論培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析和解決問題能力的方法

數(shù)學(xué)分析和解決問題的能力是指通常閱讀、理解，綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識，方法來解決問題。它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。這就要求。教師在平時學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題能力。

一、分析和解決問題能力的組成

《標(biāo)準(zhǔn)》中第一學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)是：“能在教師引導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題。了解同一問題可以有不同的解決辦法。有與同伴合作解決問題的體驗。初步學(xué)會表達解決問題的大致過程和結(jié)果。”在教學(xué)中，我充分利用教材提供的資源，以例題中提供的學(xué)校生動活潑的內(nèi)容為素材，展示實際活動學(xué)校開運動會中的計算問題，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的基本含義的理解。

1.審題能力

審題是對條件和問題進行全面認(rèn)識、分析研究。主要是指學(xué)生充分理解題意，分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力，要快捷、準(zhǔn)確在解決問題。

例題：已知函數(shù)y= cos2x+sinx· cosx+1（x∈R），

（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;

（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx（x∈R）的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：（1）y= cos2x+ sinx·cosx+1=（2cos2x-1）+ +（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin +sin2x· cos）+

= sin（2x+）+

所以y取最大值時，只需2x+ = +2kπ，（k∈Z），即 x= +kπ，（k∈Z）。

所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x= +kπ，k∈Z}

（2）將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：

（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin（x+）的圖像;

（ii）把得到的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（2x+）的圖像;

（iii）把得到的圖像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y= sin（2x+）的圖像;

（iv）把得到的圖像向上平移 個單位長度，得到函數(shù)y= sin（2x+）+ 的圖像。

綜上得到y(tǒng)= cos2x+ sinxcosx+1的圖像。

說明：本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時，y=1;當(dāng)cosx≠0時，y= +1= +1

化簡得：2（y-1）tan2x- tanx+2y- 3=0

∵tanx∈R，∴△=3-8（y-1）（2y- 3）≥0，解之得：≤y≤

∴ymax=，此時對應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+，k∈Z}

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力，由此可見，審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。

2.合理應(yīng)用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數(shù)學(xué)知識包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容;數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價轉(zhuǎn)化等;數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法，只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、思想、方法，才能使問題解決得更迅速、順暢，教學(xué)時，我注意調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，采用獨立嘗試、討論等方式，讓學(xué)生主動探索解決問題的方法。在教學(xué)過程中，讓學(xué)生已掌握的知識技能對解決新問題產(chǎn)生積極的影響，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。如，出示例題后我并沒有過多的講解，而是讓學(xué)生自主探究解決的方法，通過在組內(nèi)和班內(nèi)交流，使學(xué)生能將所想與所做統(tǒng)一起來，達到心、手、口的統(tǒng)一。

例題：已知函數(shù)。

（1）求 的最小正周期、的最大值及此時x的集合;

（2）證明：函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱。

（3）證明：欲證明函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱，只要證明對任意，有 成立，因為 所以成立，從而函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱。

在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、思想、方法的解法分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的運算、推理能力。

二、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略

重視熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應(yīng)用特點，常規(guī)使用方法等;熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等;并能應(yīng)用這些方法進行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明;掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實際問題。

熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點，并會用五點畫出函數(shù) 的圖象;理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化。

每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對公比 的分類和直線方程中對斜率 的分類等;（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。又如數(shù)學(xué)方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識一種“思想”或“方法”的個性，即認(rèn)識一種數(shù)學(xué)思想或方法對于解決什么樣的問題有效。從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問題的能力。

加強應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識別能力。高考是注重學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題和解決問題的能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時要對應(yīng)用題進行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實際問題。