高中數學課堂教學預設與生成的教學實例與反思

福建省福清融城中學 何思斌

“預設”與“生成”這對相對的概念隨著課程改革的進一步深入已不斷融入我們的教學實踐中。所謂“預設”，筆者認為是指教師打算怎樣來上這節課，是教師在教學過程中有意識地創設一些有利于學生活動的問題情境，設想在教學過程中會生成的新資源。“生成”是指師生在課堂的“教”與“學”活動過程中，源自于學生突如其來的新問題、新情況或新資源。如果教師在課堂上能夠處理好“預設”與“生成”的關系，不僅可以引導學生主動探究解決問題，更是可以激發學生學習數學的學習興趣。那教師在教學中要如何處理好兩者間的關系，達成預設，促其生成，使課堂教學煥發出新的色彩呢？下面筆者就近幾年在“預設”與“生成”方面的理論學習及課堂教學實踐，談談自己的一些看法。

一、充分預見，要為學生的“理解”全力以赴

[教學案例 1]已知：1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求：3x+y 的范圍？

老師在教學時不難預見到學生在解這道題時會多次利用不等式性質5（如果a>b,c>d,那么 a+c>b+d）解：1≤x+y≤5…①，-1≤x-y≤3…②，由①+② 0≤2x≤8，得 0≤x≤4…③，

由②得 -3≤-x+y≤1…④，①+④得-2≤2y≤6，得 -1≤y≤3…⑤，③×3+⑤得 -1≤3x+y≤15。

考慮到要先讓學生接受以上是錯解的事實，可以采取數形結合，用線性規劃的方法，簡捷明了。如圖1，在坐標平面xOy上，1≤x+y≤5,表示在直線x+y=1和它的上方，與直線x+y=5和它的下方之間的區域。-1≤x-y≤3同樣表示在直線xy=-1和它的下方，與直線x-y=3和它的上方之間的區域。如果直線x+y=1，x+y=5，x-y=-1，x-y=3相交于 A，B，C，D四個點，那么同時滿足1≤x+y≤5和-1≤x-y≤3的每組x,y值，就是在矩形ABCD的內部及其邊界上的每個點的坐標，而對這些點的每一組坐標數的x，y值，施行3x+y的運算，得到的全部結果值的范圍，就是本題所求的范圍。又因為，對同一條平行于3x+y=0的直線上的點的坐標數值施行3x+y運算后，設3x+y=z，則結果z都等于直線y=-3x+z在y軸上的截距，如圖2，由于這些平行線在y軸上截距的連續性，過點A（0，1）截距最小，過點C（4，1）截距最大，那么就不難得到 1≤3x+y≤13。

圖1

圖2

學生們就有疑問，為什么我嚴格地遵循了不等式的性質，卻得到了不同的答案呢？教師分析錯誤的根本原因，是沒有運用“充分條件”、“必要條件”的概念，區分不等式的性質中，哪些可以用來解不等式，而哪些只能用來證明不等式。學生A發問：“老師，你說的我聽得不是很明白，能舉個簡單的例子么？”教師在課上一句話帶過，強調：“我現在講的就是例子，證明不可以多次使用性質5。我們還可以這樣做而且這樣做更為簡單：1≤x+y≤5…①，-1≤x-y≤3…②，2×①得 2≤2x+2y≤10…⑥，⑥+②得 1≤3x+y≤13。”

[反思1]簡單例子不簡單哪，教師在備課時預見到學生的錯誤解法，但沒能充分預見到學生難理解的地方，沒備好辦法“解惑”，導致課堂教學效果大大打折。但如果教師舉例：對于“若m≤2且m≤4，求m的范圍”。正確的解法是在數軸上取它們的公共部分，得到m≤2。而絕不可由不等式的性質5（如果a>b,c>d,那么a+c>b+d） 得到解法：“∵m≤2，m≤4,∴m+m≤2+4，則2m≤6，得m≤3。”這個例子說明證明不等式只要求每一步的結論須是前提的必要條件；但解不等式要求的同解過程，必須是“充分且必要條件”，不能只是必要條件。相信學生們可以更好地接受這個結論。

二、理性對待，對課堂的意外生成能夠迅速地正確判斷孰對孰錯

[教學案例2]已知 f(cos2x)=sin2x-2，求f(sin2x)。

課堂上學生板演，學生B得出正解：

設t=cos2x,則t=1-2sin2x,

另外一位學生C解答過程為：

授課教師對這解答過程看了又看，盡管有所疑惑，但由于最后結果相同，故肯定了解答正確，并表揚了學生C，鼓勵同學們多學習此種解法。

[反思2]不論多有經驗的教師也不敢保證課堂教學中學生們的思維方式、解題思路會與教師預設的一致。相信老師們都有這樣的經歷，學生們總會在不經意間給出一些不可思議的想法，給我們一個措手不及，就如上例。筆者認為，處理這類意外生成的基本準則，不能確定的不要去肯定，錯誤的肯定只會讓學生對老師失去信任，讓教師對自己失去自信。目前高中教師都已取得了本科學歷，有了一定的高等數學基礎。但是，長期以來，師范院校與中學實際脫節，很少過問初等數學問題，因此，在教學中會經常遇到一些模棱兩可或者不能解決的有關初等數學中的一些問題。建議中學教師刻苦鉆研，讓自己具備研究和處理有關初等數學中的一些概念與理論問題的能力。當然每個人都有短板，除了深入鉆研外，我們還可以通過集備、教研、網絡求助等等方式，促進自己和他人一起成長，共同進步。

三、篩選運用,在快速判斷生成的可利用價值后智慧地將生成化為資源

[教學案例3]已知：等差數列{an}{bn}的前n項和分別為

學生D認為課外輔導書的解法更優：“依題意可設等差數列 {an}的前n項和Sn=tn(n+1),由解得an=2nt。同理可得bn=（2n+1）t。因此.老師您的解法中用到等差 數 列 的 性 質 ：m、n、p、q ∈N+，且m+n=p+q，則 am+an=ap+aq，所以只適用于等差數列。而我剛剛說的解法沒用到上面的性質，利用的是，可以運用在任何數列。”師“：（學生）D說的很正確， 適用在任何數列。OK，那我們就去掉等差數列這個條件試試解這道題吧。‘依題意可設等差數列 {an}的前n項和Sn=tn(n+1)’還成立么？原來為什么可以設Sn=tn(n+1)呢？我們一起來回憶一下等差數列前n項的Sn式子的特點……”

教師在基本不等式應用這節課選這題的本意是讓學生學會運用a>0，b>0，a+（當且僅當a=b時取=號）解題，學生初中完全平方公式用的是得心應手，有了以下解法2+7，

[反思3]課堂上有些生成不一定是有價值的，但許多生成是可利用的，這就需要教師迅速判斷生成的可利用價值后智慧地將生成化為資源。上面的兩例中，教師就聰明地篩選出所需要的生成資源，馬上運用于課堂教學中，不僅幫學生解了“惑”，也使課堂重難點順利“被接收”，一舉兩得。

四、自信堅持，教學中要始終以學生有價值、有創見的生成為契機使得課堂更精彩

2013年9月至2014年7月，筆者參加了“高中數學課堂教學預設與生成”課題研究，在本校原高一年級（1）（2）進行了實驗，現將實驗數據整理如下：

2013~2014學年實驗班數學成績分析表班級 一 二 一 二 一 二 一 二時間 第一學期期中第一學期期末第二學期期中第二學期期末實考人 46 43 46 43 47 43 47 43平均分88.13 82.42 96.24 93.70 107.36106.33 90.26 89.23名次 4 6 2 3 2 3 1 3及格率 0.46 0.35 0.70 0.56 0.96 0.86 0.53 0.49優秀率 0.00 0.07 0.09 0.14 0.19 0.19 0.06 0.12最高分 118 126 134 143 128 141 136 130最低分 38 40 45 47 81 79 39 30

從上表中可以看出，兩個實驗班的總體成績在第一學期的上半學期并不是很突出，盡管意識到學生剛上高中，需要有一個適應的過程，但筆者還是非常有壓力，好在學生課堂上的那些創見生成讓筆者感受到學生的積極性和創造性，要給他們發展的空間，必須要堅持。下學期實驗班的成績就顯著上升，實驗一班最后還穩定在年級1、2名，說明通過一年的努力，學生的學習熱情得以激發，愿意在課堂發揮、提升自己的數學思維能力，自然就會取得好成績。

總之，教師只要本著“充分預見、理性對待、篩選運用、自信堅持”，充分發揮自己的教學智慧，有效地調整好每一個生成性教學細節，就能使師生主體共同成長，實現教學真正意義。

[1]徐建生.談初中數學教學課前預設與動態生成的和諧統一.中學課程輔導（教學研究）.2014年7期

[2]王宇紅：課堂教學中的預設與生成.快樂閱讀（下旬刊）.2012年10期