基于PVDF傳感器的階梯梁實驗模態分析*

鐘海彬， 毛崎波

(南昌航空大學 飛行器工程學院，江西 南昌 330063)

基于PVDF傳感器的階梯梁實驗模態分析*

鐘海彬， 毛崎波

(南昌航空大學 飛行器工程學院，江西 南昌 330063)

以兩端固定階梯梁為例，采用多點激勵、單點測量方法通過矩形聚偏氟乙烯(PVDF)壓電薄膜傳感器進行實驗模態分析,并與數值計算結果和小質量加速度計實驗結果進行對比。理論計算和實驗表明：PVDF傳感器可以代替傳統的加速度計進行實驗模態分析，對階梯梁模態分析效果很好，并且PVDF傳感器具有連續分布式、質量輕、頻響寬、價格相對低廉等優點。

階梯梁； 模態分析； PVDF傳感器； 壓電傳感器； 加速度計

0 引 言

在航空航天、工程應用和日常生活中，變截面梁得到了廣泛的應用，因此，有眾多學者對變截面階梯梁的振動特性進行了大量研究[1～5]。目前常用的數值計算方法包括有限元法[1～2]、有限差分法[3]、微分求積法[4]、傳遞矩陣法[5]以及Adomian分解法[6]等。同時，實驗模態分析是研究機械結構動態特征的一種有效的方法，通過模態分析軟件可以從激勵力和系統之間的頻率響應函數中識別與提取各階模態，為理論計算提供實驗依據。

近年來，有學者提出使用聚偏氟乙烯(polyvinylidene fluoride,PVDF)壓電薄膜傳感器代替傳統的加速度計進行實驗模態分析。PVDF壓電傳感器具有壓電特性強、密度低、附加質量小的特點，在外界激勵的作用下可以得到很好的響應曲線，而且對結構本身影響很小。Mao Q和Pietrzko S用矩形PVDF陣列來測量體積位移并得到了很好的效果[7]。Mao Q[8,9]進一步提出通過特定形狀的PVDF傳感器設計任意變截面梁的模態傳感器。Wang B T[10]對不同傳感器與激勵力之間的頻率響應函數方面進行了詳細的研究，給出了加速度計、PVDF壓電傳感器在點激勵力、彎矩等外界激勵下的頻率響應函數的計算方法。朱嶠等人[11]研究了PVDF傳感器對固支條件下均勻梁的模態分析實驗,驗證了PVDF傳感器在模態分析中的可行性，并與傳統加速度計傳感器進行了對比分析，表明了PVDF壓電傳感器的優越性。

本文在文獻[11]的基礎上，首先通過振動微分方程求解了該階梯梁的解析解，然后結合Mao Q和Wang B T的相關研究，將PVDF壓電傳感器應用到三階梯矩形截面變截面梁的實驗模態分析中，同時通過PVDF傳感器與加速度計的對比實驗，進一步驗證PVDF用于階梯梁模態分析的可行性。

1 階梯梁自由振動分析

為了簡便又不失一般性，本文采用橫斷面為矩形的三階梯固支梁為例進行分析(如圖1所示)。把三階梯梁分為4段，由振動分析理論[7]可知，每段梁的振型函數可表示為

Yi(x)=Aicosxβi+Bisinxβi+Cicoshxβi+Disinhxβi,

(1)

式中i為第i段梁(i=1，2，3，4)，Xi為沿梁長到參考位置(原點)的距離，βi為第i段梁的無量綱固有頻率，A，B，C，D為待求的參數

(2)

(3)

圖1 階梯梁示意圖

(本文取：X1=200，X2=440，X3=640，X4=810,b1=50,b2=40,b3=50,b4=30,h=5,單位為mm)

為了求解式(3)，假設該階梯梁的邊界條件為兩端固支，即邊界的位移和轉角均為0

(4)

(5)

對于階梯處Xi(i=1,2,3),由連續性條件可知，相鄰兩段梁的位移、轉角、彎矩、剪力分別相等，即

(6)

把式(3)代入邊界條件和連續性條件式(4)、式(5)、式(6)，整理可得16×16矩陣方程

J(β1)T=0.

(7)

其中,T=[A1B1C1D1A2B2C2D2A3B3C3D3A4B4C4D4]T,J為16×16矩陣，J矩陣的第(m，n)元素Dmn(β1)通過式(3)～式(6)確定。

由式(7)可以得到梁的頻率特征方程，即

detJ(β1)=0.

(8)

由式(8)可以計算得到梁的各階無量綱固有頻率β1，把β1代入式(7)可得到系數向量T，然后把解得的β1和T代入式(3)即可得到梁的分段模態函數Yi(X)。寫成分段函數的形式就得到整個梁的位移模態

Y(x)=

(9)

2 階梯梁頻率響應函數

本文采用厚度恒為5 mm，寬度變化的兩端固支階梯梁作為實驗研究對象。沿X軸線方向被等分成16份，序列號如圖1(b)所示。

假設在Xj(j=1,2,3，…，15)給系統一個激勵力

f(x,t)=Fδ(x-xj)ejωt,

(10)

式中F為激勵力的幅值、δ(x)為單位脈沖函數、ω為激勵力頻率。

假設加速度計或PVDF傳感器位于xi(i=1,2,3,…,15)。由文獻[10]可知，則點激勵力與加速度計之間的頻率響應函數可表示為

(11)

點激勵力與PVDF傳感器輸出電壓之間的頻率響應函數為

(12)

式中 Lp,hp,bp為PVDF的長度、寬度、厚度，e31，ε為PVDF的壓電常數和介電常數。

從式(11)、式(12)和文獻[12]的研究可知,進行實驗模態分析過程中，若保持傳感器位置不變，在固支梁上不斷改變激勵力作用點，則通過PVDF傳感器和加速度計得到的模態振型都是相同的。

3 實驗研究

為了對理論模態進行實驗驗證，并進一步討論PVDF傳感器在階梯梁模態分析中的可行性。用如圖1所示的階梯梁進行實驗分析，梁的彈性模量為70×109Pa，密度為2 680kg/m3。實驗中，階梯梁兩端通過螺栓固定在某型振動實驗平臺上。為了用PVDF傳感器測量梁的結構模態，采用單點測量，多點激勵的方式，即傳感器固定，激勵力位置改變。如圖1(b)所示，PVDF粘貼在4#參考點，加速度計固定在5#參考點，激勵力的位置取遍1～15#參考點。安裝CL—YD—303力傳感器的力錘在梁上施加點激勵力，并通過YE6251動態分析儀采集得到相應的頻率響應函數，進而利用N—Modal模態分析軟件對數據進行分析得到模態參數。圖2所示為實驗簡圖。

圖2 實驗簡圖

實驗時，首先用CA—YD—107型號加速度計作為參照組進行實驗模態分析。其次，在不取下加速度計的前提下把PVDF傳感器布置在4#參考點進行試驗模態分析。由于加速度計沒有取下，可以保證2組實驗中階梯梁的結構一致。實驗測量和理論計算的固有頻率對比如表1所示。

表1 階梯梁前四階固有頻率

由表1可以看出：由于實驗中利用螺栓固定，實驗梁無法做到理想固支，使得實驗中PVDF和加速度計測得的固有頻率都比理論固有頻率小。但是對比加速度計和PVDF測得的固有頻率，兩者間的差異小于0.52 %，這表明PVDF傳感器能夠精確測量結構的固有頻率。

圖3為PVDF模態分析得到的模態置信矩陣(modal assurance criterion，MAC)直方圖，由圖可知各階模態具有獨立性，表明模態識別的效果很好。

圖3 基于PVDF傳感器的模態置信矩陣

圖4為階梯梁的理論模態和實驗中PVDF傳感器、加速度計所得實驗模態比較，從圖中可以發現理論模態結果和實驗模態分析結果存在一定的差異，這主要是受邊界條件的影響。

圖4 理論模態與實驗模態對比

進一步分析圖4，可以發現加速度計與PVDF傳感器進行模態分析得到的結果基本相同，這表明PVDF壓電傳感器可以很好地代替加速度傳感器對振動結構進行模態分析。

4 結束語

本文通過PVDF壓電傳感器實現對三階梯矩形變截面梁的模態分析。從上文分析可以看出:理論模態分析、PVDF實驗模態分析和加速度計實驗模態分析得到的前四階固有頻率和前四階模態形狀的結果是一致的，并且PVDF和加速度計測得實驗梁的固有頻率的結果只相差0.1 %～0.52 %，這表明通過PVDF薄膜代替傳統的加速度計對階梯梁進行實驗模態分析是可行的。

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[12] 倪振華.振動力學[M].西安：西安交大出版社，1988:367-370.

Experimental modal analysis for stepped beam by

using PVDF sensor*ZHONG Hai-bin, MAO Qi-bo

(School of Aircraft Engineering,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China)

With an example of a clamped stepped beam,an experimental modal analysis is performed by using a rectangular segment of polyvinylidene fluoride(PVDF)film as the sensor，and beam is excited by a moving hammer with a force transducer,and numerical calculation results and the small quality accelerometer experimental results are both compared with PVDF film sensor experimental results.Theoretical calculation and experimental results show that the PVDF sensors can be used to replace the traditional accelerometer in experiment modal analysis,furthermore,PVDF sensors have advantages of continuous distribution,light quality,wide frequency response and relatively cheap price,and so on.

stepped beam; modal analysis; polyvinylidene fluoride(PVDF) sensor; piezoelectric sensor; acce-lerometer

10.13873/J.1000—9787(2015)04—0038—04

2014—08—29

國家自然科學基金資助項目(51265037);江西省高等學校科技落地項目(KJLD12075);江西省教育廳科技資助項目(GJJ13524)

TP 212

A

1000—9787(2015)04—0038—4

鐘海彬(1990-)，男，江西宜春人，碩士研究生，主要從事振動與噪聲控制領域壓電傳感器設計方面的研究。