恒定電場

摘 要：根據電動力學我們知道空間中靜電場的分布情況是可以通過邊界條件以及泊松方程求解出來的，且解是唯一的。原則上，只要知道邊界條件，我們就可以通過求解泊松方程來解決一切靜電場問題。實際上這種方法還可以推廣到渦旋電場中。該論文討論了如何將研究靜電場的數學方法應用到研究渦旋電場中。我們從最簡單的通電螺線管激發的電場出發，求解通電螺線管內、外的渦旋電場分布函數，其次分析這些函數描述的電場是否為保守場，最后通過定義假想電流、渦旋電場矢勢、渦旋電場標勢將恒定電場通過泊松方程以及邊界條件表達出來。

關鍵詞：恒定電場 泊松方程 電動勢 邊界條件

中圖分類號：TJ510.1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）04（b）-0211-05

時變磁場激發的恒定渦旋電場與靜電荷激發的靜電場疊加成的總電場稱為恒定電場，恒定電場是不隨時間變化的。電動力學表明泊松方程及其邊界條件可以完美的描述靜電場，但沒有給出一套完整的數理方法來描述渦旋電場，該論文的目的就是要將描述靜電場的這種數理方法推廣到渦旋電場中，給出一個描述渦旋電場的數理方法。

1 通電螺線管激發的電場

先來看細長螺線管激發的渦旋電場的性質，圖1是一個密繞細長螺線管的橫截面，虛線為螺線管管壁，給螺線管通變化電流使螺線管內，即虛線所圍成的區域產生均勻分布的磁場，“×”表示該磁場的方向垂直于紙面向里，設的變化率為大于零的常數k：

根據電磁感應定律[1]，將激發出電場，的方向如圖1黑色實線條所示：

螺線管半徑為R，由法拉第電磁感應定律可求出螺線管內及管外的電場的大小分別為[1]：

（1）

（2）

其中r表示場點與螺線管中心O的距離。若要分析該渦旋電場的旋度與散度，就必須先求出該電場在空間中的分布函數，接下來我們就來求這個函數。

建立圖2所示直角坐標系，以螺線管中心O為坐標原點，在該坐標系中的任意一條電場線上，任取一點，該點位矢為：

該點處電場強度為：

顯然：

（3）

（4）

其中：

（5）

（6）

將式（1），（2），（5），（6），帶入（3），（4）得電場在空間中的分布函數：

當時：

當時：

且：

至此，我們便求出了通電螺線管激發的電場函數，接下來我們分析這些電場函數是否是保守場函數。

2 對于螺線管內的渦旋電場

螺線管內的電場為：

該函數無奇點，螺線管內的空間為單連通區域，因此判斷此函數積分與路徑有關系，等價于判斷[2]：

不成立，而：

所以

為非保守場。

3 對于螺線管外的渦旋電場

螺線管外的電場為：

該函數在點無定義，因此判斷此函數積分與路徑有無關系，除了判斷：

是否成立外還要判斷該函數對任意一條環繞奇點的閉合曲線的坐標積分是否為零[3，4]：

為書寫方便，令：

則：

其中的為常數，不妨做圓：

環繞奇點，沿著積分，方向如圖3所示：

可見在包含奇點的復連通區域內是非保守場，的非保守性質完全是由于這個奇點造成的，而對于不環繞奇點的任意閉合曲線，的曲線坐標積分為零，因此對于螺線管外任意不環繞或不包含奇點的區域電場可視為保守場，如圖4所示：

A區的電場可視為保守場，但D區，C區的電場不可視為保守場，因為這兩個區域包含了或環繞了奇點。

對于螺線管激發的電場，其只分布于螺線管外，奇點并不處于的分布區域，因此螺線管在任意不環繞奇點的區域激發的電場可視作保守場，也就是說當圖5所示的導線QMP與導線QNP電阻相等時，由于沿著導線QMP的積分等于其沿著導線QNP的積分，所以兩電流A1與A2表示數相同。

4 導線QMP與導線QNP中的感生電動勢相等

證明導線QMP與導線QNP中的感生電動勢相等，就是證明導線QMP感生電動勢與導線QNP感生電動勢分別都等于中的電動勢。（如圖6）

為方便起見先來看這樣一根特殊導線的感生電動勢，作如圖7所示的曲線，方向為：

曲線是半徑為R1的半圓，這兩個半圓圓心為螺線管中心，且， 上的感生電動勢為，處的電場為：

對于任意曲線，與同端點，下面證明中的電動勢等于中的電動勢（如圖8），取一段有向線元，在垂直于方向分量為，在平行于方向分量為，而沿垂直于方向，于是：

所以：

對任意曲線，只要其端點與相同，就會感應出與相同的電動勢，也就是說導線QMP與導線QNP中的感生電動勢相等，對于圓心不再O點的情形也會得出相同結論。

5 恒定渦旋電場的矢勢與標勢

對于渦旋電場應用麥克斯韋方程組[5，6]為：

其中為自由電荷體密度。

若引入定義假想電流：

則：

這樣細長螺線管在管外激發渦旋電場就可等效的描述為假想電流激發，與方向滿足右手螺旋，且時變磁場分布的空間區域就是分布的區域，進而我們將細長螺線管在管外激發渦旋電場的情形推廣為任意時變磁場激發的恒定渦旋電場，這樣時變磁場在空間區域激發的恒定渦旋電場，也即在空間區域激發的恒定渦旋電場可視為保守場的條件表述為：該區域的任何回路都不圍繞，此時：

我們可以仿照靜磁場，引入矢勢描述渦旋電場，同時對于恒定渦旋電場的一些特殊區域，我們仍然可以用標勢描述。

定義矢勢：

并附加規范條件 ：

對兩邊同取旋度得：

定義標勢：

（7）

6 空間中的恒定電場

根據恒定電場的定義，恒定電場表示為：

（8）

其中為電荷激發的靜電場。對于時變磁場激發的恒定渦旋電場，其電場線始終是閉合的，對于可視為保守場的電場區域的任意閉曲面所圍成的空間，有多少電場線穿入，就有多少條電場線穿出，電通量恒為零，因此恒定渦旋電場的散度恒為零，對（7）兩邊同求散度：

（9）

（10）

其中為極化電荷體密度是保守場，在任何回路都不圍繞的區域也是保守場，這兩種場的疊加必是保守場，定義標勢：

（11）

對于電荷激發的靜電標勢，有：

（12）

將式（7），（11），（12）代入（9）得：

（13）

即，恒定電場的標勢等于渦旋電場標勢與靜電場標勢的疊加。

（14）

電場邊值關系[5]為：

為自由電荷面密度；為兩線性均勻電介質界面由介質1指向介質2的單位法向，考慮到并將（10）帶入邊值關系得出：

（15）

（16）

ε1與ε2分別表示兩種介質的介電常數，將式（13）代入式（14），（15），（16）可得：

這是渦旋電場的拉普拉斯方程及邊界條件，于是就可以將解決靜電場的方法應用到渦旋電場中，求出后，再結合就可求出。

7 結語

從上面的討論可以看出，只要已知空間中的極化電荷分布與自由電荷分布，就可以將解決靜電問題的唯一性定理、泊松方程、格林函數等方法應用到恒定電場中，求解恒定電場中有導體或電介質存在時的分布了。

參考文獻

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].3版.高等教育出版社，2012.

[2]謝樹藝.矢量分析與場論[M].4版.高等教育出版社，2012.

[3]同濟大學數學系編.高等數學[M].6版.高等教育出版社，2009.

[4]黃克智，薛明德，陸明萬.張量分析[M].2版.清華大學出版社，2003.

[5]郭碩鴻.電動力學[M].3版.北京西城區高等教育出版社，2008.

[6]俎棟林.電動力學[M].清華大學出版社，2006.