數(shù)學教學的“起承轉合”——以《函數(shù)的概念》一課的設計為例

施 雯

（上海市第三女子中學，上海200050）

2014年底，筆者有幸參加了全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動。當時上海市級比賽的指定課題是《函數(shù)的概念》。經過半個月的預備與調整，這節(jié)課受到了評委和學生們的認可，而通過博觀、約取、交融、自省，筆者得以進一步完善數(shù)學教學方法。在這里分享筆者的教學設計過程與反思，希望得到大家的批評指正。

一、“起”——三個方面的預備工作

1.理解函數(shù)及其相關知識

上教版高一數(shù)學《函數(shù)的概念》的教學，筆者的第一個預備工作就是大量閱讀各版本數(shù)學教材，查閱期刊與圖書，爭取從一個較高的視角理解“函數(shù)”。通過近乎地毯式的查閱學習，筆者對以下知識與內容有了比較清晰的理解：

·映射與函數(shù)的關系；

·幾個函數(shù)的概念：變量說、對應說、映射說、關系說等；

·f（x）的函數(shù)記號意義與函數(shù)值意義；

·函數(shù)表示方法的多種多樣；

·高等數(shù)學中的廣義函數(shù)概念。

一開始，這些知識在筆者的頭腦中是零碎的，但之后得到系統(tǒng)整理，所有的設計都以此為堅石，建筑其上。

2.梳理函數(shù)概念的歷史發(fā)展

從數(shù)學史的角度切入，縱向梳理數(shù)學概念常能給教學帶來啟發(fā)。所以，筆者也仔細查閱了函數(shù)概念的發(fā)展歷史。歷史上正是先有函數(shù)概念的“變量說”，后抽象出“對應說”，再進一步得出“關系說”。這和上教版教材的安排一致：八年級時學生接觸了“變量說”函數(shù)概念，高一年級再學習“對應說”。概念的深化是循環(huán)上升的，而人的思維也是如此。

“函數(shù)關系可以存在而關系本身可以不知道”，Riemann在1834年關于函數(shù)“對應說”的這一解讀對我們仍然極具啟發(fā)；而Dirichlet構造的、以他名字來命名的函數(shù)在概念演進中是一座里程碑，在筆者的教學設計中也被吸納為一個亮點。

3.了解學生的函數(shù)學習現(xiàn)狀

如前文所說，高一學生已經在八年級學習過《函數(shù)的概念》，那么他們的先入之見是怎樣的？了解學生函數(shù)概念學習的現(xiàn)狀是第三個預備工作。筆者發(fā)現(xiàn)他們對具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)很熟悉，對“自變量”、“因變量”、“定義域”、“值域”這些數(shù)學術語以及符號“f（x）”也不陌生，但對于抽象的函數(shù)概念比較生疏，這些函數(shù)知識未能形成整體的知識框架；八年級教材中已經用“圖像法”與“列表法”表示過函數(shù)，但學生往往片面地將“函數(shù)”等價于“函數(shù)解析式”；有些學生還會將“函數(shù)”與“二元方程”混淆起來。學生的所知與所惑是教學設計的起點。

預備工作雖然分成三塊，但它們也有共通性，“從數(shù)學的發(fā)展過程可以更清楚地了解數(shù)學知識結構的形成，而學生學習上的疑惑亦往往是歷史上數(shù)學發(fā)展中的一些重要轉折。”［1］（P5～9）所以教學預備不分先后，而是同時開展了閱讀與學習，為后續(xù)的設計與實踐作準備。

二、“承”——選擇恰當?shù)膶嵗?/h2>

函數(shù)現(xiàn)象在生活與科學領域普遍存在，用實例引入函數(shù)概念是一開始就被確定的教學思路。恰當?shù)膶嵗梢詭Ыo學生“似曾相識”之感，對新的概念形成“山雨欲來”之勢，那么究竟怎樣才是“恰當”的呢？具體來說，有這樣幾個問題需要思考：要舉幾個實例才夠？是否包括反例？是否沿用教材中的例子？如果選擇教材外的例子，它的優(yōu)勢在哪里？筆者最終選擇的三個實例或來源于生活，或是學生熟悉的物理實驗問題：

實例1：自由落體實驗

從10米的高處讓一個小球自由落下，已知重力加速度為9.8m/s2，若空氣阻力忽略不計，試用恰當?shù)姆绞奖硎拘∏蛟谙侣溥^程中經過的距離y（米）與時間x（秒）的關系。

實例2：10月手機流量走勢圖（見圖1）

圖1 10月手機流量走勢圖

圖2 麥當勞菜單中的編號和價格

小明每個月手機移動數(shù)據(jù)總流量為50MB，10月份他的剩余流量y（MB）與時間x（天）之間的關系可以用圖1來描述。這個圖中的兩個變量：時間x與手機流量余額y是“函數(shù)關系”嗎？為什么？

實例3：麥當勞點餐（見圖2）

一位外國人走進麥當勞餐廳，他想買一個漢堡包，可他看不懂中文菜單，想一想他該怎樣來點餐呢？如果他指出所選擇漢堡包的編號，那么營業(yè)員就能奉上他想要的漢堡包，他所需支付的價格也被唯一確定了。這里有兩個變量：編號和價格，它們也是函數(shù)關系嗎？思考一個合理的表示方法使編號與價格的關系一目了然。

這三個實例從外在形式上恰恰運用了本節(jié)課要介紹的三種表示方法：解析法、圖像法與列表法。從內在價值上說，第一個實例“自由落體實驗”是學生在初中就已經學過的最經典的物理實驗，以此為例簡單明了地點出本節(jié)課的主題是“函數(shù)”，溫習了初中的函數(shù)概念。自由落體運動中時間變量有意義的范圍而需特別留意，借這個易錯點又讓學生關注了定義域，并對函數(shù)三要素建立了整體的觀點。第二個實例“手機流量余額走勢圖”和當代高中生的生活息息相關，可以讓學生發(fā)現(xiàn)生活中的函數(shù)現(xiàn)象比比皆是。而這個難以用解析式來擬合的函數(shù)圖像，排除掉“解析式”這一表示方法的干擾，也向學生們展示了“對應關系”的本質。第三個實例“麥當勞點單問題”的意義不僅在于介紹了列表法，拋開解析式突出對應法則，更在于通過對換自變量與因變量，提出“編號是否是價格的函數(shù)”這一問題，由反例的辨析使學生明確函數(shù)的對應必須是“單值對應”。三個實例從熟悉的情境中提煉函數(shù)，從多角度呈現(xiàn)函數(shù)，從正反兩方面辨析概念，從低到高層層抽象，很好地幫助學生理解概念。

書本上的例題，如“出租車定價問題”是一個分段函數(shù)，起點較高；而110欄世界紀錄問題的定義域不是實數(shù)集合，為符合學生的最近發(fā)展區(qū)筆者做了相應的替換。但筆者所選擇的實例也有不足之處：“麥當勞點單問題”中編號的集合是不是實數(shù)集呢？自然數(shù)有基數(shù)與序數(shù)兩種意義，而編號取其序數(shù)意義。但從康托爾對實數(shù)的嚴格定義上來說，編號的集合中元素間的加法與乘法是無意義的，說這個集合滿足實數(shù)集的四組公理略顯牽強。但由于它在教學中的應用價值，對這一爭議也就暫且存而不論。

三、“轉”——設計實踐的一波三折

為能更好地將“函數(shù)”這一數(shù)學核心概念傳遞給學生，筆者不斷修改教學設計和實踐。但設計的框架是基本不變的。所設計的四個環(huán)節(jié)：“概念的溫習”、“概念的深化”、“概念的抽象”、“概念的應用”，從學生初中已學的知識入手，層層深化、層層抽象，從“變量—依賴關系”上升到“集合—對應關系”的函數(shù)概念。

·概念的溫習：通過實例1“自由落體實驗”溫習初中的函數(shù)概念，指出“變量說”中需要精細化的部分，明確本節(jié)課的目標是再次學習“函數(shù)”這一概念。

·概念的深化：通過三個實例幫助學生體驗函數(shù)不同的表示方法；理解函數(shù)概念的核心是單值對應；理解函數(shù)是由定義域、對應法則以及由此唯一確定的值域所構成的整體。這一階段鼓勵學生充分參與，給他們足夠的時間思考體驗。

·概念的抽象：抽象出“集合—對應關系”所描述的函數(shù)概念，用準確的數(shù)學語言來刻畫。

·概念的應用：應用函數(shù)的概念解決練習及其變式問題，鞏固概念理解。

然而兩次試講帶來的變化也不少，筆者將三個教學設計中有明顯變動的部分列了表格（見表1）。可以看到，即使最核心的“教學目標”也有過調整。就像李·舒爾曼教授（Shulman，L.S.）所說：“I understand，therefore I teach；I teach，therefore I understand.”［2］（P1～22）通過實際的教學，筆者對教材與知識才有了進一步的理解，這促使筆者能不斷地進行優(yōu)化。

表1 三次教學設計對比表

教學目標 1.在初中函數(shù)概念的基礎上，通過實際的例子，深化“函數(shù)”這一核心數(shù)學概念，并用數(shù)學語言準確地刻畫。2.理解并掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖示法與列表法；并且能對不同的問題選擇恰當?shù)姆椒ā?.通過多個函數(shù)的例子，理解函數(shù)三要素，掌握確定一個函數(shù)的方法。1.在初中函數(shù)概念的基礎上，通過實際的例子，深化“函數(shù)”這一核心數(shù)學概念，并用數(shù)學語言準確地刻畫。2.理解并掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖示法與列表法；并且能對不同的問題選擇恰當?shù)姆椒ā?.通過多個函數(shù)的例子，理解函數(shù)三要素，掌握確定一個函數(shù)的方法。1.在初中函數(shù)概念的基礎上，通過觀察、辨析幾個實際的例子，逐步抽象出“函數(shù)的概念”，并用準確的數(shù)學語言進行刻畫。2.理解并掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖像法與列表法，并揭示出三種方法背后的本質，即“對應關系”。3.通過多個具體函數(shù)的例子，理解函數(shù)的三要素，掌握確定一個函數(shù)的方法。初中“變量說”函數(shù)概念的處理方法既放在“概念的溫習”環(huán)節(jié)，指出其中不明確、有待精細化的語言，又在“概念的抽象”環(huán)節(jié)中與“集合－對應關系”進行對比。板書設計 板書解析式或表格，板書函數(shù)概念的文字。放在“概念的溫習”環(huán)節(jié)，指出其中不明確、有待精細化的語言。放在“概念的溫習”環(huán)節(jié)，指出其中不明確、有待精細化的語言。對每個實例都用圖示表示出一致的結構：函數(shù)的三要素；用抽象的“D－f－A”圖示概括函數(shù)概念。投影函數(shù)概念的文字。進一步精細圖式化的板書設計，突出函數(shù)三要素，突出對應關系。求定義域問題 放在“概念的應用”環(huán)節(jié)，例題2。 不特意涉及。 融入到每一個實例與例題中。函數(shù)三種表示方法的對比放在“概念的深化”環(huán)節(jié)，實例3即用列表法、又用圖像法表示。不特意涉及。 放在“概念的應用”環(huán)節(jié)最后一道例題，用解析法、圖像法、列表法表示同一個函數(shù)。

在第一次試講后，筆者發(fā)現(xiàn)所設計的內容在40分鐘的時間里很難完成。所以教學設計的一大改變就是“突出教學重點，精煉教學內容”。上教版數(shù)學教材中，這節(jié)課的第一個例題就是求函數(shù)的定義域，但為了給學生足夠的時間來觀察、辨析、實現(xiàn)“函數(shù)概念的抽象”這一最重要的目標，教師在第二稿中把“定義域的求法問題”刪除了。另外，也發(fā)現(xiàn)把“函數(shù)三種表示方法的對比”放在實例3中，不僅不能幫助學生比較各個方法的特點，還弱化了實例3辨析函數(shù)“單值對應”的效果，學生對這個實例的目的性感到茫然。對比的時機和載體都不恰當，所以在第二次設計中也將它刪除。

第一次試講課堂效率不夠高的原因還在于板書設計的不合理。受到映射圖示表達的啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)可以將各個實例中的具體信息隱去，而將定義域、對應法則、值域分別抽象出來（圖3），再從這三個圖式表達中找到一致的結構：即定義域D通過對應法則f得到確定的值域A（圖3），用這個高度抽象的圖式來簡潔地展現(xiàn)出函數(shù)的共性，淡化“函數(shù)的表示方法”、“對應法則的符號”、“變量字母的選擇”這些非核心屬性，突出函數(shù)概念的重要屬性是函數(shù)三要素。也讓學生不必逐字逐句記憶概念，而用看圖說話的方式把函數(shù)概念表述出來。這一設計使第二次試講效果很好。

第二次試講的教學節(jié)奏緊湊、學生參與度很高，但課后教師反思：學生走出課堂時與他們走進課堂時應該有什么不同？這節(jié)課有沒有將他們領進函數(shù)概念的核心？有沒有帶他們思考函數(shù)本質的問題？追問這節(jié)課的最大價值，筆者意識到并不在于介紹函數(shù)的表示方法，也不是介紹“集合－對應”的數(shù)學語言，而是讓學生理解函數(shù)的本質——“對應關系”。教學目標的變化就來自于對這節(jié)課價值的深一層認識，而其他相應的調整都圍繞這個目標而展開。

圖3 圖式化表達的函數(shù)概念

首先是將“變量－依賴關系”與“集合－對應關系”兩個函數(shù)概念進行了對比。新的概念用了集合語言與對應法則f：什么是函數(shù)關系呢？用“對應法則f”表達比“依賴關系”更數(shù)學化更準確；“對應法則f”是不是一定有顯性的解析式、圖像或表格呢？其實f可以理解為一個“黑箱”，一個非空實數(shù)集中的元素只要輸入“黑箱”f，就有唯一確定的實數(shù)輸出，這就建立起了函數(shù)的關系。但兩種概念雖然有分別，實際上又是統(tǒng)一的，通過對比教師又能幫助學生將初高中函數(shù)的知識整合起來。

其次，將“函數(shù)三種表示方法的對比”放到最后一個例題的變式中，也作為整節(jié)課的收束。

例題：下列各組所表示的函數(shù)是否相同？請同學們判斷并說明理由。

③f（x）＝2x，x∈｛0，1，2，3｝，g（t）

變式：下面表格（見圖4）與圖像（見圖5）中y關于x的函數(shù)與第③問的函數(shù)相同嗎？

通過這個例題與變式讓學生再次回到函數(shù)的定義里，理解函數(shù)的本質不是變量的名稱，不是函數(shù)解析式，也不是函數(shù)的表示方法，而是定義域、對應法則和由此被確定的值域。

圖5 圖像法函數(shù)表達

圖4 列表法函數(shù)表達

最后，再次將“定義域的求法”納入到教學設計中。定義域是確定函數(shù)的兩要素之一，沒有明確定義域就無法確定函數(shù)。所以可將定義域的求法作為一條副線：在實際例子要考慮符合背景的限制條件，例題中的函數(shù)定義域則要讓表達式有意義。這樣既幫助學生鞏固了定義域的求法，達到知識點的全面覆蓋，又不增加教學內容，能在課堂40分鐘內實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標。

四、“合”——賽后反思的去取從來

通過這節(jié)課的備課，筆者不斷充實自己的數(shù)學學科知識，不僅僅在廣度和數(shù)量上，更在深度和質量上對“函數(shù)”這一概念進行學習，增強對數(shù)學知識產生過程的認識、體會數(shù)學研究者面對問題的探究、思考方式的特點。［3］（P81～83）通過兩次的試講和平日的交談，筆者也增進了對學生的理解。“知道不同年齡和背景的學生在學習那些最經常教授的課題時已具有的日常概念和先入之見。這些日常概念和先入之見會使具體內容的學習變得容易或困難。”［4］（P4～14）通過實際課堂中的互動，不斷反思與調整，將數(shù)學學科知識、一般教學知識與在不同情境下的教學活動設計相互嵌套，得以設計并實踐《函數(shù)的概念》這節(jié)課，并由此建構起屬于自身的數(shù)學學科教學知識（PCK）。

然而依然存在不足。這節(jié)概念課固然是高效率、有意義的，大部分學生上完課后對“函數(shù)”的理解會有一個新的高度。但是，我們?yōu)楸荣愖髁舜罅康臏蕚洌簝纱卧囍v、組室多次磨課研討使筆者對這節(jié)課典型的生成性問題了然于心，并預備了應對策略，這使得第三次上課時遇到的思維碰撞比第二次少，預備過度反而導致學生學習的意向性不足，整節(jié)課略顯“按部就班”，竟沒有第二次試講那么出彩了。

公開課、比賽課是青年教師教學能力進步的重要平臺。如何使預備充分但不過度，如何讓設計充實但不封閉，如何使“教學設計脫去僵硬的外衣顯露出生機”［5］（P3～8）將是我們繼續(xù)尋找的境界。

［1］ 黃毅英，許世紅.數(shù)學教學內容知識——結構特征與研發(fā)舉例［J］.數(shù)學教育學報.2009，（1）.

［2］ Shulman，L.S—Knowledge and Teaching：Foundations of the New Reform［J］.Harvard Educational Review，1987，（1）.

［3］ 頓繼安.數(shù)學課堂中教與學“擦身而過”的現(xiàn)象研究——兼談PCK的利與弊［J］.數(shù)學教育學報.2013，（2）.

［4］ Shulman，L.S Those Who Understand：Knowledge Growth in Teaching［J］.Educational Researcher，1986，（2）.

［5］ 葉瀾.讓課堂煥發(fā)出生命活力［J］.教育研究，1997，（9）.