等價關系在高等數學中的應用

韓寶燕

（山東工藝美術學院公共課教學部，山東 濟南250000）

1 等價關系

1.1 等價關系的定義

定義1 設R為非空集合A上的關系，如果R是自反的、對稱的和傳遞的，則稱R為A上的等價關系.對于任何x，y∈A,如果∈等價關系R，則記作x～y.

下面舉個例子。

例（1）在一群人的集合上年齡相等的關系是等價關系，而朋友關系不一定是等價關系，因為它可能不是傳遞的.一般稱這種自反的對稱的關系為相容關系.顯然等價關系都是相容關系，但相容關系不一定是等價關系.

（2）動物是按種屬分類的，“具有相同種屬”的關系是動物集合上的等價關系.

（3）集合上的恒等關系和全域關系都是等價關系.

（4）在同一平面上三角形之間的相似關系是等價關系，但直線間的平行關系不是等價關系，因為它不是自反的.

1.2 等價類的定義及性質

設R是非空集合A上的等價關系，則A上相互等價的元素構成了A的若干個子集，叫做等價類.下面給出等價類的一般定義.

定義2 設R是非空集合A上的等價關系，對任意x∈A，令[x]R={y|y∈A∧xRy}，則稱[x]R為x關于R的等價類，簡稱為x的等價類，簡記為[x].

等價類具有下面的性質：

設R是非空集合A的等價關系，對任意的x，y∈A，下面的結論成立.

（1）[x]≠?，且[x]?A；

（2）若xRy，則[x]=[y]；

（4）x∈A∪[x]=A.

含義是（1）表明任何等價關系都是集合A的非空子集；（2）和（3）說的是在A眾任取兩個元素，它們的等價類或是相等，或是不交.比如，在例2.1中1、4和7的等價類彼此相等，都是{1，4，7}.但1和2的等價類彼此不交.（4）表示所有等價類的并集就是A.在例2.1中就是

{1，4，7}∪{2，5，8}∪{3,6}={1，2，…，8}.

2 等價關系的應用

等價關系作為一種特殊的二元關系，在數學分析、高等代數等學科中有廣泛的應用.

2.1 求極限中的應用

在微積分中學習無窮小（大）量階的比較時，遇到兩個無窮小（大）量之比的極限.由于這種極限可能存在，也可能不存在，因此我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限稱為不定式極限，分別記為型或型的不定式極限，下面我們將以等價關系為工具研究不定式的極限.

2.2 判斷無窮積分的斂散性

我們都知道無窮積分的比較判別法：設函數f（x）在（a，+∞）（a?0）上連續，若g（x）?0及當x→+∞時，f（x）=O-（g（x））（表示f（x）與g（x）同階，即,則積分同時收斂或同時發散.特別地，若，則s?1時積分收斂，當s≤1時積分發散.利用等價關系可以把被積函數轉化成與它等價的函數，由比較判斷法很容易判斷其斂散性([1]).

（2）利用（1+x）λ～1+λx

于是當α=-2β>1時積分收斂，當α=-2β≤1時積分發散([2]).

［1］耿素云,屈婉玲,張立昂,編.離散數學[M].3版.北京：清華大學出版社,2004.3

［2］左孝凌,李為建,劉永才.離散數學[M].上海：上海科學技術文獻出版社,2000：100-131.