簡析數學分析在中學數學教學中的作用

摘 要：中學時期的數學教學內容都是以課程知識點的掌握作為教學任務核心重點。在整個中學數學課程教學階段，數學分析方法是中學數學課堂掌握知識點的有力武器，它強調通過定義、運算法則、定理及公式應用等進行教學，故此中學數學教學通過數學分析可以有效提高教學效率，并且可以促使學生提高邏輯推理、數形結合、語言表達等方面的數學分析能力，在課堂教學及學生掌握解題思路等方面具備重要現實意義。

關鍵詞：中學 數學 數學分析 教學 微積分 三角函數

中圖分類號：G412 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）04（b）-0164-02

當前，數學分析不僅屬于中學數學課堂教學實踐階段中較為常見的輔助教學方式，同時數學分析也是未來許多學生在學習高級微積分等工科專業的必修課程之一。因此，在中學數學專業課程學習實踐階段，應用數學分析方法，提高學生邏輯推理等抽象思維能力，就必須對數學分析方法有一個初步了解，從而為三角函數和導數概念的學習打下基礎，逐步的提高學生對數學分析的應用。數學分析是以初等數學為基礎，在長期的解決初等數學問題的實踐中而逐漸發展形成起來的。特別是在解決某些初等數學問題時，數學分析提供了新的方法和手段。通過數學分析，我們可以在一個更高點上去觀察初等問題，從而確定解題思路，同時還可以幫助我們了解一些問題的本質。與此同時，還可以借助高等數學的思想去擬造一些初等問題。因此，在中學數學教學中，數學分析占有重要的地位。

1 在中學數學教學中，數學分析的重要指導作用

1.1 培養能力，增強素質

可以說，對于學習中學數學課堂的絕多數學生而言，其數學分析能力高低，也間接決定著其邏輯推理、幾何分析、語言表達等抽象思維能力的高低。換言之，數學分析的一個重要作用就是沉淀和積累所學的數學知識，即數學分析能力的培養和知識積累水平的高低是息息相關的。同樣，學生數學思維能力強弱與否都是建立在必要的基礎知識之上。如果學生不能夠在中學時打下良好的基礎，不能夠掌握基本的知識點，那么就會使邏輯思維變為“無源之水、無本之木”，從而阻礙數學學習能力的養成；因此，學生數學學習水平提高的關鍵就是數學分析能力的提高。

1.2 觸類旁通，一通百通

現階段，由于新課標改革，已有一些高中的數學知識編寫到了中學數學教材中。因此，中學數學的知識點不再是單純的掌握性質、法則、公式、公理、定義和定理，同時還需要體會到這些定理、公式等都在一定程度上融合了數學分析思想；此外，中學數學教材經過多番修改及刪減后，其課堂數學課堂所學教學內容也更為流暢與易于學習。其中，中學教學課堂上在討論不等式的證明、函數的單調性等知識點時，應該運用數學分析的思維模式，使學生學習了這個知識點之后，還能夠掌握其他的知識點，達到觸類旁通的效果。

1.3 為教學問題提供了一定理論依據

我們知道，在數學課堂教學中通過制作出函數圖形可以有效解決一些典型題型。但除了應用能夠明顯判斷來的函數單調性去確認出某些極值點以外，最普遍的解題方法還是應用描點法來構建函數圖形，但如何保障該圖形是否是真正的函數圖形還有待進一步考證。此外，不少學生甚至會產生這樣幾種疑問，即在坐標系中，選取哪些點可以更可靠的描述出函數圖像？繪制出的函數圖形為什么是一條平滑的曲線？事實上，中學數學教材中并沒有給出這些問題的十分合理的答案。在中學的數學分析中，都只是掌握了基本初等函數，且這些函數在定義域中都是連續可微的，所以這些函數的曲線不僅是連續的而且在每一點都有切線，因此函數的圖像是一條平滑的曲線。另外，還可以通過判斷初等函數的單調性和凹凸性來尋找函數的極值點和拐點，然后再應用極限來求得漸近線，進而可以構建出一些拐點、坐標軸交點等“重要點”，使之描述出可靠的函數草圖用以解決問題。基于此，中學教師課堂上在講述數學分析的基本應用思路時，可以應用基本數學分析方法來求得答案，要做到心中有數的基礎之上，結合學生實際學習差異情況，設置出利于課程學習又能解決教學問題的教學方案，如此一來才能有效解決一些課堂教學問題，并使學生能夠容易接受教學方案。

2 中學數學分析在中學數學中的應用

2.1 關于函數單調性

在數學分析中，還可以通過導數的定義來判斷函數的單調性和凹凸性，從而尋找函數的極值點和拐點，隨后在利用極限的定義求出漸近線，然后確定函數的草圖。因此可以說微分學在數學教學中占有重要的地位。教師在數學教學時，可以選取一些典型的題型，通過提問、數學結合等方式讓學生徹底的掌握這種解題方法。例如，在判斷函數的單調性時，大多數是通過定義來進行計算的，這種方法比較繁瑣復雜。但是如果采用微分學中的嚴格單調充分條件定理，可以得到：對于任意的x∈（a，b），如果fˊ（x）>0或fˊ（x）<0，函數f（x）在集合（a，b）中是嚴格增加或減少的。采用這樣方法，可以更快速的判斷函數的單調性，同時還可以拓展這種方法在同類問題中的應用。

2.2 關于不等式的證明

在中學數學教學的方程解析中，還可以經常見到利用不等式進行數學分析，例如三角方程和不定方程等。事實上，極值條件、幾何分析、三角函數和不等式之間是有著密切的聯系的。同時，對于不等式證明而言，其證明解題方法也十分多見，并沒有系統的或是固定的解題模式。中學階段的不等式數學分析法都是一些初等不等式證明應用，常用的教學方法都基本以數學歸納法或是恒等變形為主。其中，應用恒等變形有著一套較為巧妙的解題證明技巧，即通過非負的項或是用其拼湊成能夠應用的不等式來進行證明。另外，函數單調性也可以結合中值定理，或是掌握一些定積分性質也可以有效簡化不等式證明過程，便于中學教師向學生更直觀的描述數學分析的解題思路。

2.3 關于定積分應用

中學數學教學中，雖然關于一些常見規則平面或立體圖形面積、表面積、體積等提供必要相關公式，但是仍然有些圖形不能通過一些公式直觀的推到出來。同時，關于體積計算問題研究時我們基本也是通過中學數學教材中的祖暅定理推出椎、柱、臺、球等基本圖形的體積公式。但事實數學分析中，我們還可以對面積、體積通過積分或者重積分的形式將其計算推導出來。也就是說，祖暅定理關于柱、錐、球等體積公式的推導通過定積分概念便能將其快速給出證明。這樣一來，中學數學教師可以視數學分析法作為一種教學工具，特別是在遇到三角函數、體積、面積等計算、推導等問題時，都可以較為簡化、簡潔的解析問題，并為中學數學課堂教學解題、講解操作時指明了方向。

2.4 級數理論應用

級數理論也屬于數學教學中數學分析的主要內容。它的應用一般對函數級數展開式予以近似計算。比如，三角函數與常用對數表等基本上都會應用級數理論來計算出其近似值。因此，中學老師利用數學分析法應能充分掌握這些知識點，并能實踐應用于相關題型的解析、推導等過程中，并能通過級數理論的講解來教授學生查表，包括講解一些常熟的超越性等，以逐步激發學生該時期的濃厚鉆研興趣。

3 結語

在中學課堂教學中，應用數學分析的教學方法有很多種，其中以導數概念、三角函數、不等式證明、級數理論應用等比較常見。教師在中學數學教學時，不僅需要向學生講解數學分析這種方法，還應該選取一些典型的例題，讓學生通過這些例題做到心中有數，保證解題時的嚴謹性。另外，教師還需要根據不同學生的學習情況，設計能夠涵蓋所有課堂知識點的教學方案，使學生能夠更好的消化和吸收所學的知識，逐漸掌握數學分析方法，提高其創新能力和分析能力。

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