基于Mindlin基本解的壓力型錨索受力分析

葉 紅 陳燕平

(1.武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430070；2.武漢交通職業學院交通工程學院，湖北 武漢 430065；3.武漢大學國際軟件學院，湖北 武漢 430072)

基于Mindlin基本解的壓力型錨索受力分析

葉 紅1,2陳燕平2,3

(1.武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430070；2.武漢交通職業學院交通工程學院，湖北 武漢 430065；3.武漢大學國際軟件學院，湖北 武漢 430072)

為了進一步對壓力型錨索的錨固機理進行理論研究，借鑒半無限體內部作用有集中荷載的Mindlin基本解，推導了在圓形均布荷載作用下壓力型錨索的錨固段注漿體受到的壓應力近似解和錨索孔壁與注漿體之間接觸面上的剪應力近似解。在此基礎上，分析了錨索孔半徑、承壓板半徑和巖體的泊松比對注漿體受到的壓應力和錨固段接觸面上的剪應力的影響。研究結果表明：錨索孔半徑對注漿體受到的應力分布的影響很大，承壓板半徑的影響較大，泊松比的影響較小。研究成果進一步豐富了壓力型錨索錨固機理內容，可為壓力型錨索設計提供理論參考。

Mindlin基本解 壓力型錨索 應力分布 影響因素

我國自1964年在梅山水庫右岸壩基中首次使用預應力錨索加固技術以來，壓力型錨索這種巖土體加固措施被廣泛地應用于采礦工程、水利水電、交通工程和國防工程中，尤其對軟弱巖土體具有良好的加固效果[1]。這是因為，壓力型錨索體系中的注漿體滲透到錨索孔周邊巖土體中的裂隙或裂縫中，將周邊巖土體和壓力型錨索組成一個整體，從而提高了巖土體的穩定性[2]。另外，壓力型錨索充分利用了錨索的抗拉性能和注漿體的受壓性能，即充分發揮了錨索和注漿體的力學性能[3-4]。

隨著對壓力型錨索的進一步研究，關于Mindlin基本解在壓力型錨索錨固機理方面的應用也取得了一些進展。但是，這些研究均是以集中荷載作用于半空間內部的Mindlin基本解為基礎來進行的，實際上注漿體受到的荷載是承壓板傳來的均布壓力荷載，以集中荷載作用于半空間內部的Mindlin基本解來研究壓力型錨索的錨固機理就與實際情況有偏差。本研究考慮注漿體所受荷載的特點，以集中荷載作用于半空間內部的Mindlin基本解為基礎，推導出圓形均布荷載作用下注漿體所受到的壓應力解和錨索孔壁與注漿體之間的剪應力解，以此來研究壓力型錨索的錨固機理。

1 力學分析

Mindlin基本解是指在半無限彈性體內部作用有豎向或水平向集中荷載，半無限體內部任一點的應力與應變的數學解[5-6]。本研究從豎向集中荷載作用在半無限彈性體內部的Mindlin基本解出發(如圖1所示)，結合壓力型錨索錨固機理已有的研究成果，研究壓力型錨索錨固段注漿體受到的壓應力分布情況和錨固段錨索孔壁與注漿體之間接觸面上的剪應力分布情況。

圖1 Mindlin問題基本解示意

就壓力型錨索的破壞機理而言，其破壞點主要在于承壓板附近的注漿體被壓壞和承壓板附近的注漿體與錨索孔壁之間的黏結面被剪壞[7]。所以，將豎向集中荷載作用在半無限彈性體內部的Mindlin基本解中的豎向壓應力(σz)和豎向剪應力(τrz)作為主要研究對象運用到壓力型錨索錨固機理的研究中，即式(1)和式(2)：

(1)

(2)

式中，P為集中力荷載，kN；μ為巖體的泊松比；σz為錨索體系各點的近似豎向壓應力解；τrz為錨索體系各點的近似豎向剪應力解；z為豎向坐標；c為豎向集中力荷載距離半無限體表面的距離。

考慮到壓力型錨索承壓板的直徑遠小于承壓板的埋深，且承壓板一般距離錨索孔口較遠，錨索的主要受力區域為承壓板附近的注漿體，其受力屬于軸對稱問題。錨索受到的張拉力通過鋼絞線傳遞給圓形的承壓板，承壓板使與之接觸的注漿體受到均布的壓應力，如圖2所示。

圖2 壓力型錨索的力學模型

(3)

(4)

其中，q為承壓板提供的圓形均布荷載，kN/m2;

2 算 例

某山區高速公路建設過程中遇到了巖質高邊坡，邊坡巖體節理裂隙較發育，完整性較差，設計中為了提高該高邊坡的穩定性采用了壓力型錨索對其進行加固。已知該邊坡巖體的泊松比為μ=0.2，該壓力型錨索的錨索孔直徑采用2r=0.15 m，承壓板位于錨索孔口4.5 m深處，承壓板直徑采用2a=0.13 m，采用的預應力荷載為P=qπa2=100kN。通過式(1)和式(3)得到注漿體分別在集中荷載和圓形均布荷載作用下受到壓應力分布曲線，通過式(2)和式(4)得到注漿體分別在集中荷載和圓形均布荷載作用下錨索孔壁與注漿體之間的剪應力的分布曲線，如圖3和圖4所示。表1為不同荷載的錨固段注漿體最大應力值。

圖3 錨固段注漿體受到的壓應力分布

圖4 錨固段注漿體接觸面上的剪應力分布

荷載類型最大壓應力σ/MPa最大剪應力τ/MPa集中力0 66230 7757均布力0 49060 5031

由圖3、圖4和表1可知，當荷載為集中力時錨固段注漿體受到的最大壓應力和接觸面上的最大剪應力都比荷載為圓形均布荷載時的大，其相應的壓應力分布曲線和剪應力分布曲線都比荷載為圓形均布荷載時的陡峭，說明集中荷載作用下的結果偏大。

3 影響因素分析

由式(3)和式(4)可知，影響壓力型錨索錨固機理的主要因素有錨索孔半徑、承壓板半徑、預應力荷載的大小以及巖體的泊松比，以下主要通過錨索孔半徑、承壓板半徑和泊松比來研究在圓形均布荷載作用下壓力型錨索的錨固段注漿體受到的壓應力分布情況和錨索孔壁與注漿體之間接觸面上的剪應力分布情況。

3.1 錨索孔半徑的影響

在上述算例中，如果僅考慮錨索孔半徑的影響，錨索孔半徑分別取0.07、0.075、0.08 m，由圖5、圖6和表2可知：壓力型錨索錨固段注漿體受到的最大壓應力和注漿體與錨索孔壁接觸面上的最大剪應力隨著錨索孔半徑的增加而減小，壓應力分布曲線和剪應力分布曲線隨著錨索孔半徑的增加而趨于平緩；反之，最大壓應力和最大剪應力隨著錨索孔半徑的減小而增加，壓應力分布曲線和剪應力分布曲線隨著錨索孔半徑的減小而趨于陡峭。

圖5 錨索孔半徑變化時注漿體受到的壓應力分布

圖6 錨索孔半徑變化時注漿體接觸面上的剪應力分布

表2 錨索孔半徑變化時注漿體受到的最大應力值

3.2 承壓板半徑的影響

在上述算例中，如果承壓板的半徑分別取0.06、0.065、0.07 m，由圖7和表3可知，錨索錨固段注漿體受到的最大壓應力隨著承壓板半徑的增加而減小，壓應力分布曲線隨著承壓板半徑的增加而趨于平緩；由圖8和表3可知，隨著承壓板半徑大小的變化，錨索錨固段注漿體與錨索孔壁接觸面上的剪應力與注漿體受到的壓應力的變化趨勢相同，最大剪應力隨著承壓板半徑的增加而減小，剪應力分布曲線隨著承壓板半徑的增加而趨于平緩。

圖7 承壓板半徑變化時注漿體受到的壓應力分布

圖8 承壓板半徑變化時注漿體接觸面上的剪應力分布

承壓板半徑/m最大壓應力σ/MPa最大剪應力τ/MPa0 060 50890 53050 0650 49060 50310 070 47280 4767

3.3 泊松比的影響

在上述算例中，如果其他參數不變的情況下，僅考慮巖體的泊松比的影響，泊松比值分別取0.2、0.25、0.3，由圖9和表4可知，壓力型錨索錨固段注漿體受到的最大壓應力隨著泊松比的增加而增加，壓應力分布曲線隨著泊松比的增加而趨于陡峭，反之，最大壓應力隨著泊松比的減小而減小，壓應力分布曲線隨著泊松比的減小而趨于平緩；由圖10和表4可知，壓力型錨索錨固段注漿體與錨索孔壁接觸面上的最大剪應力隨著泊松比的增加而減小，壓應力分布曲線隨著泊松比的增加而趨于平緩，反之，最大剪應力隨著泊松比的減小而增加，剪應力分布曲線隨著泊松比的減小而趨于陡峭。

圖9 泊松比變化時注漿體受到的壓應力分布

圖10 泊松比變化時注漿體接觸面上的剪應力分布

表4 泊松比變化時注漿體受到的最大應力值

4 結 論

(1)錨索孔半徑對壓力型錨索錨固段注漿體受到的應力分布的影響很大，承壓板半徑對壓力型錨索錨固段注漿體受到的應力分布的影響較大，應力分布曲線隨著錨索孔半徑或承壓板半徑的增大而趨于平緩，隨著錨索孔半徑或承壓板半徑的減小而趨于陡峭。

(2)邊坡巖體泊松比對壓力型錨索錨固段注漿體受到的應力分布的影響較小，但是，隨著巖體泊松比的減小，壓應力分布曲線趨于平緩，剪應力分布曲線趨于陡峭；反之，隨著巖體泊松比的增加，壓應力分布曲線趨于陡峭，剪應力分布曲線趨于平緩。

總而言之，錨索孔半徑對注漿體受到的應力分布的影響很大，承壓板半徑的影響較大，泊松比的影響較小。在邊坡災害治理中，可以通過改變錨索孔半徑和承壓板半徑來合理設計壓力型錨索，以此提高邊坡的治理效果。

[1] 夏元友,葉 紅,劉笑合,等.風化巖體中壓力型錨索錨固段的剪應力分析[J].巖土力學,2010,31(12):3861-3865. Xia Yuanyou，Ye Hong，Liu Xiaohe，et al.Analysis of shear stress along pressure-type anchorage cable in weathered rock mass[J].Rock and Soil Mechanics，2010,31(12):3861-3865.

[2] 葉 紅，盛建龍，陳燕平.風化巖體中壓力型錨索錨固機理的數值模擬分析[J].化工礦物與加工,2013,42(4):36-39. Ye Hong，Sheng Jianlong，Chen Yanping.Numerical simulation study on the anchoring mechanism of pre-stressed anchor cable in weathered rock mass[J].Industrial Minerals and Processing,2013,42(4):36-39.

[3] 葉 紅，陳燕平.巖體風化程度對壓力型錨索錨固機理影響的數值模擬研究[J].化工礦物與加工,2014,43(4):29-31. Ye Hong，Chen Yanping.Numerical simulation study on the anchor mechanism of pressure-type cable affected by weathering degree[J].Industrial Minerals and Processing,2014,43(4):29-31.

[4] 葉 紅，陳燕平.豎向圓形荷載作用下壓力型錨索的受力分析[J].化工礦物與加工,2014,43(9):32-35. Ye Hong，Chen Yanping.Analysis of anchor force based on internal circular loading[J].Industrial Minerals and Processing,2014,43(9):32-35.

[5] Mindlin R D.Force at a point in the interior of a semi-infinite solid[J].Physics,1936,7(5):195-202.

[6] 徐志英.以明特林(Mindlin)公式為根據的地基中垂直應力的計算公式[J].土木工程學報,1957,4(4):485-497. Xu Zhiying.Calcution of vertical pressures in soil beneath loaded areas based on Mindlin′s formula[J].China Civil Engineering Journal,1957,4(4):485-497.

[7] 盧 黎,黎 亮,鄧 宇,等.壓力型錨索承載板前砂漿體破壞機制試驗研究[J].巖土工程學報,2013,35(11):2110-2116. Lu Li,Li Liang,Deng Yu,et al.Failure mechanism of mortar in front of bearing plate of compression type anchor cables[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2013,35(11):2110-2116.

[8] 王艷芬.預應力錨索加固巖體的機理分析和數值計算[D].武漢：華中科技大學，2007. Wang Yanfen.Mechanism and Calculation of Pre-stress Anchors for Rock Mass Reinforcement[D].Wuhan:Huazhong University of Science & Technology,2007.

[9] Wang Yanfen，Wang Yuanhan，Xie Hongyang.Computing of the anchor by the method of three-dimension point-radiate infinite elements[J].Journal of China University of Geosciences,2007，18(2):185-190.

(責任編輯 徐志宏)

Force Analysis of Pressure-type Cable Based on Mindlin Basic Solution

Ye Hong1,2Chen Yanping2,3

(1.SchoolofCivilEngineeringandArchitecture，WuhanUniversityofTechnology，Wuhan430070，China;2.SchoolofTransportationEngineering，WuhanTechnicalCollegeofCommunications，Wuhan430065，China;3.InternationalSchoolofCivilSoft，WuhanUniversity，Wuhan430072，China)

In order to further make theoretical study on the anchoring mechanism of pressure-type cable，Mindlin basic solution was referenced that concentrated load was on a semi-infinite body inside，and the approximate solution to normal stress and shear stress in anchoring segment grout of pressure-type cable were derived under the circular uniformly distributed load.On this basis，anchor hole radius，bear plate radius，and Poisson′s ratio on the compressive stress of grout and the shear stress of the contact surface were analyzed.The results showed that：anchor hole radius，bear plate radius had a greater impact，Poisson′s ratio was less affected.The contents of the cable anchoring mechanism were enriched further and the theoretical reference for cable design was provided by the research.

Mindlin basic solution，Pressure-type cable，Stress distribution，Influencing factors

2015-01-29

國家自然科學基金項目(編號：51374163)，湖北省教育廳科學技術研究自然科學類項目(編號：B2013227)。

葉 紅(1977—)，男，副教授，博士。

TU457

A

1001-1250(2015)-04-114-05