解釋變量內生假定下非參數空間計量模型的局部線性工具變量估計

馮 烽

(1.清華大學 經濟管理學院，北京 100084; 2.廣西財經學院 信息與統計學院，廣西 南寧 530003)

解釋變量內生假定下非參數空間計量模型的局部線性工具變量估計

馮 烽1,2

(1.清華大學 經濟管理學院，北京 100084; 2.廣西財經學院 信息與統計學院，廣西 南寧 530003)

為刻畫解釋變量的空間外溢效應與變量間的非線性關系，本文提出了一種非參數空間計量模型，并給出了模型含內生變量情況下的局部線性工具變量估計。該估計方法最大的優點是可以同時獲得偏導數的估計，便于進行經濟學的邊際分析。數值模擬結果表明，局部線性工具變量估計優于核估計。中國地區R&D要素外溢效應的實證結果顯示，周邊地區R&D內部經費支出對本地區R&D產出具有非線性的正向影響，且周邊地區R&D內部經費支出的邊際產出存在空間集聚現象，實證結論顯示了非參數空間計量模型的適用性與合理性。

非參數；空間計量；內生；局部線性工具變量估計

1 引言

近年來，空間計量模型因打破了個體相互獨立的傳統計量模型假定，其理論與應用研究引起了國內外學者的持續關注。Kelejian和Prucha[1]研究了空間自回歸(SAR)模型的廣義矩估計及其大樣本性質；Lee[2]與Kelejian等[3]分別給出了誤差空間相關的空間自回歸(SARAR)模型的兩階段最小二乘估計與工具變量估計；Elhorst[4]考察了空間面板數據模型的估計與識別問題，隨后，Elhorst[5]推導了誤差空間自相關的固定效應動態面板數據模型的極大似然估計及其性質；Su和Yang[6]在Elhorst[5]的基礎上，針對固定效應與隨機效應兩種情形，給出了誤差空間自相關動態面板數據模型的擬極大似然估計；Lee和Yu[7]則在Elhorst[5]的基礎上考察了更一般的空間動態面板數據固定效應模型及其極大似然估計；郭鵬輝[8]在Lee和Yu[7]的基礎上研究了內生初始假定下空間動態固定效應模型的擬極大似然估計；魏傳華和梅長林[9]針對半參數空間變系數回歸模型給出了后向擬合估計；José-María等[10]給出了一種帶有非參數空間趨勢的SAR模型并提出了模型的P樣條估計方法；馮烽和葉阿忠[11]提出了一種半參數面板數據模型并應用于中國EKC假說的實證研究。

縱觀已有研究，參數形式的空間計量模型及其理論研究已取得了很大的進展，然而，有關非參數空間計量模型的研究并不多見。由于經濟系統中變量之間的關系并非總是線性關系，此時主觀設定計量模型變量間的參數關系將會造成模型設定及參數估計的偏誤。為此，本文提出一種含內生解釋變量的非參數空間計量模型并給出其局部線性工具變量估計，該估計不僅具有良好的漸近性質，還可以估計出經濟學邊際分析中被解釋變量關于解釋變量的偏導數。

2 模型的建立

本文將解釋變量的空間滯后項引入傳統的非參數計量模型，旨在同時刻畫解釋變量的空間外溢效應與變量間可能的非線性關系。考察如下的橫截面數據非參數空間計量模型

(1)

其中xi∈Rq為解釋變量列向量個體i的觀測值，x1,…,xn相互獨立，T為轉置算子，ωi=(ωi1,…,ωin)為根據個體i與其它個體之間的距離而定義的空間權重行向量，X=(x1,…,xn)T為n×q的矩陣，G(·)為未知函數，yi∈R為被解釋變量，ui為隨機擾動項，n為個體的數目。

(1)式所表示的非參數空間計量模型的含義是：地區i的被解釋變量不僅受其自身因素的影響，同時還受到周邊地區相應因素的影響，因此，這類模型具有廣泛的現實意義。例如，一個地區物流業的發展水平既受到本地區交通運輸發展狀況的影響，同時還受到鄰近地區交通運輸發展狀況的影響；再如，某地區某天的降雨量可以認為是本地區氣候條件以及鄰近地區氣候條件共同作用的結果。

3 非參數空間計量模型的局部線性工具變量估計

(2)

為推導估計量，本文作如下假設：

假設1G(·) 及其一階、二階導數連續且有界。

假設1是使得G(·)能夠進行一階Taylor展開，且根據Stone[12]可得非參數函數G(·)估計的最優收斂速度為n-2/(2q+5)；假設 2 是根據工具變量的定義要求工具變量必須與隨機擾動項不相關。對于參數形式的空間計量模型的工具變量估計，Kelejian等[3]建議取解釋變量的空間滯后項(或高階空間滯后)作為工具變量；對于本文所提出的非參數計量模型的局部線性工具變量估計，可以取解釋變量的空間滯后項(或高階空間滯后)作為工具變量，還可以從經濟系統外尋找合適的工具變量。

(3)

結合(2)式與(3)式得

(4)

(5)

(6)

將(6)式用矩陣的形式表示如下

(7)

其中Z=(Z1,Z2,…,Zn)

假設3矩陣ZWxXx可逆。

在假設3下，由(7)式可得

(8)

即有

(9)

其中e1=(1,0,…,0)T為2q+1維列向量。

4 Monte-Carlo模擬與實證分析

4.1 Monte-Carlo模擬

為避免非參數估計中的“維數詛咒”問題，僅考察xi為一維內生變量的情形。假設隨機擾動項ui(i=1,…,n)獨立且服從[-0.5,0.5]上的均勻分布，取內生變量xi=exp(0.5ui)，被解釋變量的生成過程為yi=4sinxi+(ωiX)2+ui，其中X=(x1,…,xn)T，取空間鄰接矩陣為Rook相鄰型空間權重矩陣，ωi為空間權重矩陣的第i行，空間單元個數n分別取25、64、100、225、400進行模擬，局部線性工具變量估計(LLIVE)與核估計(KE)[14]結果的均方誤如下

其中右下方數值和括號內數值分別是相應的樣本量和選取的最優窗寬。

各樣本量下采用局部線性工具變量估計的均方誤均小于核估計的均方誤，即從擬合的效果看，局部線性工具變量估計優于核估計；且局部線性工具變量估計的均方誤基本上隨樣本量的增加而減少，這一結果支持了局部線性工具變量估計的漸近正態性。

4.2 實證案例分析

為驗證模型的合理性與適用性，構建非參數空間計量模型對中國R&D要素投入的空間外溢效應進行實證研究。為避免維數過高引致收斂慢的問題，僅考慮一種要素投入及其溢出效應，本文的局部線性工具變量估計恰好能夠有效解決由于遺漏變量所可能產生內生性問題。模型設定如下

yi=G(rdi,ωird)+ui

(10)

其中rdi為地區i的R&D內部經費支出，rd=(rd1,…,rd31)T，ωi為地區i與各地區Rook型鄰接情況的權重行向量，yi為地區i的R&D產出，由地區i的三種專利申請量表示。為避免窗寬過大，對被解釋變量與解釋變量均取人均值，數據來源于中國科技統計年鑒(2012)、中國統計年鑒(2012)。該模型既可以反映技術創新中的研發溢出現象[15]，還可以刻畫投入產出復雜系統的非線性關系。

局部線性工具變量估計的MSE最小，OLS次之，核估計的MSE最大，這表明在該實證案例中局部線性工具變量估計優于其他兩種估計方法。根據實證結果，并結合中國R&D的地區差異狀況，分析如下：

(1)中國R&D內部經費支出具有空間外溢效應，即本地區的專利申請量不僅與本地區R&D內部經費支出有關，還受到周邊地區R&D內部經費支出的影響。這是因為y關于rd與ωrd的偏導數的估計結果均為正值表明本地區R&D內部經費支出的增加以及周邊地區R&D內部經費支出的增加均能促進本地區R&D的產出。

(2)本地區R&D內部經費支出與周邊地區R&D內部經費支出對本地區R&D產出的作用機制不同，其中本地區R&D內部經費對本地區R&D產出的影響是線性的，但周邊地區R&D內部經費支出對本地區R&D產出的影響卻是非線性的。這是因為本地區R&D內部經費的邊際產出?y/?(rd)的地區差異不大，這與線性模型中rd系數的p值小于5%一致，而周邊地區R&D內部經費對本地區的邊際產出?y/?(ωrd)卻存在較大的地區差異，線性模型中ωird系數的p值大于5%也支持了這一結論。

(3)周邊地區R&D內部經費支出對本地區R&D的邊際產出存在空間集聚現象。其中天津、遼寧、上海、江蘇、浙江、福建、山東等東部沿海省份對周邊地區R&D內部經費的轉化能力較高；貴州、云南、西藏、甘肅、青海等西部地區對周邊地區R&D內部經費的轉化能力則較低。

5 研究結論

本文構建的非參數空間計量模型結合了空間計量模型與非參數模型的優點，針對模型所給出的局部線性工具變量估計具有良好的漸近性質和經濟意義，并且能夠有效避免變量的內生性問題，數值模擬結果表明局部線性工具變量估計優于核估計，對中國地區R&D投入產出的實證計量研究驗證了本文模型的適用性與合理性。

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Local Linear Instrumental Variable Estimation of a Nonparametric Spatial Model Under Endogenous Explanatory Variable Assumption

FENG Feng1,2

(1.SchoolofEconomicsandManagement,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China; 2.SchoolofInformationandStatistics,GuangxiUniversityofFinanceandEconomics,Nanning530003,China)

This paper proposes a nonparametric spatial model to capture the spatial spillover effect of explanatory variable and the nonlinear relationship in variables, as well as proposes a local linear instrumental variable estimation for the nonparametric spatial model with endogenous explanatory variable. As an advantage of this estimation method, it can estimate the partial derivative, which facilitates marginal analysis in economics. The numerical simulation results show that local linear instrumental variable estimation is superior to kernel estimation. The empirical results of R&D element spillover effect show that R&D intramural expenditure of neighborhood regions has a nonlinear positive influence on R&D output, and the marginal output of R&D intramural expenditure from neighborhood regions appears spatial agglomeration phenomenon. The empirical results also validate the applicability and rationality of the nonparametric spatial model.

nonparametric; spatial econometrics; endogenous; local linear instrumental variable estimation

2014- 06- 03

國家自然科學基金資助項目(71171057)；廣西自然科學基金資助項目(2014GXNSFBA118011);廣西高校科研資助項目(ZD2014120);廣西數量經濟學重點學科開放性課題(2014YBKT01);廣西高校數理金融高水平創新團隊及卓越學者計劃資助項目(2014CXTD17)

O212

A

1003-5192(2015)03- 0057- 04

10.11847/fj.34.3.57