可調諧的寬頻帶負體彈模量吸聲超構材料

陳懷軍，趙文霞1，郝長春2

（1.寧夏師范學院 物理與信息技術學院，寧夏 固原 756000；2.陜西師范大學 物理學與信息技術學院，陜西 西安 710119）

1 引 言

隨著社會的不斷發展和城市規模的日益擴大，各類噪聲污染日益嚴重，消除噪聲成為迫切需要解決的嚴重問題，也是一個難題。現有的吸聲材料通常存在吸聲頻帶窄和吸聲效率低的缺點，聲學超構材料（acoustic metamaterial，AM）的出現有望從根本上克服吸聲材料的上述不足：在諧振頻率附近，AM出現負體彈模量的同時，還具有超強的吸聲性能；通過設計AM單個諧振單元的諧振頻率并將其多層排列，可以實現寬頻帶吸聲。

自從前蘇聯物理學家Veslago教授提出左手材料 （left－handed metamaterials，LHMs）的 概念，并經由英國帝國理工大學的Pendry教授和美國杜克大學的Smith教授相繼通過實驗實現了LHMs以后［1］，LHMs迅速發展為電磁超材料，并實現了包括負折射、平板聚焦、超分辨成像、完美吸收等在內的諸多奇異物理現象。將電磁超材料的思想引入到聲學領域，提出了AM的概念。與光子晶體和聲子晶體的“波長”尺度不同，AM的結構尺寸遠小于聲波波長，是“亞波長”尺度的。2000年，香港科技大學的Liu等人提出局域共振思想，實現了有效質量密度為負值［2］。局域共振思想的提出，為AM的發展奠定了理論基礎。負體彈模量主要通過亥姆霍茲共振器（helmholtzresonator，HR）實現［3］。2006年，美國麻省理工學院的Fang等人利用亞波長的HR，在超聲波段首次實現了負體彈模量［4］。隨著AM的快速發展，AM實現了與電磁超材料類似的奇異物理現象，例如負折射［5］、平板聚焦［6］、亞波長成像［7］、完美吸收［8］、隱身斗篷［9－11］等。AM在生物醫學超聲診斷、聲準直、水下兵器隱身、消除噪聲等方面具有廣闊的應用前景。

相比常規吸聲材料，以HR為結構單元的AM在噪聲消除方面存在巨大優勢。在發生諧振時，聲場能量主要存儲在HR內部，AM因此具有良好的吸聲性能，甚至能使噪聲完全吸收。AM發生諧振時，同時會實現負體彈模量：HR內部的聲媒質以本征頻率諧振，致使外界聲場的聲壓力方向與空氣膨脹壓縮的步調相反，產生負體彈模量。目前的負體彈模量AM存在制作困難、不易調頻以及難以實現三維材料等困難。本文提出了一種立方體鋁質HR模型，可以有效解決上述問題：通過在空心鋁質立方體上鉆孔的方式可以獲得空心立方體HR，制作容易；通過改變空心立方體HR的鉆孔數目、鉆孔孔徑大小、立方體容積等參數，可以任意調節空心立方體HR的諧振頻率；以空心立方體HR為結構單元，很容易制備成三維吸聲材料。

2 樣品模型和仿真計算

本文所用的AM結構單元為鋁質開孔立方體HR，其立體圖和橫截面如圖1（a）和1（b）所示。HR的開口孔徑、厚度、空腔體積分別為2r，t和v＝l3。根據聲傳輸線理論，HR可以等效成L－C諧振電路：其空腔等效為聲容，開口孔頸部分等效為聲感。 其中ρ和c分別為空00氣的質量密度和聲速，v是空心立方體HR的空腔體積，S＝πr2是HR的開口孔橫截面積，開口孔的等效長度表達式為。L－C電路的諧振頻率為。由諧振頻率的表達式以及上述的v，S，deff與r的關系可知，通過改變HR的開口孔徑2r的數值，可以改變HR的諧振頻率。本文選用HR的空腔內徑和厚度分別是l＝20mm和t＝1mm。

圖1 （a）HR立體結構示意圖；（b）HR橫截面示意圖.Fig.1 （a）3Dview of HR；（b）Cross－sectional view of HR.

圖2 （a）HR周期性排列構成AM，晶格常數a＝30 mm；（b）AM在聲阻抗管中的仿真計算模式.Fig.2 （a）AM composed of periodical HRs with the lattice constant a ＝ 30mm.（b）Simulation model of the AM in the acoustic impedance tube.

將HR周期性排列，制備成超構材料，如圖2（a）所示。HR排列的晶格常數a＝30mm。仿真計算時，應用COMSOL Multiphysics仿真軟件聲學模塊的頻域模式。仿真條件設置如下：將AM放置在半徑為50mm，長度1000mm的聲阻抗管的中部，阻抗管的邊界設置為硬質邊界條件。端口1設置為聲源，輻射聲壓為1Pa的平面波，如圖2（b）所示。網格尺寸設置為正常。

3 結果與分析

3.1 不同開口孔徑對AMs諧振頻率的影響

圖3 不同開口孔徑HR AM的透射譜和透射相位曲線.（a）～（d）中HR的開口孔徑分別為2r＝0cm，2r＝3 mm，2r＝4mm和2r＝5mm.Fig.3 Transmission spectra and phases of the AMs composed of HRs with different diameters.（a）2r＝0mm，（b）2r＝3mm，（c）2r＝4mm，and（d）2r＝5mm.

首先構建4種均是由單一開口孔徑HR組成的AM。4種AM中的HR開口孔徑2r分別為0mm、3mm、4mm和5mm。不同開口孔徑AM的透射譜和透射相位曲線如圖3所示。從圖3中可以看出，除了由不開孔HR構成的AM以外，其他3種AM在不同頻率處均出現一個透射谷，并且每一個透射谷對應頻率的附近發生了透射相位扭轉。透射譜和透射相位曲線的這種性質表明，在透射谷附近，空氣在HR內部發生了諧振。與之相比，由不開孔HR構成的AM沒有出現透射谷，透射相位也沒有出現扭轉。說明不開孔HR沒有發生諧振，諧振是由開孔的HR引起的。開口孔徑分別為3mm、4mm和5mm HR構成的3種AM對應的諧振頻率分別是980Hz，1180Hz和1361Hz。隨著HR開口孔徑的增大，AM諧振頻率向高頻移動。上述諧振規律與諧振頻率的理論表達式相對應：在不改變諧振單元HR的空腔容積v及厚度t情況下，開口孔的面積S增大，諧振頻率增高。

3.2 負有效體彈模量

圖4 （a）諧振頻率1 180Hz時 HR內部的聲壓分布.（b）非諧振頻率300Hz時HR內部的聲壓分布.Fig.4 Pressure field distributions of HR AM at（a）the resonant frequency of 1 180Hz and （b）the non－resonant frequency of 300Hz.

圖4表示的是開口孔徑為4mm的HR在諧振和非諧振兩種狀態下的聲壓分布情況。聲壓分布清楚地表明，在諧振頻率1 180Hz附近，HR內部聲壓遠大于外部聲壓，表明HR內部聚集了大量能量；而在遠離諧振頻率的300Hz，HR內部聲壓跟外界聲壓基本相同，聲場能量在HR內部和外部均勻分布。諧振狀態下，由于HR內部存儲了大量聲能，HR內部的空氣會以本征模式振動，此時會發生反常而有趣的物理情景：HR內部空氣受外界聲壓壓縮時，發生膨脹；受外界聲壓拉伸時，發生壓縮。HR內部空氣受力壓縮和膨脹的模式跟正常情況完全相反，導致了負體彈模量的產生。

通過參考文獻［12］，我們可以得到聲學折射率n和阻抗值Z的表達式：

圖5 開口孔徑為4mm的HRAM的體彈模量.Fig.5 Modulus of the AM composed of HRs with diameter4mm

圖5表示的是開口孔徑為4mm的HR組成的AM的體彈模量。從圖中可以看出，在諧振頻率1 180Hz附近，體彈模量的實部為負值。

3.3 寬頻帶吸聲AM

由HR的諧振頻率公式和圖3所示的透射譜可知，HR的開口孔徑大小跟諧振頻率密切相關。在諧振頻率處由于HR內部存儲了大量聲場能量而導致透射率下降，從而在諧振頻率附近形成良好的吸聲效果。鑒于HR的上述特性，我們通過改變圖1（b）中HR開口孔徑的大小來改變HR的諧振頻率。隨著外界聲場頻率的變化，使不同孔徑的HR在不同頻率依次諧振，最終實現寬頻帶吸聲。按照上述思路，我們將圖2（a）中單層排列的7個HR諧振單元的開口孔徑數值由原來的同一大小分別設置成如下兩種等差數列排列：第一種排列中，最小孔徑3mm，最大孔徑4.2mm，公差0.2 mm；第二種排列中，最小孔半徑3.1mm，最大孔半徑4.3mm，公差0.2mm。即第二種排列的每個HR孔徑比第一種排列大0.1mm。

兩種AM的透射譜如圖6（a）和6（b）表明，兩種透射譜均產生了7個窄帶的透射吸收谷。從前面分析可知，7個窄頻帶透射谷是由單層排列中的7個HR分別單獨諧振產生的。由于第二種排列的7個HR孔徑比第一種排列的HR孔徑大，所以第二種排列的7個諧振頻率比第一種HR排列的7個諧振頻率均有20Hz左右的藍移。如圖6（c）所示，將兩種排列的透射譜放在同一圖中進行對比，這種由于HR開口孔徑的變化而引起的諧振頻率的移動表現得更加明顯。

圖6 單層7個開口孔徑按等差數列排列的HR AM透射譜.（a）HR開口孔徑最小值3mm，最大值4.2 mm，孔徑公差0.2mm；（b）HR開口孔徑最小值3.1mm，最大值4.3mm，孔徑公差0.2mm；（c）兩種AM的透射譜.Fig.6 Transmission spectra of the single－layered AM consisting of seven HRs，the diameters of which change as arithmetic progression.The minimum values，maximum values and tolerance are（a）3 mm，4.2mm and 0.2mm；（b）3.1mm，4.3mm and 0.2mm；（c）Transmission spectra of the two AMs.

圖6展示了一種設計寬頻帶吸聲材料的途徑：HR之間孔徑變化越小，對應的各個諧振頻率差別也越小。在HR孔徑變化足夠小的情況下，多個窄頻帶透射谷將會相互疊加，最終形成寬頻帶吸聲。將上述兩種開口孔徑逐漸變化的單層HR按圖7（a）排列成相距40mm的上下兩層。雙層排列中HR開口孔徑最小值為3mm，最大值為4.3mm，半徑公差0.1mm。圖7（b）是雙層HR排列的透射譜，由于各個HR單獨諧振產生的透射谷相互疊加，形成了970～1 300Hz寬頻吸聲。在吸聲帶寬范圍內，最低聲透過率僅為－22dB，吸聲效果良好。在現實應用中，可以同時改變HR的空腔體積、開口孔徑大小以及增加排列層數，從而實現任意帶寬的超強吸聲。

圖7 （a）雙層開口孔徑按等差數列排列的HRAM.（b）雙層 HR AM的透射譜.Fig.7 （a）AM with double layers of HRs with diameters changing as arithmetic progression；（b）Transmission spectrum of the bilayered HR AM.

4 結 論

基于局域共振思想，并根據HR的諧振特點，研究了HR的開口孔徑跟諧振頻率之間的關系：HR的開口孔徑越大，諧振頻率越高。闡述了諧振頻率附近產生負體彈模量的原因，并通過聲壓分布表明，在諧振頻率附近聲場能量主要集中在HR內部從而產生低的聲能量透過率。通過改變HR的孔徑分布構建了一種970～1 300 Hz、最低聲透過率為－22dB的寬頻帶吸聲材料。本文提出的這種構建寬頻帶吸聲超構材料的方法，對噪聲控制具有重要的現實應用價值。

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