高中試題中彈簧彈力做功問題的探討

【摘 要】本文通過例析，揭示了高中試題中彈簧彈力做功問題解題的兩種主要思路：一是通過其他途徑求解：如利用F-x圖像求解，利用功能原理轉(zhuǎn)化;二是讓彈簧形變量相同，即選取特殊位置，使兩次（或多次）彈簧彈力做功相同來解答問題。

【關(guān)鍵詞】高中試題 彈簧彈力 做功

“人教版必修2”《探究彈性勢能的表達(dá)式》一節(jié)，沒有給出彈性勢能（取彈簧原長為零勢能處）的表達(dá)式。故在高中試題中，命題人在設(shè)計彈簧彈力做功類試題時，既要回避的使用，又要考查學(xué)生過程分析能力。彈簧的彈力是變力，彈力的大小隨彈簧的形變量發(fā)生變化，求彈力做功時，不能直接用功的定義式，因此高中試題中在命制彈簧彈力做功問題主要有如下兩種思路：

一、通過其他途徑轉(zhuǎn)化求解彈簧彈力做功

一方面，彈簧的彈力與形變量成正比例變化，而F-x圖像與x軸所圍的面積為變力F做功，故可以利用F-x圖像求彈簧彈力做的功;另一方面，如果彈簧被作為系統(tǒng)內(nèi)物體時，彈簧的彈力對系統(tǒng)內(nèi)物體做不做功都不影響系統(tǒng)的機(jī)械能，故可利用能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度求解，現(xiàn)舉例如下：

[例1] 如圖1甲所示，一根輕質(zhì)彈簧左端固定在豎直墻面上，右端放一個可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊，當(dāng)彈簧處于原長時，小物塊靜止于O點(diǎn).現(xiàn)對小物塊施加一個外力F，使它緩慢移動，將彈簧壓縮至A點(diǎn)，壓縮量為x=0.1m，在這一過程中，所用外力F與壓縮量的關(guān)系如圖乙所示.然后撤去F釋放小物塊，讓小物塊沿桌面運(yùn)動，計算時，可用滑動摩擦力近似等于最大靜摩擦力.求：

圖1

在壓縮彈簧的過程中，彈簧存貯的最大彈性勢能.

[解析]從能量角度看，彈簧是個貯能元件，彈簧存貯的彈性勢能對應(yīng)彈簧所做負(fù)功的值。F-x圖像中x=0時對應(yīng)F為最大靜摩擦力（等于滑動摩擦力），而F-x圖像與x軸所圍面積為變力F做的功.

取向右為正方向，從F-x圖中可以看出，小物塊與桌面間的滑動摩擦力大小為Ff=1.0N，方向?yàn)樨?fù)方向，在壓縮過程中，摩擦力做功為Wf =-Ff x=-0.1J

由圖線與x軸所圍面積可得外力F做功為

所以彈簧存貯的最大彈性勢能為Epm=WF+Wf=2.3J

[例2]（2013年北京高考）蹦床比賽分成預(yù)備運(yùn)動和比賽動作兩個階段。最初，運(yùn)動員靜止站在蹦床上;在預(yù)備運(yùn)動階段，他經(jīng)過若干次蹦跳，逐漸增加上升高度，最終達(dá)到完成比賽動作所需的高度;此后，進(jìn)入比賽動作階段。把蹦床簡化為一個豎直放置的輕彈簧，彈力大小為F=kx（x為床面下沉的距離，k為常量）。質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動員靜止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m;在預(yù)備運(yùn)動中，假定運(yùn)動員所做的總功W全部用于增加其機(jī)械能，在比賽動作中，把該運(yùn)動員視作質(zhì)點(diǎn)，其每次離開床面做豎直上拋運(yùn)動的騰空時間均為△t=2.0s，設(shè)運(yùn)動員每次落下使床面壓縮的最大深度均為x1。取重力加速度g=10m/s2，忽略空氣阻力的影響。

圖2

（1）求常量k，并在圖2中畫出彈力F隨x變化的示意圖;（2）求在比賽動作中，運(yùn)動員離開床面后上升的最大高度hm;（3）借助F-x圖像可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，求x1和W的值.

[解析]（1）床面下沉x0=0.10m時，運(yùn)動員受力平衡mg=kx0得k==5.0×103N/m，F(xiàn)-x圖像如圖3所示.（2）運(yùn)動員從x=0處離開床面，開始騰空，其上升，下落時間相等hm==5.0m.（3）在F-x圖線下方的面積等于彈力的功。從x處到x=0，彈力做功W彈，W彈=·x·kx3=kx2.

圖3

運(yùn)動員從x1處上升到最大高度hm的過程，根據(jù)動能定理，有kx21-mg（x1+hm）=0，得x1=x0+=1.1m對整個預(yù)備運(yùn)動，由 題設(shè)條件以功和能的關(guān)系有：W=-kx20+mg（hm+x0）得W=2525J≈2.5×103J.

以上例子是以F-x圖像求解或以能量轉(zhuǎn)化與守恒定律（包括機(jī)械能守恒定律）求解彈簧彈力做功問題。

二、取彈簧形變量相同（即選取特殊位置），使兩次（或多次）彈簧彈力做功相同來解答問題

[例4] 如圖4所示，在固定的足夠長的光滑斜面上，一小物塊用細(xì)繩通過光滑滑輪與輕質(zhì)彈簧的一端相連，彈簧另一端固定在水平地面上，細(xì)繩與斜面平行，小物塊在A點(diǎn)時彈簧無形變，細(xì)繩剛好伸直但無拉力。把質(zhì)量為m的該小物塊從A點(diǎn)由靜止釋放，它下滑距離時經(jīng)過B點(diǎn)速度最大，繼續(xù)下滑距離到達(dá)C點(diǎn)時速度恰好為零，彈簧處于彈性限度內(nèi)。斜面的傾角為θ，重力加速度為g.求：

（1）小物塊剛被釋放時的加速度aA的大小和方向;（2）小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時彈簧彈力F的大小，以及到達(dá)C點(diǎn)時彈簧的彈性勢能Ep;（3）若小物塊的質(zhì)量為2m，仍從A點(diǎn)由靜止釋放，求該物塊運(yùn)動的最大速度vm的大小（彈簧仍處于彈性限度內(nèi)）。

圖4

[解析]（1）由牛頓第二定律得mgsinθ=maA，aA=gsinθ方向沿斜面向下。

（2）設(shè)物體剛經(jīng)過B點(diǎn)時繩的拉力為FT，則FT=mgsinθ即F=FT=mgsinθ

從A至C點(diǎn)對系統(tǒng)由機(jī)械能守恒可得Ep=mgLsinθ.（3）質(zhì)量為m的小物體運(yùn)動到B點(diǎn)時，彈簧伸長量x1=，對小物塊，由平衡條件可得kx1=mgsinθ.

質(zhì)量為2m的小物塊速度最大時，設(shè)彈簧伸長量為x2，由平衡條件可得kx2=2mgsinθ，即x2=2x1=L，故質(zhì)量2m的物體，在C點(diǎn)速度最大，從A至C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒得2mgLsinθ=Ep+2mv2m，解得vm=.

[例5]（2012年江蘇高考）某緩沖裝置的理想模型如圖5所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f. 輕桿向右移動不超過l 時，裝置可安全工作. 一質(zhì)量為m 的小車若以速度v0 撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動.輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦.

圖5