例說積分在經濟學中的應用

羅 瓊

(江西財經職業學院，江西九江 332000)

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例說積分在經濟學中的應用

羅 瓊

(江西財經職業學院，江西九江 332000)

隨著經濟的快速發展以及計算機技術和數學軟件的不斷開發，數學知識和數學分析方法在現代經濟建設中的作用愈發突出。積分特別是定積分作為一種量化分析工具在經濟學中應用十分廣泛，可以求經濟總量及其平均值或變動值、求解最大最小值、算資本現值和資本存量、計算消費者剩余和生產者剩余等等。

積分；經濟學；資本現值；消費者剩余；生產者剩余

在如今的知識經濟時代，計算機技術和數學軟件不斷被開發出來，數學知識的應用已經深入到社會的各個領域。高等數學中的積分作為一種量化分析的工具在經濟學中的應用就十分廣泛，涉及內容很多，如求經濟總量及其平均值或變動值、求解經濟函數最大或最小值、算資本現值和資本存量、計算消費者剩余和生產者剩余等等。以下分別舉例說明。

1 求經濟總量及其平均值或變動值

變化率(即邊際)和彈性是經濟分析中常用的概念。已知某一經濟量(如需求、成本、收入或利潤)的變化率(即邊際)或彈性函數，則可以用不定積分或一個變上限的定積分來求出原經濟總量及其平均值，如果要求它在某個范圍內的改變量，就直接用定積分解決。

例1 設某產品的邊際成本函數C'(q)=60-2q(萬元/年)，固定成本C(0)=100(萬元)，求總成本函數和平均成本函數。

解1 總成本函數C(q)是邊際成本函數的原函數，因此

C(q)=∫C'(q)dq=∫(60-2q)dq=60q-q2+c,又C(0)=100，得c=100，所以，

例2 某汽車的需求價格彈性為-2，其售價為10萬元/輛時，需求量為 2萬輛，求此汽車的需求函數。

例3 設某產品總收益的變化率R'(q)=50-q(元/件)，求從10件增加到20件時，總收益及平均收益的變化量。

即從10件增加到20件時，總收益增加350元，平均收益增加35元/件。

2 求解經濟函數最大最小值

眾所周知，企業經營永遠力求在現有條件下成本最低或利潤最大。所以，經濟分析中常遇決策優化問題。若已知某經濟量的邊際，可用積分求出原經濟函數，再利用極值原理求其最值。

例4 某產品產量為x臺時，邊際成本為MC=2x-10。若固定成本100萬元，售價50萬元/臺，假定產銷平衡，求最小平均成本和最大利潤。

由L'(x)=40-2x=0，得唯一駐點x=20，且L"(20)=-2<0，所以，當產量為20臺時利潤最大，最大利潤為L(20)=300萬元。

3 算資本現值和投資

例5 某電器行推出一項分期付款的助銷活動：某型號空調一次性付款要6999元,分期付款，則每月付850元，10個月付清。若現金的月利率為3%，試問哪種付款方式合算？

例6 某投資項目投資成本1萬元，每年均勻收入2000元,投資年利率5%，且連續計息。試求：1)該投資的回收期；2)該投資為無限期時的純收入貼現值。

解 1)投資回收期n就是當總收入的現值等于投資時的時間, 投資成本C= 1萬元，

4 計算資本存量

5 計算消費者剩余和生產者剩余

消費者剩余CS和生產者剩余PS是經濟福利分析的兩個重要工具。消費者剩余是指消費者在購買一定數量的商品時愿意支付的總價格和實際支付的總價格之間的差額；生產者剩余是指生產者銷售某種商品所得到的款額與其生產成本之間的差額。假設商品的需求函數和供給函數分別為P=D(q)和P=S(q)，市場價格為p0時，購買量為q0(即均衡價格和均衡產量)，則得如下消費者剩余和生產者剩余的計算公式：

例8 已知某蔬菜市場的需求函數為P=10-q，供給函數為P=7+0.5q，求消費者剩余與生產者剩余。

解：先求出市場均衡價格p0和均衡產量q0：由10-q=7+0.5q得p0=8，q0=2。

結 語

當然，積分在經濟學中的應用還有很多，例如，通過積分量化分析期值和現值來進行固定資產投資與融資租賃的決擇[2]；已知服務行業服務概率的頻率函數，求某個時間段內的服務概率[3]；公司根據銷售額的變化率，利用定積分計算盈利來決定廣告策略問題等等，在此就不一一例說。隨著經濟、計算機技術等的不斷發展，積分的應用會更加廣泛，數學與經濟管理的關系也將越發密切。

[1]蔡 瓊，岳素青.定積分在經濟管理中的應用[J].哈爾濱職業技術學院學報,2010,(3)：116-117.

[2]龔友運.積分學在經濟分析中的應用淺析[J].佳木斯教育學院學報,2011，(3)：121-122.

[3]盧達平.《微積分》在經濟管理中的應用[J].龍巖學院學報,2006，(6)：109-111.

[4]仉志余.大學數學應用教程[M].北京：北京大學出版社,2005.160-164.

[5]趙樹媛.經濟應用數學基礎(一)微積分(三版)[M].北京：中國人民大學出版社,2012.253-254.

[6]高鴻業.西方經濟學[M].北京：中國人民大學出版社,2007．

Examples for the Application of Integration in Economics

LUO Qiong

(Jiangxi Vocational College of Finance and Economics, Jiujiang, Jiangxi, 332000)

With the rapid development of the economics and the constant exploitation of the computer technology and mathematical software, mathematical knowledge and its analytical methods are playing more and more important roles in the current economic construction. The application of integration, especially the definite integration in economics as a tool of quantitative analysis is very broad, which can be used to calculate economic aggregate and average or variation, maximum and minimum, present capital value and capital stock, consumer surplus and producer surplus or so on.

integration; economics; present capital value; consumer surplus; producer surplus

2015-04-09

羅 瓊(1967-)，女，湖南江華人，江西財經職業學院副教授。研究方向：數學及應用數學。

O172

A

1008-8156(2015)02-0070-03

修回日期：2015-05-12