利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)切線在高考中的教學(xué)討論

摘 要：該文討論了在高中數(shù)學(xué)中，利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具求函數(shù)切線的一般方法，研究了這方面的高考題型。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新，而“變式教學(xué)”是被廣泛運(yùn)用且公認(rèn)有效的教學(xué)手段。以往人們通常把變式教學(xué)劃分為概念性變式和過程性變式兩類；現(xiàn)在，人們已經(jīng)把變式教學(xué)劃分為概念和原理的變式教學(xué)、數(shù)學(xué)技能的變式教學(xué)、數(shù)學(xué)思想方法的變式教學(xué)三種類型。對中學(xué)教學(xué)來說，變式教學(xué)最重要的是可以讓教師有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生使所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從而讓學(xué)生在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 切線

中圖分類號：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（b）-0139-01

隨著高考的改革，微積分的思想越來越在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要的作用，而作為微積分的有力工具導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)的更加明顯。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要的工具，它在研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值問題等都是一個(gè)方便有效的工具。所以近些年來，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在高考中越來越占據(jù)十分重要的份量。另外利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)在某一點(diǎn)的切線方程也是近些年來高考的常考題型。在各省市的高考中，每年基本上都會(huì)出一道關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)求曲線上一點(diǎn)處切線這方面的題目。下面我們討論對于這種類型的高考題，它的解題的一般規(guī)律。

我們知道曲線上一點(diǎn)切線的斜率。從而曲線在的切線方程為

法線方程為

在利用這個(gè)公式的時(shí)候要注意到所求的點(diǎn)必須在這條曲線上，因此解題的時(shí)候就要分為在曲線上一點(diǎn)和過曲線外一點(diǎn)求曲線的切線兩種情況來討論。

1 求曲線上一點(diǎn)處的切線方程

求曲線上一點(diǎn)處的的切線方程是近些年來高考的主要題型，這些年來主要都是考查這種題型，做這種題目的時(shí)候，主要考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的求法以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解。

例1（2014廣西理科）求在點(diǎn)處的切線方程。

解 由于點(diǎn)在曲線上，故過點(diǎn)切線的斜率。故所求的切線方程為。

例2（2014全國理科）曲線在點(diǎn)（0，0）點(diǎn)切線方程為，求。

解 顯然（0，0）點(diǎn)在曲線上，所以在（0，0）點(diǎn)切線的斜率，所以。

例3（2013廣東）函數(shù)在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于軸，求k。

解 點(diǎn)（1，k）在曲線上，過（1，k）點(diǎn)的切線斜率

又切線平行于x軸，故切線的斜率，解出。

2 過曲線外一點(diǎn)處的切線方程的求法

例4（2013連云港調(diào)研）函數(shù)，若過點(diǎn)A（0，16）且與相切的切線方程為求。

解 注意到A（0，16）并不在曲線上，要用以前的公式需要有切點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率為。所以過（0，16）點(diǎn)切線方程為

又在切線上，代入切線方程，有

解出，代入切線方程得。

在高考中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在一點(diǎn)處的切線方程題型一般比較固定，難度適中，學(xué)生要分清是求曲線上一點(diǎn)處的切線還是過曲線外一點(diǎn)處的切線。如果是曲線上一點(diǎn)處的切線，先求出切線的斜率，也就是在函數(shù)在切點(diǎn)哼坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線方程。如果是求過曲線外一點(diǎn)處的切線方程，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，在利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，然后寫出過曲線外一點(diǎn)處的切線方程，最后根據(jù)切點(diǎn)在切線上解出未知數(shù)。

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