引導學生學會由原理到形式的數(shù)學推演

【摘要】 從形式到原理是歸納的過程，從原理到形式是演繹的過程，引導學生來回體驗，能夠幫助學生更好地理解數(shù)學概念. 聚合思維和發(fā)散思維能夠助力從原理到形式的推演教學.

【關(guān)鍵詞】 原理；形式；推演；聚合思維；發(fā)散思維

數(shù)學原理是數(shù)學學科具有普遍適用意義的基本規(guī)律性概念. 它是學科探索者們在觀察了大量數(shù)學現(xiàn)象、研究大量的數(shù)學問題的基礎(chǔ)上提煉出來的本質(zhì)認識. 由于學生個人數(shù)學能力的限制，并不一定能夠完全理解這些原理，或者不能夠游刃有余地在實踐中運用. 因此，帶領(lǐng)學生體驗數(shù)學原理到形式的推演轉(zhuǎn)化過程，掌握其經(jīng)緯脈絡就顯得尤為重要. 如何實施呢？這得從數(shù)學建模的原理說起. 數(shù)學建模的原理指“系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學表達式，即用數(shù)學式子來描述所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律”. 換句話說，數(shù)學符號以及相應的其他數(shù)學語言也就代表著數(shù)學原理，這樣的形式易于理解、運用. 所以，數(shù)學建模的過程包含著從原理到形式的推演轉(zhuǎn)化，這即是一種變式教學，便于引導學生從不同角度、層面，全面、立體地審視數(shù)學原理，實現(xiàn)對數(shù)學原理的徹底的解讀，掌握數(shù)學原理的本質(zhì)和運用要訣.

考察數(shù)學原理的歸納、提煉的過程，我們便可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學原理總是從不同方向、不同角度、不同材料或信息的綜合研究得出的結(jié)論性概念，也就是聚集所有的思考方向、角度和依據(jù)的材料或信息的基礎(chǔ)上獲得的. 這是一個去粗存精、去偽存真、求同存異的思維之旅. 所以，通過探察數(shù)學原理的獲得途徑，我們便可以找到推演的形式.

毫無疑問，我們從中可以發(fā)現(xiàn)，由原理推演到具體的表述形式，其實就是將數(shù)學原理的獲得的條件、途徑顛倒過來，看看我們得出的數(shù)學原理是否合乎先前的特點. 這牽涉到發(fā)散思維的運用.

如何以數(shù)學原理為圓點，實施推演呢？發(fā)散思維原理為我們的教學提供了一個有力的支持. 一旦我們激活了學生的發(fā)散思維意識，那么，學生就會以現(xiàn)有的認知激活舊有的認知，并且根據(jù)數(shù)學原理獲得的過程體驗，從中抽象出不同形式的推演路徑，學習的興趣也會隨之高漲起來.

請看下面對得出“同圓與等圓中，圓心角與其所對的弧、弦之間相等”的原理的歸納：

歸納一：（1）如圖1，在兩張透明紙上，分別做半徑相等的⊙O1和⊙O2；（2）在⊙O1和⊙O2中，分別做相等的圓心角∠AOB、∠A′O′B′，連接AB、A′B′；（3）將兩張紙片疊在一起，使⊙O1和⊙O2重合；（4）固定圓心，將其中一個圓旋轉(zhuǎn)某個角度，使得OA與O′A′重合；（5）按照此法請你演示一下在兩個等圓內(nèi)做類似的活動；（6）通過這兩次演示，你發(fā)現(xiàn)了什么？

歸納二：如圖2，在⊙O中分別做相等的圓心角∠AOB、∠A′O′B′，連接AB，A′B′，求證：AB = A′B′，■ = ■.

分析 這兩個歸納的過程可稱為演示性歸納，我們從中可以獲得推導出結(jié)論的兩個必要條件：（1）同圓或等圓；（2）兩個弧或弦所對應的圓心角必須相等. 離開了這兩個條件則結(jié)論不成立. 那么，我們就可以引導學生學會運用演繹的方法，從這個即定結(jié)論中推導出具體的表現(xiàn)形式，并且進一步運用這一結(jié)論解決數(shù)學問題.

由此，我們可以轉(zhuǎn)化為：

推演一：同圓內(nèi)，從圓心出發(fā)任意作出兩個圓心角，如果它們對應的邊或弦相等，那么，它們的圓心角必然相等.

分析：這是由原理推演出條件（2）中的圓心角之間的關(guān)系，使該關(guān)系成為推演形式的結(jié)論. 轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號，即：⊙O內(nèi)，AB = A′B′，■ = ■. 那么∠AOB = ∠A′OB′.

推演二：同圓內(nèi)，從圓心出發(fā)任意作出兩個圓心角，如果它們對應的弦相等，那么，它們對應的邊也必然相等.

分析 這是由原理推演出條件（2）中的圓心角對應的邊的關(guān)系，使該關(guān)系成為推演原理的條件. 轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號，即：⊙O內(nèi)，■ = ■. 那么，求證：AB = A′B′.

推演三：如果兩個圓中，分別有兩個圓心角. 已知它們分別對應的邊或弦相等，能否得出這兩個圓心角相等的結(jié)論.

推演四：如果兩個圓中，分別有兩個圓心角. 已知它們的半徑相等，能否得出這兩個圓心角分別對應的邊或弦相等的結(jié)論.

……

上例推演形式中，除了運用數(shù)學符號，做正常的從原理到形式的推演之外，還從結(jié)論推導兩個圓心角是否是相等的內(nèi)容，這便是運用了逆向思維，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為條件，將條件轉(zhuǎn)為結(jié)論，也就是將判斷原命題的逆命題的正確性，進而確切解讀數(shù)學原理. 推演三、四由特殊條件“同圓或等圓”轉(zhuǎn)化為普遍條件“兩個圓”（即不設定這兩個圓的關(guān)系，當然排除不重疊這一特例），這就開啟了學生對圓心角性質(zhì)中的“同圓或等圓”這一限制條件的認知思路，強化了對數(shù)學原理的理解. 可見，運用逆向思維恰恰和聚合思維構(gòu)成一體雙面，在條件、結(jié)論和必要條件與充要條件之間建立動態(tài)聯(lián)系，極大地幫助學生透徹研究數(shù)學原理，使我們順利地將數(shù)學原理的內(nèi)涵和外延清晰地傳授給學生.

當然，推演形式的多種多樣，比如情景化、動態(tài)化、開放化等，這些形式將數(shù)學原理和數(shù)學問題、生產(chǎn)生活緊密聯(lián)系起來，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和數(shù)學思想，使得數(shù)學原理推演變得更加生動、更加務實.

由以上推演看出，體驗從形式到原理的過程，其實就是從根本上找到從原理推演形式之“源”，探求推演的方向、思路. 歸納與演繹同樣非常重要，有利于開啟我們的教學思路.

“對數(shù)學問題的探索、研究、解決的過程首先是一個發(fā)散的醞釀多種方案的過程，然后才是從中比較優(yōu)劣，確定最佳解決方案的過程，是發(fā)散和集中的有機組合. ”學會從原理到形式的推演意義重大，我們應當不斷地探索最佳的教學思路.

【參考文獻】

[1]朱韋.談初中數(shù)學教學中符號意識的滲透[J].數(shù)學教學通訊·初等教育，2015（02）.

[2]談峰.談數(shù)學教學中的發(fā)散思維能力的培養(yǎng)[J].數(shù)學學習與研究，2015（03）.