約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性與Hojman型守恒量

曹秋鵬

(蘇州科技學院 數理學院, 江蘇 蘇州 215009)

約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性與Hojman型守恒量

曹秋鵬

(蘇州科技學院 數理學院, 江蘇 蘇州 215009)

建立約束廣義Birkhoff系統的微分方程，給出約束廣義Birkhoff系統Lie對稱性的確定方程，研究在時間不變的情況下由其Lie對稱性導致的Hojman型守恒量，最后舉例說明結果的應用.

廣義Birkhoff系統; 對稱性; 守恒量

0 引 言

自1979年Lutzky開始研究力學系統的Lie對稱性與守恒量[1]以來, Lie對稱性方法的研究得到了迅速的發展，并取得了一些重要的成果.梅鳳翔研究了各類約束動力學系統的Lie對稱性[2].其他一些學者也做了大量有意義的工作[3-4].作為Hamilton系統動力學自然推廣的Birkhoff系統動力學的研究已經取得重要進展[5], 尤其在其Lie對稱性研究方面已有一些有意義成果.文獻[6]研究了Birkhoff系統在時間不變的無限小變換下的Lie對稱性以及其導致的Lie對稱性守恒量.文獻[7]研究了廣義Birkhoff系統的Lie對稱性、對稱性攝動與絕熱不變量.梅鳳翔在專著[8]中研究了廣義Birkhoff系統的Lie對稱性方法，以及廣義Birkhoff系統Lie對稱性直接導致的Hojman型守恒量以及間接導致的Noether守恒量.這些文獻均未涉及到受約束情形下的廣義Birkhoff系統的Lie對稱性研究.本文進一步研究約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性，探究了在時間不變的無限小變換下Lie對稱性導致的Hojman型守恒量.給出約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性的確定方程以及其導致Hojman型守恒量的條件和Hojman型守恒量的表達式.

1 約束廣義Birkhoff系統的運動方程

廣義Pfaff-Birkhoff-d′Alembert原理為

(1)

(2)

對其變分，得

(3)

設

(4)

(5)

利用廣義Pfaff-Birkhoff-d′Alembert原理(1)與虛位移方程(3),利用Lagrange乘子法,可得到約束廣義Birkhoff系統的運動方程：

(6)

由方程(2)和(6)我們可以解出λβ.

2 約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性

約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性是指在無限小變換下的一種不變性，取無限小變換

(7)

其中ξ0,ξμ為無限小生成元，ε是無限小參數.

(8)

我們可以得到如下命題

命題1 當且僅當

(9)

如果

(10)

則方程(6)在(7)式下保持不變.

由方程(8)我們將式(9)寫成形式

(11)

方程(11)稱為約束廣義Birkhoff系統Lie對稱性的確定方程，進而得到

命題2 如果無限小生成元ξ0,ξμ滿足式子(11)，則相應的對稱性為約束廣義Birkhoff系統的Lie對稱性.

若時間是不變的，即ξ0=0，則Lie對稱性的確定方程變成

(12)

其中

(13)

3 Hojman定理的推廣

對于時間不變的特殊情況下Lie對稱性可導致Hojman型守恒量，我們有命題如下

(14)

則系統有Hojman型守恒量

(15)

證明 將(15)按照方程(6)對t求導數得到

我們有以下關系成立

(16)

將(12)代入(16)，同時利用(14)有

綜上所述，質量管理系統是軍工企業提高產品質量管控的主要保證，對軍工企業前進與發展起著關鍵性影響，而當前軍工產品質量管理系統在諸多方面還存在一定的不足，如部門設置、管理方式等方面，因此，結合當前現狀制定合理、科學的軍工產品質量管理系統優化策略至關重要，從而更好地發揮質量管理系統作用。

因此

命題得證.

4 算 例

已知四階廣義廣義Birkhoff系統，Birkhoff函數組和Birkhoff函數是

R1=R2=0，R3=a1，R4=a2,

附加項為

Λ1=a1+a3，Λ2=a2+a3，Λ3=a2+a3，Λ4=a2+a4,

(17)

約束方程

f1=a1+a2=0，f2=a3+a4=0,

(18)

試由Lie對稱性導出Hojman型守恒量.

由式子(6)我們得到

(19)

由(18)和(19)解出

然后建立確定方程，由確定方程(12)可以得到

有如下解

ξ1=ξ2=ξ3=ξ4=1,

式子(14)給出

它有解如下

μ=a1,

則由守恒量(15)得到

5 結 論

對于約束廣義Birkhoff系統如果無限小生成元ξ0,ξμ, 滿足確定方程(11), 則相應的對稱性為Lie對稱性.如果考慮時間不變則此時Lie對稱性可導致出形如(15)式的Hojman型守恒量.

[1]LutzkyM.DynamicalSymmetriesandConservedQuantities[J].J.Phys.,A：Math.Gen.,1979,12 (7)：973-981.

[2]梅鳳翔.李群和李代數對約束力學系統的應用[M].北京：科學出版社, 1999.

[3]Jian-HuiF,YongP,Xiang-HongY.LieSymmetricalHojmanConservedQuantityofRelativisticMechanicalSystem[J].CommunicationsinTheoreticalPhysics, 2005, 43(6)：1053-1055.

[4]HanY,WangX,ZhangM,etal.LiesymmetryandapproximateHojmanconservedquantityofAppellequationsforaweaklynonholonomicsystem[J].NonlinearDynamics, 2013, 71(3)：401-408.

[5]SantilliRM.FoundationofTheoreticalMechanicsⅡ[M].NewYork：Springer-Verlag, 1983.

[6]張毅.Birkhoff系統的一類Lie對稱性守恒量[J].物理學報, 2002, 51 (3) ：461-464.

[7]LiYanmin.LieSymmetries,PerturbationtoSymmetriesandAdiabaticInvariantsofaGeneralizedBirkhoffSystem[J].ChinesePhysicsLetters, 2010, 27(1)：010202-1-4.

[8]梅鳳翔.分析力學[M].北京：北京理工大學出版社, 2013.

[責任編輯：徐明忠]

Lie symmetry and Hojman conserved quantity for a generalized Birkhoff system with constraints

CAO Qiupeng

(School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China)

The differential equations of the generalized Birkhoff system with constraints are established.The determining equations corresponding to the Lie symmetry are given.The Hojman conserved quantity is discussed which determined by Lie symmetry under time-invariant.In the end an example is given to illustrate the application of the results.

generalized Birkhoff system; symmetry; conserved quantity

2015-07-22；

2015-07-27

國家自然科學基金資助項目(No.11372169)

曹秋鵬(1991-), 男, 江蘇南通人,蘇州科技學院碩士研究生, 主要從事數學物理研究.

O316

A

1672-3600(2015)12-0034-04