；

（2）若xRy，則[x]=[y]；

（4）x∈A∪[x]=A.

含義是（1）表明任何等價(jià)關(guān)系都是集合A的非空子集；（2）和（3）說的是在A眾任取兩個(gè)元素，它們的等價(jià)類或是相等，或是不交.比如，在例2.1中1、4和7的等價(jià)類彼此相等，都是{1，4，7}.但1和2的等價(jià)類彼此不交.（4）表示所有等價(jià)類的并集就是A.在例2.1中就是

{1，4，7}∪{2，5，8}∪{3,6}={1，2，…，8}.

2 等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用

等價(jià)關(guān)系作為一種特殊的二元關(guān)系，在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.

2.1 求極限中的應(yīng)用

在微積分中學(xué)習(xí)無窮小（大）量階的比較時(shí)，遇到兩個(gè)無窮小（大）量之比的極限.由于這種極限可能存在，也可能不存在，因此我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量之比的極限稱為不定式極限，分別記為型或型的不定式極限，下面我們將以等價(jià)關(guān)系為工具研究不定式的極限.

2.2 判斷無窮積分的斂散性

我們都知道無窮積分的比較判別法：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，+∞）（a?0）上連續(xù)，若g（x）?0及當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）=O-（g（x））（表示f（x）與g（x）同階，即,則積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.特別地，若，則s?1時(shí)積分收斂，當(dāng)s≤1時(shí)積分發(fā)散.利用等價(jià)關(guān)系可以把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成與它等價(jià)的函數(shù)，由比較判斷法很容易判斷其斂散性([1]).

（2）利用（1+x）λ～1+λx

于是當(dāng)α=-2β>1時(shí)積分收斂，當(dāng)α=-2β≤1時(shí)積分發(fā)散([2]).

［1］耿素云,屈婉玲,張立昂,編.離散數(shù)學(xué)[M].3版.北京：清華大學(xué)出版社,2004.3

［2］左孝凌,李為建,劉永才.離散數(shù)學(xué)[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,2000：100-131.