修正微分定義 統一數學分析

摘 要：第二次數學危機爆發至今一直都存在不同的意見，無窮小分析這套微積分工具對問題的解決頗具啟發性，但其理論基礎備受質疑；而現今極限理論框架下的微積分失去了無窮小分析的簡明直觀性。該文修正了極限理論中微分和無窮小量的定義，根據“Bolzano連續性賦值”建立微商引理，統一了無窮小分析與極限理論；舉例推證了部分微分學公式，揭示了無窮小分析和極限理論之間內在的蘊含關系，指出了L’Hospital法則、等價無窮小代換本質上就是求出函數在0/0處的值，和Euler的觀點吻合。同時用純粹數學描述Marx的數學手稿，證明其“微分為特定的0”的觀點的正確性，表明可以從本質上徹底解決第二次數學危機。

關鍵詞：第二次數學危機 無窮小分析 極限理論 微分 微商引理

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（b）-0010-03

我們知道，Newton、Leibniz創立的第一代微積分理論——無窮小分析，由于其無法解釋無窮小量還是，引發了著名的第二次數學危機，也稱為Berkeley悖論。為解決這個悖論，Cauchy等人建立了極限理論，把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上，問題從而得到初步解決。但第二次數學危機爆發至今，一直都存在著不同意見：著名的數學家Euler就堅持認為在求導數的運算中，其結果應該是；[1]Marx在他的《數學手稿》中說得更明確：求導數的運算的結果應該是嚴格的、特定的，提出了微分在數值上等于0的新思想，指出了的精辟見解。[2]雖然無窮小分析存在邏輯上的悖論，但其表述運算過程的簡明性和直觀性是其他理論所不能及的；枯燥晦澀的語言成為高等數學教學中的一道難關，因此許多經濟學家和工程師牢牢地抓住“無窮小量”不放。非標準分析的建立就是為了為無窮小分析正名，但是該理論較為繁瑣，進入教學實踐困難，無法取代極限理論的地位。統一自然辯證法和純粹數學兩個領域在這個問題上的不同意見，恢復無窮小分析在純粹數學中的合理地位已成為一項饒有興致、頗具重要的課題。

1 百家爭鳴的無窮小量

Leibniz定義并求R上函數的導數過程：取函數的自變量變化無窮小量，其中，則隨變化增量為，因此

，

，令，

定義函數在時的函數值作為函數的導數，記做。

可見，上述過程出現了無窮小量和這個悖論。

為了解決這個悖論，Cauchy等人建立了極限理論，極限理論定義導數如下

設R上函數在的鄰域內有定義，若，當時，總有，我們稱函數在點處可導，稱極限A為函數的導數，即

（1）

極限理論固然嚴格，消除了和這個悖論，但失去了簡明、生動、活潑的計算方法。第一代微積分中的無窮小量在數學上被斷定為不可接受，因為還沒有形成滿意的定義，能與上述公式化的微積分原理一致，或者可以成為在邏輯上滿意的替代解釋的基礎。[3]為了保持微積分運算的簡易性，現代數學把無窮小分析看成一種記號，如復合函數導數公式可表示成，其概念源自于導數：函數自變量的微分規定為，因變量的微分記為，這種定義下函數的微分將隨著自變量的任意取值而變化，微分即可“充分大、任意大、大而不微”[4]，失去了無窮小量的真實含義。此外，在微積分發展史中學者們對無窮小量有著不同的看法：“潛無窮”、“實無窮”、“已消失的量的鬼魂”、“令人憎惡的小零蛋”、“特定的無”等等。[3]

Marx在他的《數學手稿》中指出，微商（導數）應該是嚴格的、特定的；微分應該是揚棄的增量，不是虛無，而是“特定的無”。[2]通俗地講，即當平均變化率變為瞬時變化率（導數）時，。數學家Euler認為，一個比任何給定量還小的數，必然為零，因此在數值上等于0；因此，對歐拉而言微積分只是找出表達式之值的啟發式運算。[3]可惜的是Euler和Marx未給出無窮小量概念的合理的數學描述，隨著時間的流逝，這些正確觀點逐漸被人們所淡忘。

2 修正微分的定義

根據Euler和Marx的微分在數值上為0觀點，不妨重新定義微分和。我們取極限，作為揚棄的增量，把它稱作自變量的微分，記做，那么因變量的微分即為。我們發現，和在數值上等于0但不同于代數的0，因為它們是變量在趨于0過程中的最終極限值，是帶有變化趨勢這一信息的。下面根據極限理論嚴格描述微分：

定義2.1嚴格的，若R上變量滿足，則稱變量在處可微，我們把增量趨于零時的極限叫做變量在處的微分，記為，又可表示成，不混淆的情況下簡寫為.

同理，函數的因變量也可按上述定義，因此只要給定一條數軸，R上的任意連續變量均可寫出微分的形式，與函數的依賴關系無關。此外，注意到此定義有個奇妙之處：，也就是可以把0和互換，不妨稱為微分形式不變性。

下面考慮兩個變量的微商（導數）運算，我們竭盡全力要使兩個具有函數依賴關系的變量微分之比等于因變量對自變量的導數，即。從形式上可以得到如下推導：

充分性：

（2）

必要性：

（3）

其中表示當時，，即函數連續性這一變量之間的依賴關系。在上述推導中我們疏忽了一點，就是極限的除法運算中要求分母變量不等于0。如果要把它推廣到的形式，就要用到Bolzano連續性賦值。

3 建立微商引理

先觀察這樣一類函數，滿足形式，且與在定義域上連續，但函數在某一點上化為。例如信號處理理論中常用的抽樣函數：，在=0時刻或延時后峰值具有物理意義，通常顯式地定義為。而在高等數學教學中，通常認為當=0時刻分母等于0無定義，從而采用兩邊夾定理得到重要極限：。數學家Bolzano認為：如果一個函數在某一點化為，那么它在這個點上就沒有確定值；但是，當達到這個點時，它可以有一個極限值；他還正確地指出，把有限值作為的意義，可使函數在這一點成為連續的。[3]不妨稱之為Bolzano連續性賦值，利用這個極限賦值，我們建立微商引理：

引理3.1設函數，在點處有，，且存在，根據Bolzano連續性賦值，我們認為在點處有定義且連續，滿足，即：，又，得到.

引理3.1我們稱為微商引理。

特別的，函數

，顯然

，；若極限存在，則在處有定義且連續，同理，根據微商引理，有：，即函數在的函數值為

，由微分形式不變性，將0換成，有

。

4 統一無窮小分析與極限理論

定理4.1若函數在點處連續，則滿足。

這個定理的證明是輕而易舉的，可能在微積分的計算中沒有多大的作用，但對于無窮小分析與極限理論的統一，卻是至關重要的。

根據無窮小分析給出的導數定義式：，取函數的自變量變化無窮小量，隨變化增量為。則由修正的微分定義，有，。其中，，設，=0，顯然函數在處連續。由定理4.1，有

，再根據微商引理，得：

.

另外，，故。

這樣我們就把無窮小分析建立在極限理論之上，使之獲得嚴密的邏輯基礎，又可重新使用無窮小量的簡潔表示，而不必寫出極限符號。

師教民教授在論文《論極限理論的微分之謎》中指出，無窮小分析法和極限理論給出的導數定義本質上都是定義函數在處的函數值。[5]我們論證了這一觀點的正確性，體現了微積分概念應該是按照“否定之否定”的哲學原理發展的。第二次數學危機的產生和極限理論的處理方法其實是微分學發展過程中的第一次否定，第二次否定應該是回歸到最初的無窮小分析法上，在更高層次上的“回應”，這也是符合馬克思主義自然辯證法原理的。

根據修正的微分定義，這里有必要改進無窮小量的數學描述。極限理論是把無窮小以潛無窮的變量表達出來的，定義如下：（或N），當（或時），總有，則稱函數為當（或）時的無窮小量。[6]根據第一代微積分（無窮小量分析法）與微商引理，我們修正定義如下：

定義4.1（或N），當（或時），總有0< ，即或，則稱極限為當（或）時的無窮小量。

定義4.1中排除常量0是為了區別“虛無”和“特定的無”，根據Euler的微分學理論，無窮小量正是特定的消失的變量，在數值上等于0，因此是實無窮取徑。根據定義4.1，微分是無窮小量，無窮小量也可以轉化為微分的形式：（時，），有。

定理4.2 若，，則.[6]

定理4.2可由極限的乘法運算法則直接導出，特別的，令極限常數A=0，得到無窮小量的轉換定理。接下來我們給出無窮小比較的定義。

定義4.2 設，是同一極限過程中的兩個無窮小量（為了方便表示，這里略去了與的下標），如果有

（1），則稱是比的高階無窮小量，記做；

（2），則稱是比的低階無窮小量；

（3），則稱與是同階無窮小量；

特別的，若c=1，則稱與是等價無窮小量，記做∶.

我們發現，新定義的實無窮小量通過微商引理轉化到極限理論定義的潛無窮小量上。類似的，我們引入等價代換定理：

定理4.3 設存在且，則比值也存在，且有

（4）

證明：

特別的，微分自身之比為1，，滿足等價無窮小的定義。

5 基于新定義推證相關定理

下面將依據新的微分定義與微商引理舉例推證微分學相關公式，揭示無窮小分析和極限理論之間內在的蘊含關系。

定理5.1（復合函數求導法則）

證明：設及都可導，則復合函數在處可導，可導必連續，

定理5.2（反函數求導法則）

證明：設函數=g（y）在點y0處可導且存在反函數，則函數在處的導數為：

定理5.3（L’Hospital法則的特征表式）

引理 5.3 若函數在點處可導，且導函數在點處連續，則有：

（5）

若，且在點的某個去心鄰域內，及都存在，且，，結合微商引理和引理5.3，有

如果依然滿足L’Hospital法則的條件，循環使用直至求出極限為止（極限最終存在的前提），即：

（6）

不妨稱式（5-2）為L’Hospital法則的特征表式，簡稱特征式。

根據Bolzano連續性賦值，我們發現，L’Hospital法則、等價無窮小代換、兩個變量的微分之商在本質上是一樣的，就是求函數在點=a處的函數值！這驗證了Euler的觀點：微分學只是找出表達式之值的啟發式運算。[3]

6 結論

綜上所述，我們在極限理論的基礎上修正微分和無窮小量的定義，證明了無窮小分析的邏輯是正確的，統一了無窮小分析與極限理論；無窮小量（或微分）在數值上是等于零的，出現和這個悖論是因為沒有獲得微分與零關系的正確見解。微商引理指出，任何導數都是嚴格的形式，這和Marx的《數學手稿》中的新思想是一致的，同時，也和Euler的微分學基礎理論吻合。從哲學的角度看，Marx的辯證微分學思想獲得了純粹數學的描述；微分學概念是按照“否定之否定”的原理發展的，那么第二次數學危機也可以從本質上徹底解決。

參考文獻

[1]Euler. John D. Blahton.Foundations of Differential Calculus[M].New York： Springer-Verlag，2000.

[2]馬克思.數學手稿[M].北京：北京大學出版社，1975.

[3][美]卡爾·B·波耶，著.微積分概念發展史[M].唐生，譯.上海：復旦大學出版社，2013.

[4]師教民.微積分之謎與美[M].石家莊：河北科學技術出版社，2007.

[5]師教民.論極限理論的微分之謎[J].高等數學研究，2012（4）：44-46.

[6]南京理工大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2008.