RLC組合正弦交流電路諧振分析

摘要：本文我們對 組合正弦交流電路各個組態作詳細分析，通過相關電路的串并聯計算，得到各個組成電路復阻抗的解析解；進一步通過電路復阻抗相量的諧振分析要求，計算了該系列電路在諧振狀態時所取的 參數值。將對應的阻抗解析解與所取諧振狀態參數值進行對比分析，我們得到所有 組成電路諧振的產生條件、產生原因以及結果，并對其進行了全面的歸納總結，得到一系列簡單而便于理解的結果，該結果將對相關電路的根本理解與基礎設計有重要作用。

關鍵詞： 組合電路，交流電路，諧振，分析

中圖分類號：O433 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（a）-0000-00

引言

正弦交流電路在人們日常生產和生活中有著極重要而廣泛的應用，該電路具有隨時間按正弦規律變化的特點，具有一些直流電路無法解釋的現象[1，2]。因此對正弦交流電路特殊性的掌握非常重要。 串并聯正弦交流電路作為其中的一個典型，其不同組成形態會引起電路的不同工作狀態從而產生不同的輸出形式，這一特點使得對它研究的重要性表現得尤為突出。適當調節其中的參數，可使電路產生諧振達到高電壓的有利輸出形態，從而給日常生活和生產帶來方便和效益；也可通過其中的參數調節分析，對過電壓和過電流等有害情況進行預防。

一般教材或文獻上，雖對典型的 電路有詳細分析[3，4，5]，但就整個 電路的組成形態以及他們之間的異同，由于篇幅和理論理解等因素往往不會給出具體深入的闡述歸納，本文就電路的復阻抗值對 電路作一個深入探討，并將得到的結果給出簡單總結分析。

復阻抗作為交流電路中的一個重要參數，它既包涵各個電氣元件最基本的參數特征，很好的描述 電路的狀況；又具有日常電氣參數的可測量和可調等重要特性，能夠剔除交流電路隨時間變化的復雜過程，得到簡單明了的量化參數值。復阻抗一般由相量表示，其實部和虛部對應為阻抗元件和電抗元件的取值。它們之間可由電路電壓與電流的相位差 來確定。本文主要得到 電路中的復阻抗結果，由此討論各電路諧振狀態時諸參數取值及物理量變化的規律。

1 串并聯電路

將電阻值 和電感及電容系數 代入上式，即得最后的具體阻抗值。

一般我們關注電路的諧振狀態，即對應所組成電路的復阻抗的純實數取值。對于 的單純串并聯兩種電路，可以得到當頻率取 時，電路達到諧振狀態，對應的復阻抗為 。由該結果知，對于 電路形成諧振狀態的討論，僅使該電路所組復阻抗虛部為零即可。下文對 組合混聯電路計算結果的特點，分兩種情況對其中電路狀態作進一步探討。

2 混聯電路

對于以上兩式進一步代入計算得到，要使復阻抗不為零且產生諧振（即復阻抗虛部為零）是不可能的。

因此，我們得到該電路在此時不能形成諧振狀態。從電路的組成方式可知，當電感與電容（ ，電抗元件）串聯或并聯時，從復阻抗的角度考慮，二者的合阻抗無論哪種電路組成方式均為純虛數，即輻角為 的相量。該相量再與阻抗元件串聯或并聯時，得到的新相量將不能取得純實數值。這主要來自 電氣元件的參數調節規律。一般地，三個元器件的參數值 是選定不變的，我們僅能通過電路的頻率參數 來改變其組合形態，而電阻元件與頻率參數無關。對于以上兩種情況，電抗元件串聯或并聯后，其合阻抗相量的輻角為 ，與頻率參數無關。該復阻抗再與電阻元件組成新的串聯或并聯電路時，可看作該電抗元件的復阻抗相量與阻抗元件這一實數疊加，即將兩個與頻率無關的函數疊加，其疊加結果肯定不可能通過頻率參數的調節來使最終的復阻抗相量成為一個純實數，即不能實現 電路諧振。

3 和 混聯電路

因此，對于 和 混聯電路，選取適當頻率的交流電流，總可使電路達到復阻抗為（5）式對應諧振狀態。對于該結果可以作如下進一步理解。當阻抗元件為 與電抗元件一部分 形成電路時，它們所形成新的復阻抗相量 實部與虛部同時存在，再與電抗元件另一部分 以另外一種形式組合成新電路時，因為 是純虛數，故總可通過調節電路的頻率參數使得 的虛數部分與 相反，而使疊加后僅存在實數部分，即實現諧振電路。它們最終組合電路的復阻抗解析結果如下

由（6）式中第一式可得， 時有諧振狀態，即 。該結果可以看出，對于電抗元件其中一部分相量 ，可通過阻抗值與另一部分 的運算從而使之相等，這部分結果對應（3）式中 ，即電路串聯后再并聯的混聯形式。另外由（6）中第二式得到， 即

時電路為諧振狀態，同樣得到電抗元件的一部分可由另外一部分與阻抗元件的組合達到數值相等，這部分對應（3）式中的 ，即電路并聯后再串聯的混聯形式。以上幾種情況均可適當的調節頻率來實現諧振電路。

4 結論

我們分析了 組成電路各個形態，得到 組成電路的復阻抗解析結果。通過電路的諧振條件分析可知，當電抗元件先串聯或并聯再與阻抗元件組成混聯電路時，電路不能達到諧振狀態；而其余的 混聯電路可以通過適當的頻率選取使電路達到諧振條件。同時我們得到對應諧振條件下復阻抗的實數值，它們在純串聯或純并聯電路時為阻抗元件的阻值，混聯電路時為三個電氣元件參數的組合值 。這系列結果對于 電路的研究和設計有一定指導意義。

參考文獻

[1] 李柏齡， 電工學（土建類）[M]， 第二版， 北京：機械工業出版社，2012.12.

[2] 邱關源，電路[M]， 第四版，北京：高等教育出版社，1999.6.

[3] 董延軍，內蒙古電大學刊（自然科學版），1992，4

[4] 葉愛琴，王玉蓮，安徽農業技術師范學院學報[J]， 2000，14，68-70.

[5] 趙平華，賀曉華，大學物理實驗[J]， 2012，25，6.