高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于極值與最值的一個(gè)命題

摘 要：研究了高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于極值與最值的一個(gè)命題，通過舉例說明了在教學(xué)中對(duì)該命題的修改需要非常細(xì)心，并討論了該命題的修改方法。還通過舉例說明了不可將該命題簡單地推廣到多元函數(shù)的情況。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；極值；最值；命題

高等數(shù)學(xué)是高等院校工科類各專業(yè)學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課，它是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的重要工具。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的思維能力、思維方法以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都是非常重要的。函數(shù)的極值與最值是高等數(shù)學(xué)課程中與實(shí)際應(yīng)用問題結(jié)合很密切的一部分內(nèi)容。很多生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題都能通過建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值（或最小值）的問題，而求函數(shù)的最大值（或最小值）一般又需要會(huì)求函數(shù)的極大值（或極小值）。因此，學(xué)好極值與最值的求解方法對(duì)于學(xué)生今后的工作和生活都有重要意義。

目前大部分高校使用的高等數(shù)學(xué)教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》（第六版，以下簡稱為“教材”）。教材第三章第五節(jié)的內(nèi)容是“函數(shù)的極值與最大值最小值”，在該節(jié)中有這樣一段話（見教材上冊(cè)第160頁）：

“f（x）在一個(gè)區(qū)間（有限或無限，開或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0，并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)f（x0）是極大值時(shí)，f（x0）就是f（x）在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f（x0）是極小值時(shí)，f（x0）就是f（x）在該區(qū)間上的最小值。”

我們不妨將上一段的內(nèi)容叫做命題A。如果將命題A當(dāng)作一個(gè)定理來用，對(duì)于解決許多實(shí)際問題是比較方便的。本文將通過舉例來說明：對(duì)命題A進(jìn)行推廣或修改都需要慎重。

一、命題的修改

如果將命題A稍做改變，可形成下面的命題B：“若連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，且f（x0）為極大（小）值，則f（x0）就是f（x）在區(qū)間I上的最大（小）值。”

曾有一個(gè)與高等數(shù)學(xué)教材配套的多媒體課件使用了命題B，但沒有對(duì)該命題進(jìn)行證明。命題B比命題A敘述簡潔，且對(duì)函數(shù)f（x）的基本假設(shè)條件有所減弱[只要求f（x0）連續(xù)]，所以使用起來自然會(huì)更加方便。但命題B是不是成立呢？為了判斷命題B是否正確，請(qǐng)大家研究下面的例子：

例1.將區(qū)間I取為[-1，4]，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，令f（x）=x2；當(dāng)1

注意在區(qū)間[1，2]上并沒有函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以x=0是f（x）在區(qū)間I中唯一的極值點(diǎn)。但f（0）并不是函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最小值，f（x）的最小值顯然應(yīng)該是f（4）=-1。

從上述例子可見：雖然將命題A修改為命題B是一個(gè)好的想法，但實(shí)際上命題B是有問題的。所以我們修改一個(gè)定理或命題一定要非常細(xì)心。

接下來自然會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問題：如何將命題B修改為正確的命題？答案顯然不是唯一的。比如說，我們可以將命題B修改成如下的命題C：

“若連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于零或不可導(dǎo)的點(diǎn)x0，且f（x0）為極大（小）值，則f（x0）就是f（x）在區(qū)間I上的最大（小）值。”

用反證法不難證明命題C成立。其實(shí)我們也可以通過修改極大值和極小值的定義來使命題B變成正確的命題，具體做法是采用非嚴(yán)格不等號(hào)來給出極值的定義，即：“設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于U（x0）內(nèi)的任一x，有f（x）≤f（x0）[或f（x）≥f（x0）]，那么就稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（或極小值）。”

在上述極值定義之下，用反證法容易證明命題B是成立的。大家也可以考慮對(duì)命題A是否還有更好的修改方法。

二、命題的推廣

下面我們?cè)購牧硪粋€(gè)角度來考慮問題：能否將命題A推廣到多元函數(shù)的情況呢？以最簡單的二元函數(shù)為例，將命題A自然推廣后可得下面的命題D：

“設(shè)f（x，y）在一個(gè)開區(qū)域或閉區(qū)域（有界或無界）上具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且只有一個(gè)駐點(diǎn)f（x0，y0），并且這個(gè)駐點(diǎn)是函數(shù)f（x，y）的極值點(diǎn)，則當(dāng)f（x0，y0）是極大值時(shí)，f（x0，y0）就是f（x，y）在該區(qū)域上的最大值；當(dāng)f（x0，y0）是極小值時(shí)，f（x0，y0）就是f（x，y）在該區(qū)域上的最小值。”

為了判斷命題D是否正確，我們來考慮下面的例子：

例2.令f（x，y）=（1+y2）（20-x2+3x2），將區(qū)域D取為：

這個(gè)例子表明命題D是不成立的。所以我們不能簡單地將命題A推廣到多元函數(shù)的情況。如何才能將命題A巧妙地推廣到多元函數(shù)的情況，使推廣后的命題具有應(yīng)用價(jià)值，是一個(gè)值得深入思考的問題。

參考文獻(xiàn)：

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61179034）。

作者簡介：劉勝，男，1960年出生，北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院副教授，博士。

編輯 韓 曉