構造法淺談

“構造”是數學家們常用的思想方法，譬如當一個實際問題需要數學家幫助解決時，他將首先通過抽象分析，去構造一個數學模型，并希望通過數學模型的處理，對這項實際問題的解決有所裨益。其實在中學數學中，“構造”同樣是一種重要的思想方法。

所謂構造法，其實質就是運用數學的基本思想，經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型，從而使問題得以解決。

構造法體現了數學發現的思想。因為解決問題同獲得知識一樣，首先得感知它，要通過仔細地觀察、分析，去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件。

構造法體現了類比的思想，為了找出解題的途徑很自然地要聯系已有知識中與之類似的或與之相關的問題，從而為構造模型提供了參照對象。

構造法體現了化歸的思想。把一個個零散的發現由表及里，由淺入深地集中和聯系起來，通過恰當的方法加以處理化歸為已有的認識，就自然形成了構造模型的手段。

構造法在解題過程中的思維模式可用下圖表示：

構造法解題的目的是：簡化運算量，探索最佳解，發揮創造性，加強知識間的縱橫關系，從而激發學生濃厚的學習興趣，提高分析問題和解決問題的能力。

下面，通過一些常見類型的題例，對構造法作進一步的更為細致的分類介紹。

1、構造函數

有些問題可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數，這時就可以構造一個或幾個函數，從而能利用函數的性質使問題得解。構造數列亦為構造函數。其實，所遇到的大量的極值問題，都是構造二次函數、三角函數去求解。

例1，平面上有n條直線，例2，兩兩相交，例3，但無三線共點，例4，求這條m直線能把平面分成幾部分？

分析：顯然結論與有關，因此，考慮設平面被分為部分數的n的函數f（n）。容易想到第n條直線畫出后是在前n-1條直線所分平面的部分數的基礎上，又增加了部分，因而有f（n）=f（n-1）+1又得出f（1）=2，若f（0）=1（即不畫直線時為一部分），有f（1）=f（0）+1，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，……，f（n-1）=f（n-2+（n-1），f（n）=f（n-1）+n，可得f（n）=+1，問題得到解決。

有些問題中雖然也出現函數式，但對解題的作用不夠明顯，因此也可以重新構造函數。

對某些問題，若能充分利用題中潛在的變化關系，構造函數模型，常可避繁就簡，打破常規，出奇制勝。

2、構造法在幾何上的應用

（1）構造圖形

在解立體幾何習題時，在第一步就經常產生困難。為了給出相應的圖形，必須具有很好的空間想象力。如果涉及的是我們日常生活中遇到的幾何體（立方體、球體、圓柱、平行六面體）等，這些對象是容易想象的，描繪它們也是簡單的，但有些圖形要描繪則是相當困難的，例4 兩直線在同一平面內的射影有哪幾種情況？

分析：構造正方體ABCD-A1B1C1D1，利用這一幾何模型來考慮圖形的各種可能性及判斷命題的真假性是很方便的。

解：兩直線在同一平面內的射影可能為兩相交直線、兩平行直線、一直線、一直線與直線外一點、兩點共五種情況。

（2）幾何模型

有些問題，若能挖掘或賦予其幾何背景，巧妙地構造幾何模型，可獲簡捷，直觀的證明。

3、構造復數模型

有些問題在實數范圍內解決很困難，可構造復數模型，利用復數的有關知識，解決問題。

例3、已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求證：

（1）b≠0時，tg3A=；

（2）（1+2cos2A）2=a2+b2

證明：構造Z=cosA+isinA，則zz=1，且

b+ai=z+z3+z5=z3（z2+1+z2）=（cos3A+isin3A）（1+2cos2A）.

當時（1+2cos2A）>0，b+ai的輻角為3A，所以tg3A=；

當（1+2cos2A）<0時，b+ai=[-（1+2cos2A）][cos（ +3A）+isin（ +3A）]，所以b+ai的輻角為（ +3A），tg3A=tg（ +3A）=，|b+ai|=|1+2cos2A|=，所以（1+2cos2A）2=a2+b2

4、構造方程

方程是數學中的一個十分重要的內容，是解決數學問題的重要工具。很多數學問題粗看起來無從下手或用一般的方法去解決很困難，而通過用方程的知識來解決卻顯得十分簡捷，可通過構造方程模型證題。

例4、設AM是中BC邊上的中線，任作一直線分別交AB，AC，AM于P，Q，N.求證：， ，成等差數列.

分析：利用關系S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC，構造方程模型：

由三角形的面積關系及MB=MC.易得：

則是三元齊次方程組

的非零解，故其系數行列式等于零.即

展開整理得：bc（2pqm-cqn-bpn）=0，所以+=，即+=.因此， ， 成等差數列。

5、構造組合模型

當直接運用題設條件難以證題時，不妨把所考慮的問題置于特定的背景下，構造組合模型，往往可得到簡潔、巧妙的證明。

例5、求證：

分析：此題是范得蒙等式的特例，若從組合數公式或數學歸納法入手，思維必然受挫，分析等式左邊的一般項CC，可構造如下的組合模型：有甲、乙兩只袋，甲袋中有100個紅球，乙袋中有200個白球，從甲、乙兩袋中共取出50個球，其取法總數為，而這件事情就相當于將這兩種球放在一只袋中，從300個球里任取50個的取法總數C，所以原等式成立。

例6.從1，2，3，，14按由小到大的順序取出a1a2a3，使同時滿足a2-a1≥3，a3-a2≥3，試證符合上述要求的不同取法有C種。

分析：本題不妨令x=a1-1，y=a2-a1-3，z=a3-a2-3，u=14-a3，則問題等價于求方程x+y+z+u=7的非負整數解的組數。若視7為七個相同的小球，x，y，z，u看作四個不同的不盒，由此構造組合模型，于是上問題即為求七個小球投入4個小盒的投法種數，顯然是C=C。

（作者單位：襄陽職業技術學院公共課部）