淺談定義教學

摘 要：在數學教學中要講清概念、定義，不能讓學生只知道按“規定”解題；要使學生深刻地理解概念，有興趣地接受“定義”，明確概念的實質，知道來龍去脈，營造生動活潑、積極主動的學習氛圍，是提高教學質量的重要課題。在此筆者談談在教學中的幾點體會。

關鍵詞：數學教學 定義教學

一、指導學生弄清概念的源頭

課本中許多教學概念，都是來自于勞動人民的實踐，然后通過抽象總結出來的。要想讓學生深刻理解概念，必須講清它的來源。如：正負數、數軸、無理數、絕對值、分數、函數、直角坐標系，各種幾何圖形的周長、面積等概念，都是從日常生活、勞動中產生出來的。講清它的來龍去脈，就可以使學生從抽象的、枯燥無味的數學概念中走出來，從而越學越有興趣。就正負數而言，若是呆板地講：正數就是帶“+”號或不帶符號的，負數就是帶“-”號的數，學生只能是死記硬背了。若是這樣講：正數，它的意義是生活中的運進、上升、收入、積余等，負數意義是相反的，是運出、下降、支出、虧損等；再者，若規定回家是向南走數為正，但你卻向北走則數為負，恰好相反。這樣講，學生初步弄清了正負數是相反意義的兩種數，比較著去記這兩種數，同時弄清了數的實質，然后結合數軸，用數形結合的方法來講清相反數、絕對值的有關概念。這樣學生就會明白，定義不是隨便總結出來的，也不是書本上原來就規定好的，而是對客觀模型科學抽象的結果。

二、講清各種名詞的意義

課本上常出現一些名詞：“一般形式”“標準形式”“最簡形式”“基本性質”以及一般“計算性質”等等。講清了它們的意義，有利于學生在解題中不出現結論性問題。

1.弄清“一般形式”的作用

討論“一般形式”就是討論從許多的式子里找出的代表。它們來自于代數式、方程、函數式等概念中。如整式、分式、根式、一次函數的一般形式，二次函數的一般形式，指數函數的一般形式等，一般形式是各種各類形式的總結。對一般形式的討論得到具體的結論，可以用來解決各種形式各種類型的問題。就二次函數來說，對它的一般形式[y=ax2+bx+c（a≠0）]進行討論，可以總結得到五個實用性質：頂點坐標、對稱軸方程、開口方向、函數的最值、函數的增減性。這五條對二次函數來說，無論是對圖像、對應用、對解題都是極其重要的。

2.知道什么是“最簡形式”

數學中的任何計算、化簡，要求其結果必須是“最簡形式”，否則不能作為數學結論。通常研究的是最簡多項式、最簡分式、最簡根式等，為什么要規定出一個最簡形式？很容易知道，我們對于所研究的對象，為了突出其本質的屬性，總要盡量在外形上化簡。以二次根式為例，凡滿足：“被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，稱最簡二次根式”。如果沒有這個定義性概念，我們從事二次根式的化簡，計算就會出現盲目性，可以說無從下出結論，不知道該到哪一步為止。許多二次根式的形式從表面上看，都是最簡形式，但通過質因數分解及因式分解，可以分解出平方數和平方式來，還可繼續化簡，這就是說“最簡形式”很重要，否則解決什么問題就沒有個標準了。

3.弄懂“標準形式”的作用

一次函數、二次函數、一元二次方程都有標準形式，尤其是雙曲線的標準方程、橢圓的標準方程更為突出。以一元二次方程為例：將一般形式的一元二次方程化成標準形式，即左邊是按降冪排列的一元二次式，右邊是零，就可以用求根公式、因式分解等方法來求根，就可以討論它根的性質。如果沒有一個標準形式，解決一元二次方程的許多問題都會出現本質上的問題，它的根和根的性質就沒法研究了。現在我們對拋物線、橢圓的研究，首先研究標準形式所起的作用，因此對于能起決定作用的方程，稱標準形式的方程。

4.理解透“基本”性質、定理、公式的意義

“基本”性質很多，如分式的基本性質、根式的基本性質等。分式的基本性質是：分式的分子、分母都乘以或除以同一個不為零的整式，分式的值不變。這條基本性質，在分式的所有問題的處理中起著“基礎”和“決定”性作用。這條前人規定的基本性質，在我們后人看來尤其重要和恰當。再從普通物理學變速運動公式來講，很多難以解決的速度變化、時間變化，用它來計算就能很快解決問題。因此，我們深刻體會到基本公式的重要性和必要性。

三、特別強調一些字母的名稱變化

同一字母，在不同的式子里出現，就會有不同的名稱和取值范圍，對于一些名稱的改變，學生難以理解和掌握，教師要講清這些字母的實質變化，幫助學生理解掌握其要點。如：ab=N， =a，logaN=b三式子中a，b，N分別稱為：底數和根；指數、根指數、對數；冪、被開方數、真數。同一個字母有幾種不同的稱呼。為什么要改變其名稱？由于問題的性質變化，字母的位置與作用也隨著改變。為了使“名稱”能更好地反映問題的本質，名稱就應該相應改變，這一點在課堂上應詳細地做描述解釋 。

四、特別注意定義的合理性

給概念下定義，就是揭示概念的本質屬性，由于定義揭示了概念的本質屬性，因此就明確了該概念的正確定義，除反映事物的本質屬性外，還應遵循一些原則。我們在教學中不好向學生提出這些原則，但也要由淺入深地講清各種定義的合理性，使學生感到這樣規定是很自然的，符合實際的和恰到好處的。例如：當n是正整數時，bn是表示n個b相乘；當n是實數時，這時bn就不能看成“n個b相乘了”，如：2，50，不能說是有個2相乘或0個5相乘。通常在客觀實際中，遇到的冪指數并不都是正整數。如：0-1，0，00……，都沒有意義，可是客觀實際的需要和指數本身的矛盾性都要求人們把指數概念加以推廣，即將n的取值范圍擴大到實數范圍，因此要對bn重新定義。在這一點上要對學生強調：為了使概念適用于更大的范圍，就必須擴展原有的概念，重新給它定義。這樣，我們雖然仍采用原來的名稱與符號，但其取值范圍和實質內容已經較前更為完善了。

五、防止概念模糊，亂用相近性質

許多學生對于概念掌握不牢，理解不透，往往出現一些問題。

1.原逆命題模糊

（1）原命題成立，就誤認為逆命題也成立，或不加思考，亂用逆命題的結論，如“1的任何次冪都得1”，所以“1的任何次方根仍得1”。

（2）把逆定理當做原定理，例如：在驗根時，不少學生這樣說：“x1+x2=-p x1·x2=q x1，x2一定為方程x2+px+q=0的根，這是韋達定理”，其實也已經是原逆命題倒置了。

2.定義定理模糊

主要有以下兩種：

（1）誤把定理當定義，或者相反把定義當做定理。如“一組對邊平行且相等”，就是平行四邊形的定義。

（2）循環定義：用A作B的定義，又用B作為A的定義，彼此混亂。如認為直角就是含90°的角，而一度的角就是直角的九十分之一。

3.種屬概念模糊

認為“無理數的定義就是開方不盡根的數”；實部等于0的復數叫純虛數等現象。對這樣或那樣的模糊概念，教師應加強糾正和指導。

六、小結

總之，定義即是對某（類）對象認識的結果，它必須具有明確性即確定性。教師要想方設法讓學生對概念學習引起重視，引導學生對定義產生興趣，弄清所有定義的來龍去脈，以免在計算化簡等變化中出現不必要的錯誤。

（作者單位：安徽省合肥市長豐縣技工學校）