帶梯度項奇異拋物方程解的存在性及漸近行為*

夏 莉， 李敬娜, 王 玲， 張園園

(1.廣東財經大學 數學與統計學院，廣東 廣州 510320；2.暨南大學 信息科學技術學院 數學系, 廣東 廣州 510632；3.廣東水利電力職業技術學院 數學部, 廣東 廣州 510635;4.西南財經大學 證券與期貨學院，四川 成都 611130)

帶梯度項奇異拋物方程解的存在性及漸近行為*

夏 莉1， 李敬娜2, 王 玲3， 張園園4*

(1.廣東財經大學 數學與統計學院，廣東 廣州 510320；2.暨南大學 信息科學技術學院 數學系, 廣東 廣州 510632；3.廣東水利電力職業技術學院 數學部, 廣東 廣州 510635;4.西南財經大學 證券與期貨學院，四川 成都 611130)

利用拋物正則化方法及上下解方法、Fatou引理等，研究了一類帶梯度項奇異拋物方程非負古典解，得到了該解的存在性及相應的漸近行為.

梯度項；奇異性; 存在性; 漸近行為

考慮下面一類拋物方程：

(1)

滿足如下初邊值條件:

(2)

w(x,0)=ψ(x),x∈Ω,

(3)

這里ΩT=Ω×(0,T],Ω?RN(N≥2)是一個具有光滑邊界?Ω的有界區域，T,λ,l,m均為正數.

問題 (1)～(3) 近年來得到了很多關注. 當l=2,m=1時, 該問題古典解及弱解的存在性、唯一性，解的漸近行為獲得了證明，參見文獻[1，2]. 當l=2, 1≤m<2時, 周文書及雷沛東[3]證明了問題(1)～(3)在一維空間中多個弱解的存在性. 當l=2,m>0時, 文獻[4]研究了上述問題的弱解在t→∞時的漸近行為. 2014年，I.D.Bonis及D.Giachetti[5]還證明了l=2, 0

(H3)m>0,m+1≤l≤2或m

引理1[2]在假設條件(H1)(H2)下, 下面的初邊值問題

wt-Δw=g(x,t), (x,t)∈ΩT,

(4)

w(x,0)=ψ(x),x∈Ω,

本文主要結果如下:

(5)

這里C0,β是兩個確定的正數,w0是引理1中初邊值問題的唯一古典解. 而且, 當λ→∞時,

(6)

特別當2m≤l≤2時, 令λ→0, 則

(7)

下面我們證明定理1.

由于方程(1)在w(x,t)=0具有奇異性, 先將其正則化為:

(8)

將上述不等式中不等號反向, 可得古典下解的定義.

(9)

這里β≥1均是待定的正數, 且β的選取與l,m的取值有關.

證明 由比較原理(可參考文獻[……