復雜隔振結構激勵下彈性基礎振動及聲輻射分析

孫 瑤， 楊鐵軍， 梁偉龍， 陳 冰， 黃 迪

(哈爾濱工程大學動力與能源工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

復雜隔振結構激勵下彈性基礎振動及聲輻射分析

孫 瑤， 楊鐵軍， 梁偉龍， 陳 冰， 黃 迪

(哈爾濱工程大學動力與能源工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

針對隔振結構-彈性基礎耦合結構向外聲輻射問題，采用剛體理論及改進的傅里葉級數(shù)方法建立以任意邊界彈性板為基礎的雙層隔振耦合結構數(shù)學模型。采用瑞利-里茲方法得到整個耦合結構的強迫振動響應，繼而通過提取表面振速分布計算基礎彈性板向外的輻射聲功率。根據(jù)隔振結構的布置情況，以隔振器安裝點的振動作為表征，探討了耦合結構振動模態(tài)與基礎板聲輻射模態(tài)之間的耦合對應關系。最后計算并分析了基礎邊界條件對基礎板向外輻射聲功率的影響。

雙層隔振； 彈性基礎； 耦合結構； 聲輻射； 邊界條件

引 言

雙層隔振是目前船用動力機械常用的隔振方式之一。不同于陸地上的設備，船舶動力機械隔振系統(tǒng)的設計需要考慮隔振結構和彈性基礎(船體結構)的耦合作用[1-3]。不僅如此，考慮到對環(huán)境的影響及船舶噪聲標準的要求，通過彈性基礎向外的聲輻射也一直是研究人員關注的熱點。盛美萍[4]采用統(tǒng)計能量法及輻射效率經(jīng)驗公式對單層隔振-彈性基礎的輻射聲功率進行了估算，并分析了隔振器阻尼、設備安裝位置對彈性基礎聲輻射的影響。張志誼等[5]以雙自由度隔振模型和嵌于無限大障板中的四邊簡支加筋板構成的耦合結構為研究對象，采用有限元及邊界元法建模，討論了主動隔振對基礎彈性板聲輻射的影響。以上的研究表明，雖然最終只關心彈性基礎向外的聲輻射，但隔振結構的存在使施加在彈性基礎上的激勵情況變得復雜。因此對于隔振結構與彈性基礎構成的耦合結構而言，如果僅僅是對彈性基礎的振動及其聲輻射進行分析不能全面地體現(xiàn)耦合結構基礎聲輻射的特性。

早期對于結構振動聲輻射的研究集中于對振動模態(tài)輻射效率的分析[6]，但振動模態(tài)之間對聲輻射的互耦合作用使其變得復雜[7]。20世紀90年代國外一批學者通過特征值分解對結構聲輻射進行分析[8-9]。這種分析角度的優(yōu)勢在于各階聲輻射模態(tài)對輻射聲功率的貢獻獨立并且不隨邊界條件及材料屬性的變化而改變。而其不足之處在于聲輻射模態(tài)形狀對頻率的變化不敏感，對于高頻段高階振動模態(tài)主導的情況，輻射效率高的聲輻射模態(tài)也可能對輻射聲功率的貢獻不大。基于這兩類模態(tài)各自的特性及頻域上變化的不匹配性，有學者對振動模態(tài)及聲輻射模態(tài)之間的耦合關系進行了研究[10-11]。如李雙等[10]討論了簡支平板振動模態(tài)及聲輻射模態(tài)的對應關系。其中應用了簡支板振動模態(tài)奇偶模態(tài)序數(shù)的概念，但這種奇偶模態(tài)的描述方法對于非簡支邊界條件的彈性板卻并不適用。

本文采用能量法對彈性基礎上的雙層隔振耦合結構進行數(shù)學建模，考慮隔振結構的多自由度運動及任意邊界彈性基礎的彈性振動。以隔振器安裝點的運動為切入點，對耦合結構振動模態(tài)與基礎彈性板聲輻射模態(tài)之間的耦合關系進行探討。這種分析方法將容易測量得到的隔振器安裝位置的振動情況與耦合結構的聲輻射關聯(lián)在一起，為彈性基礎上隔振系統(tǒng)的聲輻射分析帶來便利。

1 耦合結構系統(tǒng)建模

圖1描述了彈性基礎上的雙層隔振結構基礎結構聲輻射產(chǎn)生的機理。本文考慮的雙層隔振-彈性基礎耦合結構如圖2所示。耦合結構由上層質量(模擬機械設備)、中間質量、隔振器(上下層各采用對稱布置的4個隔振器)和基礎彈性板構成。圖2中所示板邊界的剪切彈簧及扭轉彈簧可用來模擬任意邊界條件，上下層隔振器如圖2中所示進行編號。

圖1 彈性基礎上雙層隔振結構聲輻射耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of the vibro-acoustics of a double-stage vibration isolation system mounted on a flexible structure

圖2 彈性基礎雙層隔振結構布置圖Fig.2 A double-stage vibration isolation system mounted on a rectangular plate with arbitrary boundary condition

在忽略空間聲場對結構耦合作用的假設條件下，基礎彈性板向外的聲輻射可以通過基礎板結構振動響應的速度分布得到。其求解基本思路為：首先根據(jù)各子結構的運動情況給出其含未知系數(shù)的振動位移表達式；繼而對耦合結構采用能量原理進行描述；然后采用瑞利-里茲近似方法得到系統(tǒng)的控制方程組；最終求解特征方程并將系數(shù)向量帶回結構振動表達式中得到各子結構的振動情況。

首先，將各子結構的振動情況用含有未知系數(shù)的函數(shù)表示。對于上層及中間質量采用剛體理論建模，考慮一個平動自由度及兩個旋轉自由度。采用質心運動描述剛體結構的振動，其具體表達式如下：

ze=Zesinωt,θe=Θesinωt,φe=Φesinωt

zi=Zisinωt,θi=Θisinωt,φi=Φisinωt

(1)

式中z，θ及φ分別代表豎直方向、繞y軸及繞x軸的位移及角位移，下標e代表上層質量(機械設備)，下標i代表中間質量，ω為角頻率，t為時間變量。待求未知系數(shù)組成的幅值向量為[Ze,Θe,Φe,Zi,Θi,Φi]T。

對于作為基礎的彈性板，為不失一般性,本文采用二維改進的傅里葉級數(shù)來表示其面外彎曲振動[7]，此方法可以對任意邊界薄板的彎曲振動進行描述。基礎彈性板的橫向位移可表示為

(2)

對整個耦合結構采用能量原理進行描述，系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)可以表示成如下形式

L=V總-T總-Wext

(3)

式中V總表示耦合結構中存儲的總勢能，T總為耦合結構的總動能，Wext表示外力對耦合結構所做的功。

對于雙層隔振-彈性基礎耦合結構，其振動動能由各層質量和基礎彈性板的動能構成，其勢能由隔振器中儲存的勢能及基礎彈性板的彎曲及邊界勢能構成，即：

V總=V上層隔振器+V下層隔振器+V基礎

(4)

T總=T上層質量+T中間質量+T基礎

(5)

隔振器中儲存的勢能可表示為：

jωce(zel-zil)2]

(6)

(7)

基礎彈性板的動能和勢能分別為：

(8)

(9)

式中ρ，h分別代表板的密度和厚度，D，μ分別代表板的彎曲剛度及泊松比。Kx，Ky與kx，ky分別代表基礎彈性板邊界上的扭轉及剪切彈簧剛度，通過改變剛度值可以模擬任意的邊界條件。例如，當基礎板的邊界條件為簡支時則可以將剪切彈簧剛度設為無窮大，而扭轉彈簧剛度設為0。類似地,板的自由邊界條件則可將剪切及扭轉彈簧剛度均設為0。

采用瑞利-里茲方法，在式(2)中取有限階函數(shù)項來描述基礎彈性板的位移。將系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)對未知系數(shù)取極值，可以得到15個線性方程組，表示成矩陣形式如下

(10)

式中E為耦合結構的未知系數(shù)向量，K，C，M及F分別代表耦合結構在縮減的拉格朗日坐標系下的剛度、阻尼和質量矩陣及外激勵向量。

通過求解式(10)可以得到耦合結構在外激勵作用下的未知響應的系數(shù)幅值，再代回式(1)和(2)中即可得到雙層隔振結構的振動響應和基礎彈性板的振動位移分布。

基礎彈性板向半無限空間的聲輻射應用瑞利積分計算。空間任意點聲壓與基礎彈性板表面振速之間的關系可由下式來描述

(11)

結構的輻射聲功率Wrad可由結構表面聲壓和法向速度表示為

(12)

式中 上標H代表共扼轉置，Re()表示取實部。

如將基礎彈性板分割成M個振動面元(面元的分割應保證面元幾何尺寸遠小于聲波波長)，可對式(12)進行離散。此時，輻射聲功率可以表示成矩陣形式如下

Wrad=VHRV

(13)

式中V為離散的板表面振速分布向量。R為聲輻射阻抗矩陣，并且其第(m′,n′)個元素可以表示為

式中rm′,n′為板上第m′個面元到第n′個面元之間的距離，Δs為每個離散振動面元的面積。根據(jù)聲輻射模態(tài)理論，對聲阻抗矩陣R進行特征值分解，可以得到一組特征向量φm′及其相應的特征值{λm′}。其特征向量被視為結構聲輻射的模式即聲輻射模態(tài)，特征值則對應于此階聲輻射模態(tài)的輻射效率[9]。輻射聲的能量可視為各階聲輻射模態(tài)輻射聲功率的疊加

(15)

由式(15)可以看出，輻射聲功率不僅受聲輻射模態(tài)的輻射效率λm′影響，還由聲輻射模態(tài)形狀與振速分布的耦合程度來決定。

2 耦合結構振動及聲輻射模態(tài)

本文建立的雙層隔振結構及基礎彈性板的幾何參數(shù)如表1所示。材料的特性參數(shù)為：密度為7 800 kg/m3、楊氏模量為2×1011N/m2、泊松比為0.3。上層隔振器剛度為4×105N/m，阻尼50 N·s/m；下層隔振器剛度為1×106N/m，阻尼30 N·s/m。上下層隔振器的安裝位置列于表2中。基礎彈性板的邊界條件為四邊固支。

表1 耦合結構尺寸參數(shù)

表2 隔振器安裝位置

2.1 耦合結構的振動模態(tài)

若忽略阻尼及外力的做功項，式(10)成為一個標準的特征值問題，通過求解線性特征值問題可得到耦合結構的振動模態(tài)。其前10階固有頻率與有限元計算結果的比較如表3所示：

表3 耦合結構前10階固有頻率

由上表可以看出，利用本文建立的模型計算出的耦合結構固有頻率與有限元計算結果吻合良好。

繪制耦合結構的前10階模態(tài)振型如圖3所示。

為了方便探討耦合結構模態(tài)中雙層隔振結構與基礎彈性板之間的耦合對應關系，本文結合隔振結構與基礎的連接特性，以下層隔振器在基礎彈性板上4個安裝點、上層隔振器在上層及中間質量上安裝點的運動情況作為表征對耦合結構中各子結構的振動形態(tài)進行描述(上下層隔振器在中間質量的安裝位置雖然不同，但是由于中間質量采用剛體建模，所以采用一組安裝點即可反映中間質量的振動形態(tài))。隔振器安裝點的運動狀態(tài)可按隔振器編號順序依次表示為++++，++--，+-+-及+--+(+，-表示方向相反的運動形態(tài))。根據(jù)圖3所顯示振型，可將耦合結構中各子結構的運動形式列于表4中。

從圖3和表4可以看出，雙層隔振結構與基礎彈性板的振型服從特定的耦合對應關系。如隔振器上端的運動形式為++--，則其下端只能以++--或--++的形式運動；并且由于隔振結構上下層質量采用剛體理論建模，所以不會出現(xiàn)對角線對稱模態(tài)，即耦合結構不會出現(xiàn)+-+-的振動形態(tài)。此外，耦合結構前6階模態(tài)的振型以雙層隔振結構的振動為主，從第7階模態(tài)開始耦合結構的振型主要體現(xiàn)為基礎彈性板的振動。與單純邊界支撐的彈性板不同，下層隔振器的約束使基礎彈性板的振動模態(tài)形狀發(fā)生了變化，即耦合結構會出現(xiàn)純板低階振動模態(tài)的重復，而且某些純板模態(tài)不會出現(xiàn)。

圖3 耦合結構模態(tài)振型(1～10階)Fig.3 The first 10 modal shapes of the coupling structure

2.2 耦合結構基礎彈性板聲輻射模態(tài)

根據(jù)聲輻射模態(tài)理論[9,13]，對輻射聲阻矩陣R進行特征值分解可以得到基礎彈性板的各階聲輻射模態(tài)形狀及對應的輻射效率。其前6階聲輻射模態(tài)輻射效率隨頻率的變化如圖4所示。圖5為彈性板前6階聲輻射模態(tài)形狀。由于聲輻射模態(tài)形狀對頻率變化不敏感，此處以100 Hz激勵時基礎彈性板的聲輻射模態(tài)形狀代表耦合結構在考慮頻段范圍內的聲輻射模態(tài)形狀。

圖4 基礎彈性板前6階聲輻射模態(tài)的輻射效率曲線Fig.4 Radiation efficiencies of the first 6 radiation modes

圖5 100 Hz激勵時基礎彈性板前6階輻射聲輻射模態(tài)形狀Fig.5 The first 6 radiation modal shapes when exciting frequency is 100 Hz

根據(jù)對式(15)的分析可以推斷，當板以特定的振動模態(tài)振動時，其與聲輻射模態(tài)形狀的耦合情況很大程度上影響了輻射聲功率的幅值。如聲輻射模態(tài)形狀與振動模態(tài)形狀正交則會導致輻射聲功率為0。繼續(xù)以下層隔振器基礎安裝點作為參考量，結合圖3、表4及圖5可以得到耦合結構的振動模態(tài)與基礎彈性板的輻射聲模態(tài)之間的耦合對應關系，如表5所示。

表5 下層隔振器基礎安裝點運動狀態(tài)對應的振動與聲輻射模態(tài)

Tab.5 Correspondence between vibration modes and sound radiation modes through motion styles of lower isolator locations on base plate

下層隔振器基礎安裝點振動形態(tài)對應耦合結構振動模態(tài)對應基礎板聲輻射模態(tài)++++1，4，7，101，5，6-++-2，6，82--++3，5，93+-+-無此振型4

從表5中可以看出，由于隔振器的約束，耦合結構的振動模態(tài)與基礎彈性板的聲輻射模態(tài)將根據(jù)下層隔振器安裝位置的振動情況有選擇地相互耦合，如耦合結構的1,4,7,10階模態(tài)振動以基礎彈性板的第1,5,6階聲輻射模態(tài)向外輻射噪聲，而2,6,8階振動模態(tài)則對應著第2階聲輻射模態(tài)，第3,5,9階振動模態(tài)則對應著第3階聲輻射模態(tài)。

3 耦合結構的輻射聲功率

考慮激勵力作用于上層質量(0.1,0.1)處時基礎彈性板各階聲輻射模態(tài)對應的輻射聲功率及總的輻射聲功率，計算結果曲線如圖6所示。

圖6 基礎彈性板前6階輻射聲模態(tài)及總的輻射聲功率曲線Fig.6 Sound radiation power curves of the first 6 individual radiation modes and the total sound radiation power

從圖6中可以看出，在200 Hz頻率范圍內，基礎彈性板第1，5，6階聲輻射模態(tài)輻射聲功率曲線中的前3個峰值分別對應著耦合結構的第1，4和第7階振動模態(tài)，最后一個峰值對應著耦合結構的第10階振動模態(tài)。這和表5中顯示的振動模態(tài)和聲輻射模態(tài)的耦合關系一致。同樣，第2，3階聲輻射模態(tài)對應的聲功率曲線也呈現(xiàn)出與表5一致的特征。

第4階聲輻射模態(tài)的輻射聲功率幾乎為零，這是由于這階聲輻射模態(tài)的形狀與對邊相同臨邊相反的振動形態(tài)耦合。如表5所示，耦合結構的振型中不會產(chǎn)生這種對角相同臨邊相反的振速分布，故此階聲輻射模態(tài)對耦合結構總的輻射聲功率沒有貢獻。

圖6顯示，總的輻射聲功率曲線在0～100 Hz的頻率范圍內基本上與第1階聲輻射模態(tài)對應的輻射聲功率曲線重合，然后沿第2階聲輻射模態(tài)輻射聲功率曲線上行，但同時受到第3階聲輻射模態(tài)的影響，最后又回到第1階聲輻射模態(tài)輻射聲功率曲線。這是因為在0～100 Hz的頻率范圍內耦合結構主要由前7階振動模態(tài)主導(見表3)，不同振動模態(tài)又有選擇的與1～6階聲輻射模態(tài)耦合(見表5)。由圖4可知，第1階聲輻射模態(tài)的輻射效率遠遠大于其他各階聲輻射模態(tài)，受此影響在較低的頻率范圍內總的輻射聲功率以第1階聲輻射模態(tài)的貢獻為主。隨著頻率的升高，振動與聲輻射模態(tài)對應的選擇性逐漸顯現(xiàn)。隔振結構第8，9階振動模態(tài)分別只與第2，3階聲輻射模態(tài)耦合，所以總的輻射聲功率曲線在結構第8階振動模態(tài)頻率附近主要以第2階聲輻射模態(tài)貢獻為主，而在結構第9階模態(tài)頻率附近會受到第3階聲輻射模態(tài)的影響。但到了第10階振動模態(tài)頻率附近，第1階聲輻射模態(tài)與模態(tài)振型的高度耦合，使總的輻射聲功率曲線又開始回到第1階聲輻射模態(tài)的輻射聲功率曲線。

4 耦合結構的能量傳遞關系

本文在計算基礎彈性板輻射聲功率的同時還考慮了隔振系統(tǒng)的能量傳遞情況。圖7為基礎彈性板輻射聲功率、傳遞至基礎的功率及耦合結構總輸入功率隨頻率的變化情況。根據(jù)耦合結構的模態(tài)振型，可以將所考慮的頻率范圍分為雙層隔振結構振動控制區(qū)(1至6階振動模態(tài))和基礎彈性板振動控制區(qū)(7階振動模態(tài)之后)。

圖7 耦合結構中能量傳遞關系及輻射聲功率Fig.7 Power flow in the coupling structure and sound radiation

從圖7可以看出，在雙層隔振結構振動控制區(qū)范圍內，傳遞至基礎的功率流曲線與耦合結構總的輸入功率流曲線在前3階振動模態(tài)頻率范圍內基本一致，而在4～6階模態(tài)頻率范圍內卻有較大的差別。從表4中不難發(fā)現(xiàn)，耦合結構前3階振動模態(tài)中雙層隔振結構的兩個質量與基礎彈性板為同向振動，即隔振器的上下兩個端面沒有大的相對位移，因此隔振器的阻尼沒有耗散太多的振動能量。而4～6階振動模態(tài)中上層及中間質量反向振動，上層隔振器受到大的拉伸和壓縮，隔振器阻尼吸收了一部分振動能量從而削減了傳遞至基礎彈性板的振動功率流，同時會降低了基礎板向外的輻射聲功率。

對比傳遞功率流曲線與輻射聲功率曲線，第2，3，5和第6階振動模態(tài)雖然在傳遞功率流中有明顯的峰值，但在輻射聲功率曲線中并沒有明顯體現(xiàn)。這是因為這幾階振動模態(tài)基礎彈性板的振動形式為++--和+--+，與基礎彈性板的第2，3階聲輻射模態(tài)耦合(見表5)，而這兩階聲輻射模態(tài)的輻射效率較低(見圖4)，所以在輻射聲功率曲線中沒有這2階振動模態(tài)峰值。

對于基礎彈性板振動控制區(qū)，功率流傳遞及輻射聲功率主要受基礎彈性板振動的影響，而受雙層隔振結構振動的影響較小，因此傳遞至基礎的功率流曲線與基礎輻射聲功率曲線形狀大致相同。此外，在這個區(qū)域基礎彈性板的++++，++--和+--+，----(分別對應第7到第10階耦合結構模態(tài))振動形態(tài)在輻射聲功率曲線中有明顯峰值。這是因為隨著頻率的升高，高階聲輻射模態(tài)的輻射效率逐漸增大。由于這幾階振動模態(tài)雙層隔振結構的振幅很小，而激勵力作用在上層質量上，所以總的輸入功率流沒有明顯對應的峰值。從圖7中還可以看出，在基礎彈性板振動控制區(qū)，雙層隔振結構的下層隔振器上下兩端受到壓縮或拉伸，其阻尼能吸收一部分振動能量，所以傳到基礎的功率流較總的輸入功率流有較大的衰減。

上述分析表明：相對于振動模態(tài)或者聲輻射模態(tài)，隔振器的振動形態(tài)信息可以更加簡便地反映彈性基礎輻射聲功率的情況，這對于振動主動控制傳感及控制策略有一定的指導意義。

5 基礎彈性板邊界條件影響

由于基礎彈性板結構邊界上所有彈性約束的貢獻被包含在基礎板的勢能表達式中，各種不同的邊界條件可以通過設置約束的彈簧剛度系數(shù)從零到無窮大范圍內的任何數(shù)值來表示，所以可以方便地考察基礎彈性板的邊界條件對其聲輻射的影響。

參照圖2將y方向扭轉彈簧剛度Ky設定為0，將剪切彈簧剛度ky分別設為5×105,1×106及1×1011(與Ky值組合對應著簡支邊界條件)，可以得到三組不同邊界條件下的基礎輻射聲功率、聲功率與傳遞功率流的比值曲線如圖8所示。從圖中可以看出，隨著剪切彈簧剛度的降低，耦合結構的固有頻率降低，并且這種固有頻率的偏移在基礎彈性板振動控制區(qū)域更加明顯。結合圖8(b)可以看出隨著剪切彈簧剛度的降低，輻射聲功率幅值呈升高趨勢，振動能量轉化成聲輻射能量的比例增大。

類似地將y方向剪切彈簧剛度ky值設為1×1011，將扭轉彈簧剛度Ky分別設為0(與ky值組合對應著簡支邊界條件)、1×105及1×1011(與ky值組合對應著固支邊界條件)，得到的基礎板輻射聲功率、聲功率與傳遞功率流比值如圖9所示。與圖8相似，隨著邊界上扭轉彈簧剛度的降低，共振峰頻率變小，共振峰幅值升高。

圖8 y方向剪切彈簧剛度的影響Fig.8 Effects of ky

圖9 y方向扭轉彈簧剛度的影響Fig.9 Effects of Ky

由式(13)可知，輻射聲功率是由受邊界條件影響的速度分布向量與不受邊界條件影響的聲輻射阻抗矩陣決定，而改變邊界上的剛度在一定程度上改變了彈性基礎板振動響應的速度分布。同時式(15)表明，輻射聲功率的幅值與振動模態(tài)及表面振速的耦合程度有關，即聲輻射模態(tài)與振動模態(tài)形狀的耦合程度決定了輻射聲功率的幅值。考察圖5可知，聲輻射模態(tài)形狀與邊界約束較小時的振動模態(tài)很相近，即其與邊界剛度較小時振動模態(tài)的耦合度更高。所以當弱邊界約束的彈性板振動時，其輻射聲功率占輸入功率的比值會比強邊界約束時大。

6 結 論

本文對雙層隔振-彈性基礎的耦合結構采用能量法建模，計算了任意邊界基礎彈性板向半無限空間的聲輻射情況。結合隔振器安裝點的振動情況建立了耦合結構振動模態(tài)與基礎輻射聲模態(tài)之間的聯(lián)系。結果表明隔振器在基礎安裝點的振動形態(tài)信息可以更加方便地反映輻射聲功率的情況。

雙層隔振結構對于基礎彈性板聲輻射的影響表現(xiàn)為：1)隔振結構的存在不僅使基礎彈性板受到與隔振器相同數(shù)目的激勵，同時也是對基礎彈性板的約束，這使耦合結構振動模態(tài)與基礎彈性板的聲輻射模態(tài)有選擇地耦合；2)在雙層隔振結構振動控制區(qū)，傳遞至基礎的振動能量由隔振結構的振動決定，耦合結構振動形態(tài)與聲輻射模態(tài)的耦合程度關系到彈性基礎的聲輻射能量；3)對于基礎振動控制區(qū)，聲輻射能量及傳遞功率流均由基礎板的振動響應決定。

隔振結構對基礎彈性板的約束及其在低頻段的主導作用，使與其耦合的基礎彈性板呈現(xiàn)出不同于單獨平板的振動形態(tài)。并且有別于單獨平板振動模態(tài)從低階向高階的形狀變化，耦合結構中的基礎板振動形態(tài)會出現(xiàn)純板低階模態(tài)的幾次重復。此外，某些單獨平板的振動模態(tài)有可能不會在耦合結構的基礎板振動中出現(xiàn)。

通過改變基礎彈性板的邊界條件，計算了基礎彈性板輻射聲功率、聲功率與傳遞功率比值的變化。結果表明：邊界剛度的降低使系統(tǒng)共振頻率下降，并且這種下降趨勢在基礎板振動控制區(qū)表現(xiàn)得更加明顯，而輻射聲功率的幅值隨著邊界剛度的降低而升高。

[1] Soliman J I, Hallam M G. Vibration isolation between non-rigid machines and non-rigid foundations[J]. Journal of Sound and Vibration, 1968, 8: 329—351.

[2] Pan J, Pan J Q, Hansen C H. Total power flow from a vibrating rigid body to a thin panel through multiple elastic mounts[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1992, 92: 895—907.

[3] Gardonio P, Elliott S J, Pinnington R J. Active isolation of structural vibration on a multiple-degree-of-freedom system, part I: the dynamics of the system[J]. Journal of Sound and Vibration,1997, 207: 61—93.

[4] 盛美萍，王敏慶，刑文華，等. 單層隔振系統(tǒng)中彈性基座的振動與聲輻射特性[J]. 機械科學技術, 2000，19: 94—96.

Sheng Meiping, Wang Minqing, Xing Wenhua, et al. Vibration and structure-borne sound of supporting structures in machine vibration isolating systems[J]. Mechanical Science and Technology, 2000，19: 94—96.

[5] Zhang Z, Chen Y, Yin X, et al. Active vibration isolation and underwater sound radiation control[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 318:725—736.

[6] Wallace C E, Radiation resistance of a rectangular panel[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1972,51: 946—952.

[7] Li W L， Gibeling H J. Determination of the mutual radiation resistances of a rectangular plate and their impact on the radiated sound power[J]. Journal Sound and Vibration, 2000, 229:1 213—1 233.

[8] Borgiotti G V. The power radiated by a vibrating body in an acoustic fluid and its determination from boundary measurements[J]. The Journal of Acoustic Society of America, 1990,88:1 884—1 893

[9] Elliott S J， Johnson M E. Radiation modes and the active control of sound power[J]. The Journal of the Acoustical Society of America,1993, 94(4): 2 194—2 204.

[10]李雙,陳克安. 結構振動模態(tài)和聲輻射模態(tài)之間的對應關系及其應用[J]. 聲學學報, 2007, 32(2)：171—177.

Li Shuang, Chen Kean. The relationship between acoustic radiation modes and structural modes and its applications[J].ACTA ACUSTICA, 2007, 32(2)：171—177.

[11]黎勝，趙德有. 結構聲輻射的振動模態(tài)分析和聲輻射模態(tài)分析研究[J]. 聲學學報, 2004，29(3):200—208.

Li Sheng, Zhao Deyou. Research on modal analysis of structural acoustic radiation using structural vibration modes and acoustic radiation modes[J].ACTA ACOUSTICA,2004，29(3):200—208.

[12]Li W L, Zhang Xuefeng, Du Jingtao, et al. An exact series solution for the transverse vibration of Rectangular plates with general elastic boundary supports[J]. Journal of Sound and Vibration,2009, 321:254—269.

[13]Fahy F J, Gardonio P. Sound and Structural Vibration: Radiation, Transmission and Response[M].Academic Press, 2007:165—172.

Vibration and sound radiation from a flexible base excited by a complex vibration isolation structure

SUNYao,YANGTie-jun,LIANGWei-long,CHENBing,HUANGDi

(Power and Energy Engineering College, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The mathematical model of a double-stage vibration isolation system mounting on a flexible plate was established from the viewpoint of energy in this paper. The masses of double-stage vibration isolation system were regarded as rigid bodies whereas the flexible base plate was described using a modified Fourier series expansion which permits arbitrary boundary conditions. By using Rayleigh-Ritz method, the forced responses of the coupled structure could be obtained and the sound radiation power from the base plate could be evaluated employing Rayleigh integral. Furthermore, the coupling between vibration modes of the coupling structure and sound radiation modes of the plate was discussed. In addition, the influence of boundary conditions upon sound radiation was analyzed.

double-stage vibration isolation; flexible base; coupling structure; sound radiation; boundary condition

2014-12-08；

2015-07-28

國家自然科學基金資助項目(51375103)

O328； TK421.6

A

1004-4523(2015)06-0902-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.007

孫瑤(1987—)，女，博士研究生。電話：(0451)82589199-306;E-mail: sunyao@hrbeu.edu.cn