高等數學結合Matlab軟件的教學方法實踐

張明俊 郭艷鳳 周紅衛

（廣西科技大學理學院，廣西 柳州545006）

高等數學作為一門高等學校中所有理工科所需要的非?；A學科，在高等學校的教育中起到了很重要的作用。高等數學中的數學思想、邏輯和方法為高校學生在本專業方向的發展提供很好的前提[1]。它是提高學生在自己的專業方向上尋找問題、分析問題、解決問題的能力的基石，是在這些基礎上延伸問題深度的思想源泉。

隨著高等學校教育改革的不斷發展，高等數學的改革在高等學校中的改革是一個很重要的環節。為了進一步加強高等數學的教育改革，我們不僅需要加強課程的內容的改革，更重要的是在教學過程中提高學生的數學思維方式和邏輯能力及其在各專業中的應用。于是，在高等數學的教學過程中不僅要讓學生了解解決問題的不同思想方法及其應用，而且還要結合Matlab軟件對所用的不同思想和方法進行直觀實現來圖形并用，從而提高學生學習高等數學的興趣和積極性。在教學過程中讓學生真正的掌握所學的高等數學的思維方式和邏輯應用，這在理工科專業發展方向上是必不可少的基本知識，為學生在本專業上的發展及深入研究打下堅實的基礎。

為了更好的理解高等數學教學改革的中的不同思想方法及應用和Matlab軟件相結合的教學方法。這里主要考慮在高等數學中用定積分求旋轉體的體積為例，來說明不同思想方法及其應用和Matlab軟件的畫圖的直觀實現的相結合[2]，讓學生更好地理解高等數學的不同思想方法及應用，從而提高學生學習高等數學的興趣和積極性，并掌握相關數學思想。

1 利用定積分求旋轉體的體積的思想方法

在高等數學定積分的應用有很多方面，其中求旋轉體的的體積是一個重要的應用，在現實中也經常會用到這方面的內容。為了應用定積分來解決問題，首先確定所求的量（這里我們所求的量都是體積），其次是確定積分變量，得到所求的量的微元元素（即體積元素），最后以所求的量的微元元素為被積函數，在積分變量的范圍內求定積分，得到所求的量（體積）。

通常情況下，對于旋轉體的體積，當旋轉的區域給定以后，一般都是選取旋轉軸為相應的積分變量。具體的方法步驟，參考文獻[3].

但是，在很多情況下，選取旋轉軸為相應的積分變量并不是很容易計算。于是，我們也可以選取另一個坐標軸作為積分變量，這樣在求體積元素的時候就要轉變通常的思想來求體積元素，即通過求旋轉體的微小的外殼的體積元素來作為被積函數，然后再進行積分。具體的思想方法我們可以從下面的簡單的例子中看到。

例1：求由矩形區域x=1，x=3和y=0，y=5繞著y軸旋轉得到的旋轉體的體積。

方法一：首先，要求的量就是旋轉體的體積。

其次，選取y為積分變量，積分區間為[0，5]，在y軸上選取小區間，得到所求體積的體積元素，參考圖1，

最后，以體積元素為被積函數，在積分區間[0，5]上進行積分，得到所求的體積

因此，所求體積為40π。

方法二：首先，要求的量是旋轉體的體積。

其次，選取x為積分變量，積分區間為[1，3]，在x軸上選取小區間[x，x+dx]，得到所 求體積的體積元素，即得到一個很小的環形外殼的體積，參考圖2，

最后，以體積元素為被積函數，在積分區間[0，5]上進行積分，得到所求的體積：

因此，所求體積為40π。

通過Matlab軟件畫立體圖形，在電腦上展示兩種不同思想方法的體積元素的立體圖形，從而使得學生更清晰的了解兩種方法的思想和差別。從不同的角度理解定積分求體積的微元法的應用。

2 利用定積分求旋轉體的體積的思想方法的應用

從下面的應用中我們可以看到，通常所用的方法，即以旋轉軸所在的變量為積分變量的時候，相對比較困難。于是我們就可以選取不是旋轉軸的變量為積分變量，從而按照相應步驟得到所求的量（體積）。

例2：求由曲線x=sin y2，y軸和所圍成的區域繞軸旋轉所得到的旋轉體的體積。

方法一：選取x為積分變量，積分區間為[0，1]，在x軸上選取小區間[x，x+dx]，得到所求體積的體積元素，參考圖3，

以體積元素為被積函數，在積分區間上進行積分，得到所求的體積：

3 兩種方法的應用的比較和差別

在很多求旋轉體的體積的時候，一般情況下我們選取旋轉軸對應的變量為積分變量是很容易想到的。然而，當旋轉體所給的已知條件中的很多時候應用柱狀外殼的體積作為體積元素的時候會更簡便或更便于計算，這是可以選取非對稱軸所對應的變量為積分變量來應用定積分求旋轉體的體積。比如例二就是一個很典型的例子，其中所圍成區域中的邊界曲線有一條用y=f（x）的函數形式來表達，并不是很容易。這是我們就要思考是否可以選取另外一個變量為積分變量，就要應用所求旋轉體的體積的另外一種方法，即體積元素選用柱狀外殼的體積。從中我們可以看出兩種方法應用的差別和優劣。具體用哪種方法，需要根據具體的問題中的條件進行分析。

總之，在高等數學的教學改革中，需要在教學過程中傳授解決問題的各種不同的思想方法及應用，并且為了更好的讓學生理解相應的思想方法及應用，可以結合Matlab軟件的畫圖功能，在課堂上進行多媒體演示。這樣，讓理論和具體的圖形相結合，更能夠讓學生感受到高等數學的思想方法解決問題的本質，并從教學的過程中讓學生感受到學習高等數學的樂趣，提高學生學習的興趣和積極性。

［1］郭艷鳳，張明俊，黃李韋.工科線性代數教學改革之探討[J].經濟研究導刊，2013,185(3)：301-302.

［2］同濟大學數學系.高等數學(上冊)[M].高等教育出版社,2007.

［3］James Stewart,Calculus[M].Belmont,CA：Brooks/Cole,Cengage Learning,2012.