基于混合系統模型預測控制的列車自動駕駛策略

王龍生，徐洪澤，張夢楠,段宏偉

1.北京交通大學 電子信息工程學院，北京 100044;2.桂林電子科技大學 建筑與交通工程學院，廣西 桂林 541004；3.中國鐵道科學研究院 通信信號研究所，北京 100081)

列車自動控制ATC系統在保證列車行車安全、降低列車運行能耗及提高軌道交通系統運營效率等方面發揮著重要的作用。其中，列車自動駕駛ATO系統作為其重要組成部分，是具體實施列車牽引、制動和停車控制的子系統。因此，設計高性能的ATO控制器對于提高列車自動控制水平，改善ATC系統性能具有較高的應用價值[1]。近十年來，各種先進的控制算法都相繼用于ATO控制器的設計[2-5]，如優化控制[2]、迭代學習控制[3]、H2/H∞控制[4]、自適應控制[5]等。然而，隨著對ATO控制性能要求的提高，上述方法缺乏綜合考慮非線性模型、多約束及多優化目標問題的能力，導致其在應用上受到限制。

列車在實際運行控制過程中，需要考慮列車安全限速、牽引電機飽和特性和車間最大耦合力等約束條件，同時還需綜合考慮運營準時性、節能高效和乘客乘坐舒適度等性能指標。因此，模型預測控制MPC，因具有在控制器的設計過程中能充分考慮系統的輸入和狀態約束、處理多目標優化問題等優勢[6]，更適合用于ATO控制器的設計[7, 8]。然而，基于傳統模型預測控制CMPC的ATO策略卻存在以下問題：(1)對于列車模型中的非線性部分，選擇直接忽略或者僅在平衡點附近線性化，所得的列車運行模型誤差較大；(2)CMPC在設計動車組列車各車廂分布式牽引力和制動力時，可能會造成拖車在牽引到巡航的轉換階段有制動力輸出的情況，增大了列車運行能耗；(3)由于CMPC需要實時在線求解優化問題，會造成控制器設計過程計算量大、硬件實現成本高等問題，極大地限制了其應用范圍和應用場合。

本文針對考慮列車運行安全約束及列車非線性運行模型的ATO問題，引入列車運行狀態整數變量，提出一種基于混合系統模型預測控制的方案。本文的主要創新點如下：(1)對列車運行阻力進行分段線性化，并引入列車運行狀態整數變量，建立基于混合整數的列車多質點運行模型，以保證動車組各車廂牽引力和制動力的正確分配；(2)提出基于混合系統模型預測控制的ATO策略，并應用“輸入分塊化”技術和顯式模型預測控制對算法進行改進，以減少其計算量。前者通過固定一定時間段內的控制量，對輸入序列進行分塊化，降低控制器的自由度；后者通過離線設計和在線綜合的方法減少算法的在線計算時間。

1 模型建立及問題描述

1.1 混合系統列車運行模型

圖1 CRH3型動車組編組及單節車廂受力分析

圖1為CRH3型8節車廂編組的動車組結構圖。第1、3、6、8節車廂(圖1中輪子為黑色的車廂)為裝備了牽引單元的動力機車，列車每節車廂均裝有電空制動單元。動車組列車共n節車廂，定義第i(i=1,2,…,n)節車廂的質量、速度和位移分別為mi、vi和xi；ui為該節車廂的牽引力Fti或制動力Fbi的輸出；fri為運行阻力；第i節車廂和第i+1節車廂間的相互作用力為fini(i+1)?？紤]第i節車廂受力情況(如圖1中第6節車廂所示)，根據牛頓運動學定律，動車組的動力學方程組可以表示為

( 1 )

運行阻力和車間作用力可以表示為[9]

fri=mi(c0+cvvi+cavi2)+fai

( 2 )

fini(i+1)=k(xi-xi+1)

( 3 )

式中：c0、cv、ca為運行阻力系數；fai表示由于線路坡度、轉彎半徑和穿越隧道所產生的附加阻力；k為車鉤系統的彈性耦合系數。定義ωi=c0+cvvi+cavi2。

由式( 2 )可知，fri具有明顯的非線性特性。本文釆用分段線性化的方法對fri進行處理，從而保證線性化后的曲線有效逼近原曲線的同時，降低了控制器設計和實現的難度。根據CRH3型動車實際運行情況(參數見表1)，列車的最高運行速度約為350 km/h，在該運行速度范圍內運行阻力的原曲線和分段線性化后的曲線如圖2所示。

表1 CRH3型動車組參數

圖2 CRH3型列車運行阻力及分段近似曲線

圖2中，分三段線性化后的結果已能較好地逼近原非線性曲線。定義j=1,2,3為分段序數，則運行阻力可表示為線性分段函數。

fri=mi(αj+βjvi)+fai

( 4 )

分段所屬速度區間和各分段內的參數見表2。

表2 運行阻力分段線性化參數

因此，式( 1 )通過分段線性化和離散化(采樣周期Ts=1s)后的狀態空間方程可以表示為

( 5 )

式中：系統狀態x=[v1v2…vnx1x2…xn]T；輸入up=[u1u2…un]T；輸出y=[v1x1]T；Apj、Bp、Cp分別由式( 2 )～式( 4 )導出。

式中：1n×n和0n×n分別表示n×n階單位矩陣和零矩陣。

fAj為與狀態和輸入無關的仿射項。

綜上所述，式( 5 )為由分段參數(Apj,fAj)構成的分段仿射PWA系統。

為了提高動車組列車各車廂牽引力和制動力分配的準確性，引入列車運行狀態變量。假設有p輛動車裝備了牽引單元，且動車和拖車(拖車數量q=n-p)均裝備了制動單元。因此，列車的牽引合力來自于各動車的牽引力，而制動合力來自于動車和拖車的共同制動力。

裝備了牽引單元的動車不僅能在牽引過程中提供牽引力，而且能在制動的過程中提供電制動力，所以動車的制動力由電制動力和空氣制動力兩部分組成。拖車的制動力完全來自制動單元的空氣制動力。然而，本文簡化了此過程，僅考慮動車制動力的合力。

定義二進制變量δ∈{0,1}表示列車的運行狀態，即δ=1表示牽引狀態；δ=0表示制動狀態。定義動車牽引力和制動力矩陣為

Γt=[Ft1Ft2…Ftp]T

拖車的制動力矩陣為

Γb=[Fb1Fb2…Fbq]T

列車合力

u=[ΓtTΓbT]T

所以列車運行模型( 5 )可進一步表示為

( 6 )

式中：Bt、Bb為相應的牽引力和制動力分配矩陣；Ρi(i=t,b)為由系統狀態x和輸入u所組成空間的多面體分區[10]。因此，列車運行模型( 6 )為同時包含整數變量和連續變量的混合整數模型。

1.2 列車運行安全約束

( 7 )

由式( 3 )可知，fini(i+1)可以表示成列車位置的線性組合，所以式( 7 )中的列車速度約束和車鉤耦合力的約束可以寫成系統狀態x(k)的形式。

( 8 )

因為各軌道區段內的限速不同，且最大牽引力也是隨著列車運行速度變化的，所以牽引力和速度的約束都可以是時變的。

1.3 優化問題描述

根據模型預測控制器的工作原理，設計用于滾動優化的性能指標函數，以直接反映對于列車運營準時性、運行節能高效性及乘坐舒適度等指標的要求。

(1)準時性表現為列車的實際速度-位置對期望速度-位置曲線的追蹤精度。該期望曲線是一條提前設計的且滿足運營時刻表和節能操縱的曲線[11, 12]，其數學表達式為

( 9 )

式中：N為MPC的預測步長；狀態x(i|k)表示在時刻k之后第i時刻(即k+i時刻)的預測狀態；同理y(i|k)、u(i|k)表示第k+i時刻的預測輸出和輸入；Qv和Qx分別表示速度誤差和位移誤差的權重。

(2)節能高效表現為使列車在牽引過程和制動過程中的能耗之和最小，其數學表達式為

(10)

式中：Rt和Rb分別表示牽引力和制動力所產生能耗的權重。

(3)乘客乘坐舒適度主要表現為列車加速和制動過程中加速度的變化率不能過快，其數學表達式為

(11)

綜上所述，性能指標函數J將由上面3個部分組成，并根據實際的優化目標選擇合適的權重Qv、Qx、Rt、Rb、ΔRt、ΔRb。記為系統輸入和輸出的標準形式。

(12)

式中：Q、R為優化權重；yd=[vdxd]T。

2 模型預測控制器設計

模型預測控制器的設計分為兩步：(1)通過在線求解的HMPC方法，調節控制器參數及權重，以達到理想的控制效果；(2)基于上述參數，通過輸入分塊化技術和EMPC重新設計控制器。該方法避免了需要在每個采樣時刻對混合整數優化問題進行在線求解，有效減小了計算量，降低了控制器硬件成本，便于在嵌入式芯片或者FPGA上的實現。

基于HMPC的ATO系統總體結構框如圖3所示，其中列車動態模型為保持原有非線性屬性的原模型，分段線性化模型( 6 )僅用于控制器設計，列車速度和位置可以通過檢查單元的傳感器測出，目標速度和位置為已知的參考信號。

圖3 系統控制框圖

2.1 模型預測控制

模型預測控制是一種基于模型的閉環、滾動優化控制策略，算法核心為：根據k時刻的系統狀態x(k)以及預測模型，構建基于性能指標函數J的優化步長為N的優化問題PN(x(k))，并求其最優解序列U*=[u*(0|k)u*(1|k) …u*(N-1|k)]T，但是僅有k時刻的最優解u*(0|k) 被用于控制器的實現，并在k+1 時刻重復上述步驟，進行反復迭代[6]。

為了便于HMPC控制器的設計，使用文獻[13]提出的方法將分段仿射系統轉換成混合邏輯動態方程MLD的形式，該形式的問題能被HYSDEL[14]語言所描述，可直接用于Matlab擴展工具箱MPT 3.0[15]，計算最優問題的解。式( 6 )和式( 8 )轉換為MLD后可以表示為

(13)

式中：z(k)為輔助的連續變量。

綜上所述，用于MPC設計的最優問題PN(x(k))將表示為

(14)

為了求解優化問題(14)，最小化性能指標函數J將等價于最小化以下標準形式的混合整數二次規劃MIQP問題。

(15)

式中：

ΔU=[Δu(0|k) Δu(1|k) … Δu(Nu-1|k)]T

H=R+ΘTQΘ

因此，可以通過求解該MIQP問題，得到其最優解ΔU*，此時系統的預測輸出為

(16)

Ψ=[CACA2…CAN]T

算法中出現的3種步長N、Nu、Nr的選取說明：(1)預測步長N的選取既要足夠大，以保證輸出效果和控制器的穩定性[16]，又不能過大，以免增加算法的自由度，增大計算量，不利于硬件實現。(2)輸入步長Nu的選取應該相對小，以減少算法的變量數，減小計算量，其原理是當Nu

2.2 輸入分塊化策略

對于MPC問題，無論采用在線求解，還是多參數化離線處理的方式，其自由度都是制約計算量的關鍵因素。本節提出基于“輸入移動分塊化”的模型預測控制MB-MPC策略，其原理是：將系統控制變量分為M(M

圖4 輸入分塊化策略示意圖

“輸入分塊化”策略的數學形式為

(17)

有時系統需要足夠的預測控制時間(Tpred=NTs)以保證控制的性能，在Ts不變的情況下只能增大N，而“輸入分塊化”策略能在N增大的同時保持Nu基本不變，減小算法的復雜度。

2.3 顯式模型預測控制EMPC

為了進一步減小計算量帶來的負擔，基于前文在線計算的MPC的參數和權重，重新構建顯式模型預測控制器EMPC。該控制器采用離線設計、在線綜合的策略，通過將綜合控制律的部分由在線計算轉換為離線計算，以達到降低在線計算量的目的。其原理為：通過對預測控制在線約束優化問題的分析，離線求解多參數規劃問題，對約束狀態空間進行分區，并設計各分區的顯式反饋控制律；在線優化階段只需依據系統的當前狀態，選擇與之相對應的分區的狀態反饋控制律[10]，并計算控制器輸出。這種方法將大量計算轉移到離線進行，減小了在線計算的計算量，但是需要更大的內存空間存儲分區信息及控制率。

顯式模型預測控制率表示為[10]

u(k)=Fiθ(k)+fiθ(k)∈Xi

(18)

式中：Fi和fi表示在特定多面體集合Xi內的控制器增益；θ(k)為由系統狀態、輸入和參考信息組成的數量為nr的多面體集合，i=1,2,…,nr。

所以，顯式模型預測控制器的實現將分為以下兩個階段：(1)離線計算：在多面體集合θ(k)被分成的nr個集合Xi內，都有與之對應的控制率。該分段控制率不是在線求解MIQP所得，而是通過mp-MIQP求解器離線求解的結果。(2)在線優化：控制器根據當前系統狀態和輸入判斷所屬的多面體集合Xi，查找該多面體集合內的控制率，計算當前控制器的輸出。

3 仿真結果與分析

本仿真建立在Matlab 2014a的環境下，運用其擴展工具箱MPT 3.0[15]求解優化問題，硬件平臺為主頻2.2GHz的Intel酷睿2T6600處理器，3G內存，64位Windows7操作系統的計算機。

3.1 控制器性能驗證

仿真選用CRH3型動車組，參數見表1。為了簡化仿真而又不失一般性，列車車廂數選取n=3，即首尾動車、中間拖車。同時，考慮乘客重量，在第2、3節車廂的質量上增加5t。車鉤最大耦合力為1000kN。仿真中列車動態模型保持原有非線性屬性，分段線性化后的混合模型( 6 )僅用于控制器設計。為了驗證本文所提ATO控制器的有效性，列車將跟蹤一條時變的目標速度曲線(如圖5(d)中的虛線所示)，該曲線在時刻為200s和600s時發生變化，假設δ(k)只在時刻600s到速度降至30m/s的時間內為0，其他時間均為1。定義不同Cases用于比較不同控制器參數和權重對性能的影響。

Case 1：采樣時間Ts=1s，預測步長Np=10，控制步長等于預測步長，權重

R1=0.5×diag([1 1 1])

Q1=10×diag([1 1 1 1 1 1])

Case 2：在Case 1參數的基礎上，將輸入的權重增大到原來的3倍，即R2=3R1。

Case 3：在Case 1參數的基礎上，減小預測步長和控制步長，取Np=Nu=3。

圖5 Case1仿真結果

圖6 Case1中第一節車廂的牽引和制動力u1

3個Cases的仿真結果分別如圖5、圖7和圖8所示，圖6為圖5中第一個子圖u1的放大效果，其仿真時間、能耗和車鉤最大耦合力見表3。圖中的前3個子圖分別表示每節車廂的牽引力和制動力，其中虛線為牽引力的上界或制動力的下界；最后一個子圖的實線表示列車實際運行速度，虛線為目標跟蹤速度曲線。

圖7 Case2仿真結果

圖8 Case3仿真結果

控制器參數輸出性能NpRpT/sE/×105kJmaxfin/kNCase110R0672.4534Case2103R0722.1424Case33R0191.9036

Case1仿真結果表明：選擇適當的控制器參數和權重時，列車實際速度能跟蹤上目標速度，穩態誤差幾乎為零，并且牽引力、制動力和車鉤耦合力都在安全約束范圍內。三節車廂的牽引和制動力曲線表明：引入運行狀態變量δ(k)后，控制器能夠使列車在啟動和巡航階段只有牽引力輸出，在制動減速階段只有制動力輸出，驗證了列車混合系統模型對于列車多動力分配的正確性。因列車在平衡狀態時，其牽引力等于當前所受的運行阻力，且圖6中平衡狀態時的牽引力和圖2中的阻力相對應，驗證了列車分段仿射系統的有效性。

由Case2和Case1的對比可知，當增大性能指標函數中輸入的權重R后，列車運行的能耗降低了，但是，系統輸出卻出現了穩態誤差，如圖7所示。因此，實際情況將根據具體需求調節權重。由Case3和Case1的對比可知，當減小N和Nu時，控制器的計算時間減少，但是此時卻不能保證速度跟蹤的效果，如圖8所示。因此，預測步長應足夠大，以確保列車速度跟蹤的性能。

3.2 改進算法的計算時間比較

本節通過比較使用GMPC、MB-MPC和EMPC3種不同控制器時，列車的實際速度曲線和控制器仿真時間，以驗證改進算法對于減少計算量的有效性。

為了獲得更準確的仿真時間，對每種控制器進行10次仿真，并記錄其最大時間、最小時間及10次的平均時間。GMPC即為前文中Case1的情形；MB-MPC在Case1N=10的基礎上，將輸入序列以3∶4∶3的比例分成3塊；EMPC選取與Case1相同的控制器參數及權重。仿真結果和計算時間如圖9和表4所示，圖9中大圖的虛線為目標速度曲線，實線為列車實際運行速度曲線，小圖的內容為在時間250～400 s 內實際速度與目標速度的誤差曲線。

圖9 GMPC、MB-MPC和EMPC的仿真結果

最小時間最大時間平均時間GMPC57.661.559.1MB-MPC43.850.146.5EMPC23.425.123.7

仿真結果表明：3種控制器基本都能保證列車速度跟蹤的控制效果，并且MB-MPC和EMPC的仿真時間明顯小于GMPC，其中MB-MPC約為GMPC的80%，EMPC約為GMPC的40%。對于MB-MPC方法，計算時間雖然減少了，但是系統的穩態誤差稍微大于其他兩種方法；對于EMPC方法，雖然既減少了算法計算時間又保障了穩態性能，但是卻需要更多的硬件存儲空間用于存儲系統輸入和狀態的分區及各分區的控制率。因此，在實際使用過程中，應根據線路、時刻表等具體內容，以及硬件中CPU頻率、存儲空間大小等綜合因素，從三者中選擇更合適的方法。

4 結束語

本文針對綜合考慮列車運行安全約束和非線性運行阻力的列車多質點運行模型，利用混合系統模型預測控制，提出一種滿足運營準時性、節能和乘客乘坐舒適度的ATO控制策略。通過對非線性運行阻力進行分段線性化，避免了直接對非線性模型設計控制器；建立基于列車運行狀態整數變量的混合整數列車運行模型，確保了MPC控制器對于動車組列車各車廂牽引力和制動力的正確分配；提出基于“輸入分塊化”技術和顯式模型預測控制的改進算法，降低了計算復雜性，提高了算法的實用性。數值仿真結果驗證了本文所提算法的有效性。

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