奶產品定價問題

【摘 要】本文在價格和需求量相互影響、互為替代品的商品之間價格和需求量相互影響的實際背景下，根據題目所給的原料總量和政策的限制條件，建立了相關的線性規劃模型行研究奶產品的定價問題。為了簡化問題，我們首先假設生產量=需求量=銷售量，還有水無限制提供使用。經模型假設后的奶制品定價問題一可以通過建立規劃模型求解，我們將價格設置為變量，根據每種商品價格與銷量的關系、不同種商品之間的價格與銷量的關系以及每年的原料總量為約束條件建立數學模型，問題二即可在問題一的基礎上加上政策限制條件，然后通過lingo軟件求解。

【關鍵詞】線性規劃模型lingo政策限制條件

1.問題重述

某國政府要為其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定價。所有這些產品都直接或間接地來自國家的原奶生產。原奶首先要分離成脂肪和奶粉兩種組合，去掉生產出口產品和農場消費的產品的部分后，余下的共有60萬噸脂肪和70萬噸奶粉，可用于生產牛奶、奶油和兩種奶酪，供國內全年消費。

價格的變化會影響消費需求。為表現這方面的規律，定義需求的價格伸縮性E：E=需求降低百分數/價格提高百分數各種產品的E值，可以根據往年的價格和需求變化情況的統計數據，用數理統計方法求出。另外，兩種奶酪的需求，隨它們價格的相對變化，在某種程度上可以相互替代。

2.問題分析

2.1對價格的交叉伸縮性EAB的理解

價格的交叉伸縮性指某種商品的供需量對其他相關替代商品價格變動的反應靈敏程度。其伸縮性系數定義為供需量變動的百分比除以另外商品價格變動的百分比。交叉伸縮性系數可以大于0、等于0或小于0，它表明兩種商品之間分別呈替代、不相關或互補關系。可替代程度愈高，交叉價格伸縮性愈大。根據定義，交叉價格伸縮性可分為需求交叉價格伸縮性和供給交叉價格伸縮性。它表明兩種商品之間分別呈替代、不相關或互補關系。由題意可知，奶酪1到奶酪2的E12值=0.1，奶酪2到奶酪1的交叉伸縮性E21值=0.4。即奶酪1和奶酪2之間呈替代關系。且由E12=0.12的能力。

2.2對政策的理解

政策不允許某種價格指標上升，這使得新的價格必須使消費的總費用較上一年度不增加，這句話共有兩種理解方式。第一是指政策限制其中一種奶制品的價格，使得該奶制品的消費的總費用較上一年度不增加。即四種奶制品的價格某項構成要素被限制，產品價格在總收入最大化下存在一定程度地下降，新的價格使消費總費用較上一年度不增加。而其他奶制品的價格可以任意變化，從而使得四種奶制品的銷售總費用最大。第二是指限制四種奶制品的價格指標較上一年度均不增加。

2.3對問題一的分析

問題一是求解使得消費總額最大的四種奶制品的價格，由題意易知，我們應該將價格設置為變量，以每種商品價格與銷量的關系、不同種商品之間的價格與銷量的關系以及每年的原料總量為約束條件，建立規劃模型求解四種奶制品的價格。

2.4對問題二的分析

問題二是求解通過限制哪一種奶制品的價格指標使得經濟代價最小，經濟代價即可理解為問題一所求的最大消費總收入與限制一種奶制品的價格指標后的總收入的差值，我們可以在問題一的基礎上加上政策的限制條件即分別限制每種奶制品的價格指標，從而求出每種方案的經濟代價，并通過比較選出最小的經濟代價。我們也可以通過分析需求的價格伸縮性E對于該產品收益的影響來確定選擇哪種商品來限制其價格指標。

3.模型假設

（1）用于生產奶制品的原料在生產過程中沒有損耗，即原料的總量不變。

（2）假設奶制品的產量=需求量=消費量，即不考慮所有的奶制品消費停滯的現象，不考慮除需求以外的其他因素對消費量的影響；不考慮除價格以外其他因素對需求量的影響。

（3）本模型中的消費總收入僅考慮價格和銷售量這兩個因素，不考慮其在市場營銷時各種手段和方式對價格、銷售量的影響。

（4）題中根據往年的價格和需求變化情況的統計數據求出的產品的價格伸縮性值與價格的交叉伸縮性EAB值基本正確。

4.模型建立

4.1問題一模型的建立與求解

經模型假設后的奶制品定價問題可以通過建立規劃模型求解，我們將價格設置為變量，以每種品價格與銷量的關系、不同種商品之間的價格與銷量的關系以及每年的原料總量為約束條件建立數學模型，然后通過lingo軟件求解。

4.2問題二模型的建立和求解

問題二的模型只需在問題一模型的基礎上再加上對政策的限制條件即可。且由于消費需求與價格之間反向相關關系存在且穩定，即各類產品的價格伸縮性及交叉伸縮性存在且穩定可計量。同時各類奶制品售價與其銷售量的相關關系不變，所以第一問的表達式可不變。政策限制條件如下：

x（i）×y（i）≤xf（i）×jg（i）或者為：∑x（i）×xy（i）≤∑xf（i）×jg（i）

問題二模型的目標函數即其他約束條件均與問題一相同。即在問題一模型的基礎上加上上述政策限制條件并利用lingo求解即可。

5.模型分析

本文將此問題轉化為一個簡單的線性規劃模型。問題一根據價格伸縮性E和價格的交叉伸縮性EAB確定今年每種產品國內消費量Xi和價格Yi之間的關系，之后就是在對原料總量先進行約束的前提下來求解最大的消費總費用。問題二基于問題一的模型，加上使得新的價格必須使消費的總費用較上一年度不增加這一限制條件，求出此時最大的消費總費用，與問題一得到的結果相比較，即為實施該政策的經濟代價。若考慮生產量、需求量、消費量三者之間的關系，顯然問題會因為組合數過多而停滯，因此人為的假設生產量=需求量=消費量，另外影響奶產品定價的因素只有消費需求。這種情況下雖然無法得到實際問題的最優解，但保證了結果的合理性以及優良性，事實本題目中其他因素對定價的解不具有太大的影響，因此認為此模型是可操作的，并且可求得較優的解。

6.模型推廣

本文主要采用線性規劃模型，具有廣泛的實際應用。只要稍加修改，就可以用來求解N個變量，M種限制條件的線性優化問題。本模型還可以推廣到許多行業，如在企業的各項管理活動中，計劃、生產安排、物資運輸、資金分配等問題只要修改限制條件都可以很好的解決問題。本文基于運籌學目標最優的方法針對奶制品生產定價問題建立線性目標規劃模型，將線性規劃方法對應用問題進行了實際解決，為決策有效化提供了優良的參考辦法。同時本文對模型進行的優缺點評價與具有實踐意義的改進。本文所建立的目標規劃模型由于其交互作用，有相當的靈活性與實用性，具有推廣的實際用途。

7.結論

在求解本題的過程中，我們建立了線性規劃模型，并利用lingo軟件對模型進行求解。通過對問題的求解，我們得出了以下結論：第一，在沒有政策限制的條件下，我們確定了當牛奶的價格為334.4686元，銷量為524.267萬噸；奶油的價格為48.36238元，銷量為583.6468萬噸；奶酪1的價格20.11823元，銷量為1223.093萬噸；奶酪2的價格為3.5599元，銷量為1950.675萬噸時，該國奶制品的消費總收入在達到最大，為235127.6萬元。第二，在有政策限制的條件下，最后分析出當限制奶酪2的價格指標不變時，在使總的銷售收入最大的情況下，該政策造成的經濟代價最小為296.4萬元。最大的銷售總收入最大為234831.2萬元。