基于磁偶極子模型水平鉆進目標定位的算法研究

彭海蛟， 丁紅勝， 白世武

(1．北京科技大學 物理系，北京 100083；2．中國石油天然氣管道科學研究院，廊坊 065000)

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基于磁偶極子模型水平鉆進目標定位的算法研究

彭海蛟1， 丁紅勝1， 白世武2

(1．北京科技大學 物理系，北京 100083；2．中國石油天然氣管道科學研究院，廊坊 065000)

在地下水平定向鉆進技術中，為了實現水平定向鉆進中的軌跡監控和精確導向，需要實時獲取地下鉆頭的空間位置和姿態參數。這里基于磁偶極子模型下的磁場表達式，推導出采用通電螺線管線圈產生一個類似于磁偶極子的靜磁場與時諧場的磁場分布。通過非線性和線性算法，對源端鉆頭與目標端的距離和相對方位進行定位，從而提高了它們的相對位置的測量精度。同時利用磁定位的非線性算法和線性算法，使其目標誤差最小，精度高，速度加快，穩定可靠。

定向鉆進技術； 磁偶極子； 螺線管； 磁定位； 定位算法

0 引言

定向對接連通井技術[1]就是利用可溶(燃)性礦產的開采特性，要求一個定向水平井與另一井的靶點或靶井對接連通，采用水平井鉆井技術與定向鉆探技術，使相距地面數百米的兩井或多井，在地下數百米甚至上千米的目標開采處定向實行對接連通，從而來實現兩井或多井連通采礦。因此需要建立井口與靶點或者靶井的定向對接井軌跡設計方法，以便及時準確地反映出對接井鉆井的要求。

目前幾乎所有用磁信號[2-3]來確定目標井鉆井軌跡的一些常用方法，一般都是通過建立磁偶極子模型、利用測量出來的大量數據通過反演模型來確定出運動參數和目標位置。最常見的利用磁信號來實現目標定位的三種方法[4]：①利用N個傳感器來確定出遠場各點處的磁場信號，然后利用最小二乘法等一些參數擬合的算法來實現磁目標定位；②通過埃德森方程及子空間匹配技術，從而估算出目標的運動參數(這種方法必須依賴各種布設的方案)；③通過很多更為復雜的測磁儀分別測量單點的磁場和磁場梯度分量，從而實現磁定位。

現階段國內有很多人針對磁目標定位的一些問題做了大量的研究。王金根等人[5-6]提出了多種定位的方法：最優化定位、基于神經網絡定位、函數組合法、 二次差分矩陣法和頻譜匹配法等。還有一些常用方法可歸結為磁場目標定位常用方法中的前兩種[7-10]。

由于實際中沒有真正的磁偶極子源，這里分析了采用通電螺線管線圈產生一個類似于磁偶極子[6,11]的磁場分布，致力于前兩種方法，基于磁偶極子模型，研究了由源端到目標端的定位算法，通過對其誤差函數的分析，提出了一種非線性算法與線性算法來計算出源端的位置參數和方向參數，從而實現目標定位。

1 螺線管線圈的靜磁場與時諧場分析

分析長度為L，線徑為d的單層密繞螺線管的外部磁場分布。以螺線管中心O點設為原點建立直角坐標系，如圖1所示，P點是螺線管外部任意的一點，到O點的距離為r，OP與z軸之間的夾角為，Q點是P點在z軸上的投影。在球坐標系中P點的坐標可表示為(r，θ，φ)，而在柱坐標系中可表示為(ρ，φ，Z)。沿螺線管軸方向任意取一段微元dz，P點到該中心的距離為R，P點到該中心螺線管軸方向所成的夾角為δ。若螺線管的載流電流為I，則該微元上通過的電流大小可表示為I·dz/d，于是根據靜態磁偶極子物理模型得出載流環的磁場表達式為式(1)。

圖1 螺線管外部磁場分布示意圖

(1)

可得微元在P點處產生的磁場為

(2)

R2=(r2+z2-2rzcosθ)

(3)

式(2)為沿螺線管軸向上的任一微元在P點產生的磁場表達式，在區間(-L/2，L/2)上對該表達式進行積分，即得出螺線管在P點產生的磁場：

(4)

式(4)積分表達式可以分為兩部分來進行，記為

(5)

(6)

將δ代入到式(5)與式(6)中積分得式(7)。

(7)

同樣可得

(8)

即可得通電螺線管線圈外的磁場分布表達式：

(9)

(10)

式(10)與磁偶極子磁場分布非常類似，只是磁偶極子為一個載流線圈，而單層的密繞螺線管可視為L/d個載流線圈的疊加。因此對于多層密繞螺線管，磁場分布可視為多個磁偶極子的疊加。而螺線管線圈的時諧場表達式除了包含諧變因子外，與靜磁場是完全一樣的，因此通電螺線管線圈產生的時諧場也就等效于磁偶極子準靜態場，通電螺線管線圈的時諧場為：

(11)

2 靜態磁偶極子模型

2.1 模型建立和公式推導

(12)

圖2 磁偶極子模型

(13)

圖3 旋轉磁偶極子等效示意圖

Y軸與近鉆頭旋轉軸向一致，假設鉆頭旋轉速率為ω(rad/s)，t時刻后源端旋轉過的角度為ωt，則正交磁偶極子等效為：

(14)

2.2 參考場的構造

圖4 磁場空間傳播模型

(15)

(16)

那么磁偶極子在遠場各點處產生的磁場強度為：

式中：φ1為Z軸與OP的夾角，φ2為X軸與OP的夾角，θ1為X軸與P在XY平面上的投影之間角，θ2為Y軸與OP在YZ平面上的投影之間的夾角。

(17)

2.3 特征方位角和相對傾斜角的計算

(18)

將Hcs表達式代入到式(18)得α與φ0之間的關系：

(19)

(20)

由式(20)可算出相對傾斜角θ0因為磁偶極子是跟著源端鉆頭一起旋轉的，而且P點的磁場是被橢圓極化的， 所以P點的磁場強度的最小值與距離r的關系可以表示為式(21)。

(21)

綜上可知：旋轉磁偶極子空間的坐標P(r,θ0,φ0)，可以通過P點的特征磁場信號來確定，由極坐標系與直角坐標系的相互轉化關系可得直角坐標(x,y,z), 從而確定源端鉆頭與目標端的相對位置關系。

通過旋轉磁偶極子的高精度導向定位算法計算出源端鉆頭與目標端的相對位置關系，確定運動軌跡后，得到運動軌跡的傾角范圍和位置范圍，至少需要六個傳感器確定定位定向中得方向參數和位置參數的六個未知參數。定義目標函數和誤差函數，通過非線性算法使誤差函數值最小，計算最合適的位置參數和方向參數。

3 磁場定位非線性算法與線性算法

圖5 磁場定位坐標系

當螺線管體的尺寸遠小于源端與目標端的距離時，即螺線管線圈可以被看作是磁偶極子。由磁偶極子理論表達式(12)可得，螺線管線圈空間某(x1,y1,z1)T點上的磁場強度為：

(22)

i2+j2+k2=1

即磁場強度的三個正交分量可以表示為：

Hlx=HT×

(23)

Hly=HT×

(24)

Hlz=HT×

(25)

3.1 非線性算法

如果要確定六個未知的定位定向的位置參數和方向參數需要N(N≥6)傳感器，由于存在噪聲、溫度、外界環境等因素的干擾，解可能會不唯一，根據以上原因我們定義一個目標函數，通過計算目標函數的最小值來獲得定位定向參數的最優解，三個正交分量的磁場強度分別定義誤差函數[13]如下：

(26)

(27)

(28)

式(26)、式(27)、式(28)中:N為傳感器的數量，N≥6。

總目標誤差E=Ex+Ey+Ez

根據上述誤差函數，當總目標誤差函數E達到最小時，計算出最合適的位置參數(a,b,c)和方向參數(i,j,k)，即非線性最小方差求解。由于非線性算法在求解的過程中需要較長時間，為了解決非線算法速度慢的問題，進一步可使用線性算法。

3.2 線性算法

因為在磁定位利用非線性優化算法的過程中有局限性。首先非線性優化算法必須要給提前出一個初值，這樣才能計算出最優解，如果給出的一個初值誤差比較大時，由于磁偶極子模型存在著局部最優，這樣的話非線性算法就很難得到全局最優解；其次利用非線性優化算法準確性不是很好，在整個過程中是需要大量的時間通過各種信號處理的方法來改善跟蹤其準確性，而且非線性算法在求解過程中需要時間比較長。而線性算法能夠解決上面的所有問題，此算法可以根據絕對矢量運算[14]來推導得到:

(29)

(30)

即：

(31)

化簡可得：

(H1x,H1y,H1zH1zyl-H1yzl,H1xzl-

(32)

同樣可以利用六個三軸傳感器，通過這些傳感器來選擇合適位置組成一個齊次線性方程組，從而計算出最合適的位置參數(a,b,c)和方向參數(i,j,k)。

4 結論

針對定向對接連通井技術的開采特性，為了實現兩井或多井連通開采的需要，通過研究通電螺線管線圈產生一個類似于磁偶極子的磁場分布和靜態磁偶極子與旋轉動態磁偶極子的磁場信號分布規律，提出一種高精度導向定位的算法。利用磁定位的非線性算法與線性算法求解方程組對螺線管線圈進行空間定位。

為了提高目標定位的測量精度，利用磁場強度的三個正交分量定義了誤差函數，利用磁定位的非線性算法通過求解方程組來實現定位，由于非線性算法在求最優解的過程中可能很難求得全局最優解和求解時間較長的缺點，為了解決這這些問題，利用磁定位的線性算法，計算位置參數和方向參數來實現定位。非線性算法求最優解需要依賴于初值，初值如果選定好，該算法的精度高，但是運算速度慢，而線性算法求解過程中不依賴于初值，運算速度快，但是該算法的精度低。如果采用線性和非線性算法的綜合算法，就能夠穩定的、快速地得到精度高的定位結果。

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Algorithm study based on the magnetic dipole model on horizontal drilling target positioning

PENG Hai-jiao1， DING Hong-sheng1， BAI Shi-wu2

(1.Department of Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2.Pipeline Research Institute of China National Petroleum Corporation, Langfang 065000, China)

In underground horizontal directional drilling technology, it needs to obtain the underground spatial position and posture parameters of the drill in real time to implement the horizontal directional drilling trajectory monitoring and precise orientation. Therefore, based on the magnetic field expression of the magnetic dipole model, the magnetic field distribution which is similar to the static magnetic field and the time-harmonic field of the magnetic dipole are deduced by using electric solenoid coil. To achieve positioningby means of the arithmetic of the relative orientation and the distance between the drill and the objective targets, the measurement accuracy of the relative position can be improved. In the mean time wetake advantage of the linear and nonlinearmethods of the magnetic localization to make the smallest target error,high precision, much more speed, stable and reliable.

horizontal directional drilling; magnetic dipole; solenoid; magnetic location; location algorithm

2014-08-12 改回日期：2014-11-04

國家自然科學基金資助(61072082)；中央高校基礎科研業務費(FRF-MP-12-008A)

彭海蛟(1987-),男，碩士，從事重磁方法研究,E-mail: penghaijiao1224@163.com。

1001-1749(2015)04-0422-06

P 631.2

A

10.3969/j.issn.1001-1749.2015.04.03