基于隨機微分方程的防洪調度風險分析?

摘 要：汛限水位動態控制能在不降低水庫防洪標準的條件下提高水庫興利效益和水資源利用率，本文以萬家寨水庫為研究背景，建立了汛限水位動態控制下的防洪調度風險分析模型。水庫后汛期洪水樣本較少，基于典型洪水過程，通過隨機微分方程引入水文不確定因素，采用基于隨機微分方程的調洪演算分析防洪調度風險。實例結果表明：水文因素的隨機性是萬家寨水庫后汛期防洪風險的主要影響因素，得出了各汛限水位方案下的調洪最高水位。后汛期汛限水位動態控制，可不降低大壩的防洪安全標準顯著增加水庫的興利效益。

關鍵詞：防洪調度 風險分析 隨機微分方程 汛限水位

中圖分類號：TV697 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）04（a）-0000-00

作者簡介：黃玫（1987- ），女，碩士，主要從事水資源規劃、防洪調度分析計算工作。

1 風險分析模型

對于具體防洪對象的防洪風險極限狀態，應規定明確的極限標志和限值[1]。影響水庫防洪風險率的主要隨機因子是調洪最高水位Z和最高蓄水位 。而最高調洪水位Z及相應的防洪風險率是與水庫的整個調洪過程聯系起來的[2]。在水庫調洪過程中，存在著許多人們難以預料和控制的不確定性因素。這些因素有：①水文不確定性，主要是指入庫洪水過程的不確定性；②水力不確定性，包括出庫泄流能力的不確定和庫容與水位關系的不確定性等方面因素。

在調洪過程中水庫蓄水量V（t）由于受多種隨機因素的影響，導致V（t）是一個平穩獨立增量過程，并且是符合Wiener過程定義的隨機過程[3]。根據Wiener過程的定義，任意兩個不同的時間間隔內，V（t）的增量△V（t）是獨立的，也即V（t）遵循馬爾科夫過程；并且△V（t）服從均值為 ，方差為 的正態分布，其中 稱為t時刻的方差率。由此可以得到水庫調洪演算的隨機微分方程[3]：

（3）

式中： 和 分別為dt時段內的平均入庫和出庫流量； 為水庫起調時刻；B（t）是一均值為零的Wiener過程，代表調洪過程的隨機因素。式（3）屬于典型的Ito型隨機微分方程，除了采用姜樹海等介紹的Fokker-Planck方程解外，還可采用Euler法和Milstein法進行數值求解，Euler法的迭代公式為[4]：

（4）

式中： ， ，分別為代表時間節點和軌道，M是時間節點的個數，K是軌道數。由水位庫容關系曲線可進一步得出第k條軌跡上，不同時間節點的庫水位值H（1，k），H（2，k），…，H（M，k），進而可統計出庫水位超過防洪極限標志的風險。

2 實例

以黃河中上游的萬家寨水庫為例，萬家寨入庫洪水分為兩部分，干流洪水受水庫及河道調蓄的影響，汛期洪水過程比較平穩，基本上無不確定性。頭道拐至壩址的河萬區間為丘陵地區，受地形的影響經常發生局地暴雨（歷時以24小時為主），歷史上壩址斷面發生的最大洪水即產自該區間。河萬區間僅紅河放牛溝有實測資料，控制面積占區間面積的61.7%，河萬區間洪水是將支流紅河放牛溝站的洪水按面積比放大到區間。因此，萬家寨水庫入庫洪水過程隨機模擬主要是針對河萬區間洪水過程的模擬。

2.1 水文不確定性

區間洪水的不確定性是萬家寨水庫防洪的一個重要風險因子。采用河萬區間紅河放牛溝站實測洪水資料，經選樣放大后生成河萬區間洪水過程，再考慮與河口鎮站干流洪水疊加，形成萬家寨水庫汛期入庫洪水過程。入庫洪水計算式為

（6）

式中， —第 時刻入庫流量； —第 時刻黃河干流入庫流量； —第 時刻河萬區間入庫流量。基于河口鎮站干流汛期洪水過程比較平穩的特性，假定 ， 取一組2000 m3/s、3000 m3/s離散值。

2.2 水力不確定性

萬家寨水庫水力不確定性重點考慮庫容與水位關系及泄流能力兩方面。調洪演算時主要采用15年淤積（A1）、11年淤積（A2）、設計淤積平衡（A3）、現狀2008年（A4）的庫容曲線。對于泄流能力的隨機模擬[2]，本次采用三角形分布并假定在任何水位下相應的泄流量計算的最大相對誤差不超過±5%。

2.3 后汛期風險分析

9月1日～10月15日為流域后汛期。統計黃河干流和河萬區間放牛溝站洪水資料，10月份干流和河萬區間洪水較少，為抬高水庫汛限水位創造了有利條件。由于后汛期缺少實測洪水資料，無法如主汛期一般取出足夠數量的原始樣本，通過隨機模擬生成長系列的洪水過程。此情況下，基于隨機微分方程的水庫調洪演算，便可實現在設計洪水過程下固定洪水頻率的防洪風險分析。首先在后汛期河萬區間實測洪水資料中，選取若干場典型洪水過程（1966年、1969年、1970年、1971年），對其進行同頻率放大（放大為萬年一遇洪水）處理，然后加上干流洪水，作為入庫洪水調洪計算。

據式（3），水庫蓄水量過程的離散程度取決于方差率 ，僅考慮入庫洪水的不確定性時，其大小僅入庫洪水過程的方差 有關，關系式如下：

（7）

萬家寨水庫后汛期，基于典型洪水過程，通過隨機微分方程引入水文不確定因素（采用汛期區間洪水的方差 ）；水力不確定性、入庫洪水疊加方式及調度規則均按主汛期調洪計算方式考慮。后汛期（10月份）汛限水位動態控制擬在目前汛限水位966m的基礎上，初擬汛限水位為974m（考慮干流洪水預報來水為6000m3/s）、977m（考慮干流洪水預報來水為3000m3/s）。經隨機微分方程（Euler法求解）調洪計算得到成果見表1。

表1 基于典型洪水的調洪最高水位

起調水位/（m）庫容曲線調洪最高水位/（m）

1966年1969年1970年1971年

977A1978.64978.75978.87978.17

A2978.42978.71978.81977.97

A3978.16978.35978.48977.61

A4977.73978.12978.19977.51

974A1978.10978.45978.53978.34

A2978.03978.36978.42977.94

A3978.01977.81978.15977.63

A4977.34977.78978.00977.27

從表1中可知，1970年典型洪水對萬家寨水庫防洪最不利，為充分考慮水文、水力不確定性對防洪的影響，在汛限水位977m、15年淤積（防洪最不利）的庫容曲線、泄流能力為設計泄流能力的0.95倍下，特模擬100次1970年典型洪水的調洪演算，調洪最高水位見圖1。

圖1 1970年典型洪水的調洪最高水位

從表1及圖1可得出以下結論。

①無論是汛限水位是977m還是974m，4場典型洪水的萬年一遇洪水，其最高調洪水位為978.87m，未超過979.1m。1970年典型洪水為防洪最不利洪水。

②基于1970年典型洪水的汛限水位977m（考慮干流洪水預報來水為3000m3/s）方案，模擬100次的調洪最高水位在977.88m～978.96m波動，但未超過979.1m。調洪最高水位的波動性說明水文不確定性對萬家寨水庫后汛期防洪影響較為明顯。

總之，按擬定的汛限水位動態控制的調度原則進行調洪演算，后汛期（10月份）適當抬高汛限水位（974m或977m）的方案，在不增加防洪風險的前提下，顯著提高萬家寨水庫興利效益和水資源利用率。

3 結語

本文建立了汛限水位動態控制的防洪調度風險分析模型，以黃河中上游的萬家寨水庫為研究實例，水庫后汛期洪水樣本較少，基于典型洪水過程，通過隨機微分方程引入水文不確定因素，調洪結果表明：水文不確定性對萬家寨水庫后汛期防洪影響較為明顯，在干流洪水預報可用的前提下，后汛期汛限水位取974m或977m能顯著增加萬家寨水庫后汛期的興利效益。

參考文獻

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