關于電梯共振問題中動力學原理理論分析

【摘 要】電梯質量好壞的重要指標是根據電梯的外觀、電梯運行時的舒適感以及故障率的高低等決定。當電梯振動達到一定的幅值時，振動頻率在人的敏感頻帶，此時，乘客就會有明顯的不適感，所以電梯振動是評價電梯整機性能質量的重要指標。這對電梯振動現象，我們建立了模型1：轎廂和曳引繩系統模型，對該系統通過解析方法和數值模擬兩種方法研究分析，得出，不論是空載或是滿載，系統的固有頻率ω0是隨著曳引繩的長度L變化而變化的，且從數學角度發現，固有頻率ω0與繩長L之間是一種非線性函數關系。在第一個模型基礎上，我們建立了一個更接近實際情況的三自由度的電梯系統模型2，通過鄧克萊法，求解得出系統基頻ω1與轎廂繩長L2、對重繩長L3，及轎廂質量m2之間的函數關系，并通過單變量分析，得出三者對系統振動的具體影響。

【關鍵詞】電梯共振；固有頻率；數學模型；鄧克萊法

通常，評價電梯質量好壞的重要指標是根據電梯的外觀、電梯運行時的舒適感以及故障率的高低等決定。其中，用戶用來衡量電梯廠家產品檔次的一個重要指標便是電梯運行時給人的舒適感。在正常情況下，用戶乘坐電梯的時間并不長，在相對短暫的時間里電梯的振動幅值也比較小，用戶也不會有明顯的感官感受。但是，當電梯振動達到一定的幅值時，振動頻率在人的敏感頻帶，此時，乘客就會有明顯的不適感。所以說，評價電梯整機性能質量的綜合指標是電梯的振動。假如說評價電梯質量的必要條件是電梯安全設施的可靠性，那么評價電梯質量的充分條件便是電梯的振動。

理論分析與建模。

電梯在運行過程中，其自身結構系統會形成一個彈性系統，具有自身的固有振動頻率。而曳引機為振源，在電梯運行時，會產生激振頻率，當兩者的頻率相等或接近時，系統便會發生共振現象。電梯振動系統分為曳引機和承重梁系統以及轎廂和曳引繩（和承重梁）系統，其中任何一方的同有頻率與曳引機的激振頻率一致時，都會使電梯系統發生共振現象。

1.模型的假設

我們只討論轎廂和曳引繩（和承重梁）系統造成的電梯振動，所以建立數學模型之前，我們需要做一些合理的假設（對具體不同的模型根據需要會補充假設）：

①假設所討論電梯系統中機械和電器方面都處于理想狀態，即這兩方面不會引起電梯的振動。

②假設電梯處于勻速上升或下降狀態中，不考慮啟動加速和停止減速狀態。

③假設電梯系統中一些電器和次要機械部件的質量忽略不計或等效在模型的其他結構質量上。

④假設采用某種電梯進行分析，由于電梯型號不同，分析結果可能會有不同程度的偏差。電梯運行系統實物模型如下圖1所示：

2.不計承重梁的模型建立

轎廂由柔軟的鋼絲繩牽掛，組成一個做上下往復運動的彈性系統。補充假設：承重梁在電梯運行過程中不發生形變彎曲，不發生振動現象。曳引繩系統可認為是彈簧，轎廂對系統可認為是慣性元件的振動體，如下圖2所示：

由數值模擬可以看出，系統的固有頻率ω0是隨著曳引繩的長度L變化而變化的，不論是空載或是滿載。我們已經得出，曳引機的激振頻率ω=24.41Hz，當系統固有頻率ω0在隨繩長L變化接近或等于24.41Hz時，系統產生振動。

當轎廂空載時M=1150kg，轎廂距離樓頂（假設曳引機架設在樓頂）50-60米時，電梯系統產生共振，振動明顯。

當轎廂滿載時M=2150kg，轎廂距離樓頂25-35米時，電梯系統產生共振，振動明顯。

假設轎廂及載重質量之和在1150-2150kg之間連續變化，則理論上在轎廂距離樓頂25-60米某處時，電梯系統都可能產生共振，振動感明顯。

3.計承重梁（即轎廂、承重梁和曳引繩系統）

在模型1中，我們所建立的系統沒有將承重梁考慮進去，但我們知道，承重梁在重力的作用下，承重梁產生靜變形。承重梁相當于預應力作用下的靜止彈簧，其靜撓度相當于彈簧的靜伸長。建立電梯振動模型如圖4所示：

下面我們分析該模型振動的數學原理：

圖4中，m1為承重梁質量和固定其上的曳引機質量之和（等效看作承重梁的質量），m2為轎廂和其上載重的質量（等效看作轎廂的質量），m3為對重的質量。結合承重梁的約束條件和受力情況，n根承重梁等效抗彎剛度設為k1：

上述方程（8）過于復雜，我們可以對其進行合理簡化，由于我們只需要得出系統固有頻率ω與繩長L之間的函數關系，在此不需要極為精確的結果，而且經過計算，我們可以看出，m1、m2、m3很相近，所以在此，令m1=m2=m=m，則上式可以簡化為：

由（11）得出了當電梯在運行（勻速）過程中，系統基頻ω1與轎廂繩長L和對重繩長L之間的函數關系。

當系統固有頻率ω1 （L1，L2）函數值在隨轎廂繩長和對重繩長（L1，L2 ）變化過程中，落入外界激振頻率ω=ω*，ω*∈[c1，c2]范圍時，即可能與某一激振頻率值ω*接近或相等，這時電梯系統將發生共振現在，電梯振動感明顯。由于系統固有頻率ω1（L1，L2）隨轎廂繩長和對重繩長（L1，L2）變化，所以可以明顯感到電梯振動（系統產生共振現象），是間斷性的，并不是整過電梯運行過程都有。

系統固有頻率ω1（L1，L2）與系統中所涉及的質量（m1承重梁質量和固定其上的曳引機質量之和，m2轎廂和其上載重的質量（等效看作轎廂的質量），m3對重的質量）有關。而且一般m1和m3是固定不變的，所以系統固有頻率ω1（L1，L2）與系統中轎廂（及其載重）質量m2有關。即同一個電梯，在轎廂（及其載重）質量不變的情況下，電梯振動劇烈的樓層（位置）是固定的，轎廂（及其載重）質量變化時，振動的樓層（位置）會發生相應的改變。（例如：某一電梯從一樓上升，載重5個人300kg時，在4樓和8樓電梯發生共振；而載重8個人500kg時，電梯發生共振的位置不在是4樓和8樓，可能是其他樓層。

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