基于自適應LSSVM模型的動車組運行速度控制

楊 輝， 張 芳， 劉鴻恩， 付雅婷

(1. 華東交通大學 電氣與電子工程學院， 江西 南昌 330013；2. 江西省先進控制與優化重點實驗室, 江西 南昌 330013； 3. 湖南鐵路科技職業技術學院，湖南 株洲 412000)

動車組運行過程中時變、非線性特征明顯，且其處于復雜多變的運行環境，傳統基于固定模型的動車組運行控制策略難以滿足動車組安全、舒適、正點運行目標要求。針對動車組運行控制的研究大都忽略動車組的非線性和時變特性，通過建立動車組運行過程的線性模型或多個線性模型逼近其非線性特性。文獻[1]針對高速列車自動駕駛系統提出了高速列車多模型廣義預測控制方法，能較好的滿足高速列車的多目標控制要求；為了適應高速列車擾動特性的變化，文獻[2]在文獻[1]的多模型基礎上建立高速動車組的自適應模型，確保了其在動態未知故障或干擾下安全穩定運行、實現較高精度的速度跟蹤控制；文獻[3]依據將動車組在穩態工作點附近將其近似為線性系統的思想，采用子空間辨識方法建立動車組的動態線性模型，并同時設計預測控制器，取得了較好的控制效果；文獻[4]采用T-S模型描述高速動車組的非線性和其不確定性；隨著動車組運行速度的不斷提高和運行環境的不確定性，其非線性時變特征愈來愈突出，線性模型已難以準確描述其運行過程。

針對動車組的運行控制，文獻[5]在考慮了列車自動防護系統(ATP)的限速約束的基礎上，提出了基于模型預測控制的ATO控制算法，但沒有考慮列車的非線性和不確定性。針對高速列車的時變性和運行環境的不確定，文獻[6]采用了基于數據的動態特征模型和黃金分割自適應控制器處理高速列車的速度和位置控制和節能等問題，并得到了良好的效果。文獻[7]針對高速列車系統參數和外界組里的不確定性，基于機理模型提出了魯棒自適應控制算法，實現了高速列車的高精度跟蹤控制。

最小二乘支持向量機LSSVM (Least Squares Support Vector Machine)由Suykens[8]提出，它基于結構風險最小化,避免了局部最小值和過學習的問題保證了良好的泛化能力和更好地預測精度。以等式約束代替不等式約束,避免了求解二次規劃問題,具有較好的抗噪聲能力和更快的運算速度,在復雜非線性系統建模中取得較好應用成效[9]。由于LSSVM訓練和擬合性能與其參數關系密切，因此采取合適的參數優化方法是建立精確模型的前提。

基于上述分析，本文提出一種基于LSSVM的動車組運行過程建模及其校正方法，據此設計動車組速度預測控制器，實現動車組運行速度高精度跟蹤給定曲線。

1 動車組運行過程描述

動車組在正常運行中，假設其運行線路中的坡道很小，彎道很大，因此可以將動車組近似當作一個質點進行分析。本文僅分析動車組縱向的受力情況，其運行過程可表示為[10]

( 1 )

由式( 1 )可得到動車組運行過程的動力學模型

( 2 )

對式( 2 )進行差分變換，可描述為

y(k)=f[y(k-1),u(k-1)]

( 3 )

式中:κ2y2代表空氣阻力，是速度y的非線性函數，并且隨著動車組運行速度的不斷增加，κ2y2所占的比例越來越大，系統非線性特性越明顯，對動車組正常運行的也有越來越大的影響。

2 動車組LSSVM模型

鑒于LSSVM采用最小二乘線性系統誤差平方和作為損失函數，將求解過程變成了解析一組等式方程,降低了計算的復雜度，加快了求解速度。為了得到動車組精確地動態模型，本文采用LSSVM方法建立其非線性模型。

( 4 )

約束條件為y(i)=wφ[x(i)]+b+εi。

式中:J(w,e)表示目標函數；w為權值向量；μ為正則化參數，其值的大小決定了對誤差的懲罰力度；εi代表第i個樣本的實際輸出與模型預測輸出間的誤差；φ(·)是將輸入變量從原始空間映射到Hilbert高維特征空間的映射函數；b為偏置量。

為了求解式( 4 )的優化問題，把約束優化問題變成無約束優化問題，建立Lagrange函數

L(w,bL,ε,αL)=J(w,ε)-

( 5 )

式中：αi∈R為拉格朗日乘子，也稱作支持向量，在LSSVM的表達式中符號不受限制。

根據Karush-Kuhn-Tucher(KKT)最優化條件，分別求L(w,bL,ε,αL)關于變量w,bL,ε,αL的偏微分，并且消除變量w和ε，整理得到以下矩陣方程

( 6 )

Ψij=ψ[x(i)]ψ[x(j)]=k[x(i),x(j)]

假設HL=ΨL+μ-1IL，得

HL=

( 7 )

假設樣本輸出向量yL已知，解式( 6 )的矩陣方程可求出αL和bL，可得到最小二乘支持向量機的數學模型

( 8 )

由于高斯徑向基函數(RBF)為非線性函數，可減少訓練過程中計算的復雜性，因此本文采用RBF核函數，其表示為

( 9 )

式中：δ為核寬度;‖·‖2表示2-范數。

由以上推導過程可知，正則化參數μ和核寬度δ是得到精確LSSVM模型的重要參數，他們的選取直接影響著模型精度和泛化能力。

目前，國內外學者已經提出諸多方法用以優化正則化參數μ和核寬度δ，包括交叉驗證法[12]、網格搜索法[13]、梯度優化算法[14]、遺傳算法[15]和粒子群優化算法[16]等，其中，粒子群優化算法具有原理簡單、易于實現、收斂速度快、設置參數少等優點而受到廣泛的關注。本文采用自適應權值粒子群算法來優化選擇正則化參數μ和核寬度δ。具體步驟如下：

Step1參數設置。設置粒子群的規模N,最大迭代次數M,學習因子c1和c2，最大慣性權重ωmax和最小慣性權重ωmin,粒子群的初始速度和位置分別為vsd∈RN×2和xsd∈RN×2，第i個粒子的位置為xsd(i)=[μ,δ]∈R1×2；

Step2本文選取均方根誤差作為自適應權值粒子群算法的適應度函數，其具體表達式如式(10)。采用式(10)計算每個粒子當前位置的適應度值fit。取適應度值fit最小的粒子所對應的位置作為全局極值位置pg；

(10)

Step3計算每個粒子當前位置的適應度值fit。按照式(11)～式(13)進行迭代計算，更新每個粒子的速度、位置以及慣性權重

vsd(i+1)=ωvsd(i)+c1r1[pb(i)-xsd(i)]+

c2r2[pg-xsd(i)]

(11)

xsd(i+1)=vsd(i+1)+xsd(i)

(12)

(13)

式中:vsd(i)和xsd(i)分別表示第i個粒子的速度和位置；ω代表粒子的慣性權重；r1和r2是均勻分布在(0,1)區間的隨機數；pb(i)為第i個粒子的個體極值位置；pg是全局極值位置；fit(i)表示第i個粒子的適應度值；fitmin代表N個粒子中適應度最小值；fitavg為N個粒子中適應度的平均值；

Step4比較每個粒子位置更新后的適應度值與其當前最優位置的適應度值，如果前者小于后者，則將更新后的位置作為此粒子的當前最優位置，反之，則不改變此粒子的當前最優位置；然后將N個粒子當前最優位置的適應度值與全局極值位置的適應度值分別作比較，選取適應度值最小的位置作為全局極值位置pg；

Step5當達到最大迭代次數或解不再變化時停止搜索。輸出全局極值位置，并得到適應度值最小時的正則化參數μ和核寬度δ，即pg=[μ,δ]。否則返回step3，繼續搜索。

3 自適應LSSVM模型

動車組運行環境復雜、運行過程中不確定性和突發影響因素較多，采用固定模型難以有效描述動車組復雜多變的運行特征，且基于固定模型的運行控制方法難以滿足動車組運行性能要求，為此需要在動車組運行過程中對模型進行自適應校正以改善其運行控制性能。

3.1 模型校正策略

(14)

若式(14)成立，則模型不需要校正；反之，則將此新增樣本納入訓練樣本中，采用增量式學習方法來校正模型參數。

3.2 模型校正方法

為了避免矩陣求逆運算和解決因數據增長所帶來的計算量劇增的問題，本文以已確定的模型參數通過自適應迭代計算增加一個樣本后的模型校正參數。因此，得到L+1個訓練樣本的模型為

(15)

式中:eL+1=[1,1,…,1]T∈R(L+1)×1;IL+1為L+1維的單位矩陣;ψL∈RL×L，αL+1和bL+1分別為校正后的模型參數，假設，HL+1=ψL+1+μ-1IL+1,yL+1=[y(1),y(2),…,y(L+1)]T∈R(L+1)×1

令HL+1的逆為QL+1，即QL+1=HL+1-1。化簡式(15)，可得到

(16)

(17)

由式(16)、式(17)可以看出，為了求得校正模型后的參數aL+1和bL+1就必須求出HL+1的逆QL+1。由于隨著樣本數據的不斷加入，矩陣HL+1的維數越來越大，其求逆運算與越來越復雜。為了避免每次校正時的矩陣求逆運算，則采用遞推的方法來計算矩陣QL+1。矩陣HL+1為

(18)

式中:標量

ρL+1=μ-1+k[x(L+1),x(L+1)]

βL+1={k[x(1),x(L+1)],…,k[x(L),x(L+1)]}T

根據分塊矩陣以及矩陣和的求逆公式可得到QL+1的遞推式

(19)

由式(19)計算得出QL+1，并代入式(16)、式(17)可得到校正后的模型參數aL+1和bL+1，從而校正動車組模型。

4 動車組速度預測控制

4.1 基于LSSVM模型的速度預測控制

針對動車組運行過程復雜多變和不確定性，給出基于LSSVM模型的動車組速度預測控制方法見圖1。首先根據動車組的實際運行數據辨識得到自適應LSSVM模型。再在每個采樣時刻，根據預測輸出y與給定軌跡yr的偏差優化動車組的牽引/制動力u，從而實現動車組較高精度的跟蹤給定軌跡和動車組安全、舒適運行。

4.2 預測模型

廣義預測控制算法采用的是受控自回歸積分滑動平均CARIMA (Controlled Auto-Regression Integrated Moving Average)模型。由于LSSVM模型為非線性模型，難以直接用其來設計預測控制器。為使GPC算法能應用于LSSVM模型，在每個采樣周期將LSSVM模型(8)進行線性化處理[17]。假設第k個采樣周期，其相應的回歸量為x(k)。并在xk=(u(k-1),y(k-1))處將LSSVM模型用泰勒公式展開，得到線性模型

[x(1)-xk(1)]+…+

(20)

簡化式(20)得

y(x)=C+b1x(1)+…+

bnbx(nb)-a1x(nb+1)+

…+anax(nb+na)

(21)

式中:

在LSSVM模型中，本文采用RBF核函數，則bj和aj的具體表達式為

j=1,2,…,nb

j=1,2,…,na

4.3 速度預測控制方法

為實現動車組舒適、正點運行, 采用如下二次型性能指標

(22)

式中:y(k+1)為模型超前j步的最優預測值;yr(k+1)為未來(k+j)時刻的期望輸出;Δu(k+j)為控制輸入的增量;N0、P、Nu分別是最小輸出長度、預測長度和控制長度, 一般情況下取N0=1，并且P≥Nu.rj為控制加權系數, 約束控制量, 避免其劇烈變化。

將式(22)用矩陣形式表示為

J=E{[Y(k+j)-Yr(k+j)]T

Q[Y(k+j)-Yr(k+j)]+

ΔUT(k)RΔU(k)}

(23)

式中：

Yr(k+j)=[yr(k+1),yr(k+2),L,yr(k+P)]T

Y(k+j)=[y(k+1),y(k+2),L,y(k+P)]T

ΔU(k)=[Δu(k), Δu(k+1)L, Δu(k+Nu-1)]T

Q=[q1,q2,…,qP]為輸出誤差加權矩陣；R=[r1,r2,…,rN]為控制加權矩陣。

為了求解未來預測模型的輸出向量Y(k+j)，現引出Diophantine方程，利用Diophantine方程的遞推求解矩陣L,H,G,E，具體求解步驟見文獻[1]。進而可得到

Y(k+j)=LΔU(k)+HΔU(k-j)+

GY(k)+Ev(k+j)

(24)

式中：

ΔU(k-j)=[Δu(k-1),Δu(k-2),…,Δu(k-nb)]T

為過去的控制增量；過去的輸出向量為Y(k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-na)]T；不相干隨機干擾向量為v(k+j)=[v(k+1),v(k+2),…,y(k+p)]T。

式(24)等式右邊的第一項為零狀態預測，第2和第3項為零輸入預測，這3項疊加即為最優預測估計Y×(k+j)。將式(24)代入式(23)，令dj/dΔU(k)=0可得到最優控制律ΔU(k)的表達式

(Yr(k+j)-HΔU(k-j)-GY(k))

(25)

每個時刻經過滾動優化，從而可得第k時刻的控制力

u(k)=u(k-1)+Δu(k)=u(k-1)+

(26)

5 仿真分析

為驗證本文建模與控制方法的有效性，采用運行于京滬高鐵的CRH380AL型動車組為對象進行仿真實驗，該型號動車組的主要參數特性見表1[18]。

表1 CRH380AL型動車組的主要參數特性

本文采集該型號動車組于徐州東—濟南西區段上的實際運行數據1 500組，以其中900組數據作為建模訓練數據，余下的600組數據作為測試數據驗證建模效果。進一步，采用該動車組運行過程的新獲得的500組數據進行模型校正。

(1)LSSVM建模比較分析

建模參數初值設置：粒子群規模N=40,最大迭代次數M=100,學習因子c1=c2=2，最大慣性權重ωmax=0.9和最小慣性權重ωmin=0.4，自變量個數D=2，正則化參數μ和核寬度δ的搜索范圍分別為(0.001,8 000)和(0,5)。

首先，針對動車組900組運行數據，采用自適應粒子群優化算法確定最優的正則化參數μ=6 599.8和核寬度δ2=0.059 7，然后采用本文建模方法得到動車組LSSVM模型，其訓練誤差和測試誤差見圖2。

由圖2可知，LSSVM模型輸出能較高精度地擬合動車組實際運行輸出，泛化能力好，其訓練樣本輸出誤差范圍為(-1.262 7～1.056 8 km/h),而測試樣本輸出誤差范圍為(-1.918 2～1.836 9 km/h)。能滿足CTCS-3級列控系統的定位測速誤差要求，即：30 km/h以下速度誤差為±2 km/h，30 km/h以上的不超過運行速度的2%[1]。

在上述LSSVM離線模型基礎上，采用另外500組運行數據來校正模型參數，得到自適應LSSVM模型。設模型校正閾值x<2。為便于分析對比所提方法的有效性，分別采用自適應LSSVM模型和未校正LSSVM模型對動車組運行進行預測，對應的預測誤差見圖3，其對應的最大誤差范圍和均方根誤差如表2。

表2 模型誤差比較表 km·h-1

從圖3和表2可知， 未校正LSSVM模型的預測誤差范圍超過了2 km/h。而自適應LSSVM模型對實時數據的預測精度較高，預測誤差范圍均在2 km/h以內，可見自適應LSSVM模型能以較高精度預測動車組運行過程狀態變化。

(2) 基于LSSVM模型的速度預測控制

為了驗證自適應LSSVM模型在動車組運行速度控制的優越性。分別采用機理模型、線型多模型(文獻[1])和自適應LSSVM模型設計動車組速度預測控制算法，對運行于京滬高鐵徐州東—濟南西區段的CRH380AL型動車組的實際運行速度進行對比跟蹤控制試驗。3種方法對給定速度的跟蹤效果見圖4，其對應的牽引力/制動力變化曲線見圖5。

比較圖4中各曲線可知，基于機理模型的預測控制方法所得速度運行曲線跟蹤效果較差，尤其在動車組啟動和制動階段跟蹤誤差更大，對動車組安全運行帶了一定的影響。本文方法在動車組牽引、恒速、惰性和制動等各個工況下均有良好的跟蹤性能，保證了動車組的運行安全性和停靠準確性。而基于線性多模型的預測控制方法所得速度跟蹤效果雖然比機理模型好，但在工況切換階段與本文方法有較大差距。圖5表明，基于動車組機理模型的預測控制方法所得控制力的變化范圍比較大，會增大動車組能量消耗。基于線性多模型預測控制方法所得控制力在動車組運行狀態變化時，其變化范圍較大，影響動車組運行的舒適性。基于自適應LSSVM模型的預測控制方法得到的控制力介于上述兩種方法之間，其所得動車組控制力在整個運行過程中變化平緩，過渡比較平滑，且在啟動階段滿足恒牽引力和恒功率運行。在一定程度上提高了乘客的舒適性和運行平穩性。

6 結束語

為有效描述動車組運行過程的非線性特性和增強模型的適應性，提出了動車組自適應LSSVM建模方法，據此給出了基于自適應LSSVM模型的速度跟蹤控制方法。通過京滬高鐵徐州東—濟南區間段CRH380AL型動車組運行數據的對比仿真實驗分析，表明本文方法能較好地描述動車組非線性特性，具有較強的適應運行工況變化能力，并可實現動車組運行速度高精度跟蹤給定速度曲線。

參考文獻：

[1] 楊輝, 張坤鵬, 王昕, 等. 高速列車多模型廣義預測控制方法[J].鐵道學報，2011, 33(8): 80-87.

YANG Hui, ZHANG Kun-peng, WANG Xin, et al. Multiple Models Generalized Predictive Control Method of High-speed Train[J]. Journal of the China Railway Society, 2011, 33(8): 80-87.

[2] 楊輝, 張坤鵬, 王昕. 高速動車組多模型切換主動容錯預測控制[J]. 控制理論與應用, 2012, 29(9): 1211-1214.

YANG Hui, ZHANG Kun-peng, WANG Xin. Multiple-models Switching Predictive Control with Active Fault Tolerance for High-speed Train[J]. Control Theory & Applications, 2012, 29(9): 1211-1214.

[3] 衷路生, 顏爭, 楊輝, 等. 數據驅動的高速列車子空間預測控制[J]. 鐵道學報, 2013, 35(4): 77-83.

ZHONG Lu-sheng, YAN Zheng, YANG Hui, et al. Predictive Control of High-speed Train Based on Data Driven Subspace Approach[J]. Journal of the China Railway Society, 2013, 35(4): 77-83.

[4] YANG Hui, FU Ya-ting, ZHANG Kun-peng, et al. Speed Tracking Control Using an ANFIS Model for High-speed Electric Multiple Unit[J].Control Engineering Practice, 2014, 23: 57-65.

[5] 王義惠, 羅仁士, 于振宇, 等. 考慮ATP限速的ATO控制算法研究[J]. 鐵道學報, 2012, 34(5): 59-64.

WANG Yi-hui, LUO Ren-shi, YU Zheng-yu, et al. Study on ATO Control Algorithm with Consideration of ATP Speed Limits[J]. Journal of the China Railway Society, 2012, 34(5):59-64.

[6] GAO S G, QI S H, DONG H R,et al. Data-based Dynamic Characteristic Modeling and Tracking Control for High-speed Train[C]// Proceedings of IEEE 10thWorld Congress on Intelligent Control and Automation(WCICA2012).New York:IEEE Press,2002: 2913-2917.

[7] SONG Q, SONG Y D. Robust and Adaptive Control of High Speed Train Systems[C]//Proceedings of Chinese Control and Decision Conference (CCDC2010).New York:IEEE Press,2010:2469-2474.

[8] SUKKENS J A K, VANDEEALLE J. Recurrent Least Squares Support Vector Machines[J]. IEEE Transaction on Circuits & Systems-I, 2000, 47(7): 1109-1114.

[9] 宋佳, 劉勝, 李高云. 船舶航向最小二乘支持向量機內模控制[J]. 電機與控制學報, 2009, 13(1): 183-188.

SONG Jia, LIU Sheng, LI Gao-yun. LSSVM-IMC Control for Ship Course-keeping System[J]. Electric Machines and Control, 2009, 13(1): 183-188.

[10] LI X H, SONG Y D, FAN L L. Neuro-adaptive Electric Traction and Braking Control of High-speed Train[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Service Operations and Logistics, and Informatics (IEEE/SOLI'2011).New York:IEEE Press,2011: 385-390.

[11] CHOU M, XIA X. Optimal Cruise Control of Heavy Haul Trains Equipped with Electronically Controlled Pneumatic Brake System[J]. Control Engineering Practice, 2007, 15: 511-519.

[12] 徐南, 陳逸凡, 吳彥. 基于交叉驗證LSSVM的大壩監測數據處理模型[J].水利與建筑工程學報, 2013, 11(3): 67-69.

XU Nan, CHEN Yi-fan, WU Yan. Dam Monitoring Data Processing Model Based on Cross Validation LSSVM[J]. Journal of Water Resources and Architectural Engineering, 2013, 11(3): 67-69.

[13] HUANG Q J, MAO J L, LIU Y. An Improved Grid Search Algorithm of SVR Parameters Optimization. Communication Technology (ICCT)[C]// Proceedings of 14th IEEE International Conference on Industrial Chimneys and Cooling Towers (ICCT 2012 ).New York:IEEE Press,2012:1022-1026.

[14] 陶少輝, 陳德釗, 胡望明. LSSVM過程建模中超參數選取的梯度優化算法[J].化工學報, 2007, 58(6): 1514-1517.

TAO Shao-hui, CHEN De-zhao, HU Wang-ming. Gradient Algorithm for Selecting Hyper Parameters of LSSVM in Process Modeling[J]. Journal of Chemical Industry and Engineering, 2007, 58(6): 1514-1517.

[15] 吳景龍, 楊淑霞, 劉承水. 基于遺傳算法優化參數的支持向量機短期負荷預測方法[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2009, 40(1): 180-184.

WU Jing-long, YANG Shu-xia, LIU Cheng-shui. Parameter Selection for Support Vector Machines Based on Genetic Algorithms to Short-term Power Load Forecasting[J]. Journal of Central South University:Science and Technology Edition, 2009, 40(1): 180-184.

[16] 李璇, 彭繼剛, 王凱歌. 基于粒子群優化的LSSVM在模擬電路故障診斷中的應用[J]. 貴州師范大學學報(自然科學版), 2012, 30(5): 58-63.

LI Xuan, PENG Ji-gang, WANG Kai-ge.Method of LSSVM Optimized by Particle Swarm and Its Application in Fault Diagnosis of Analog Circuit[J]. Journal of Guizhou Normal University, 2012, 30(5): 58-63.

[17] LI L J, SU H Y, CHU J. Generalized Predictive Control with Online Least Squares Support Vector Machines[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(11): 1182-1188.

[18] 江靖. 新一代高速動車組牽引系統參數匹配設計與研究[J]. 機車電傳動, 2011, 33(3): 9-12.

JIANG Jing. Traction System Parameter Matching Design and Research of New-generation High-speed EMUs[J].Electric Drive for Locomotives, 2011, 33(3): 9-12.