豎向荷載下彈性支承直墻拱反彎點(diǎn)理論分析

摘要：在工程實(shí)踐中，直墻拱應(yīng)用較多。由于拱腳位移的存在，合理假設(shè)拱腳約束為轉(zhuǎn)角約束、豎向約束和水平彈性約束，應(yīng)用力法推導(dǎo)出了在彎矩、剪力和軸力共同作用下直墻拱沿弧長(zhǎng)的彎矩公式。研究了豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載作用下，直墻拱沿弧長(zhǎng)的彎矩分布及反彎點(diǎn)形成的規(guī)律；發(fā)現(xiàn)在3種荷載作用下，使得拱腳彎矩為零時(shí)的圓心角依次減小。取彈簧支座剛度為等效的下端固支、上端允許水平位移的直墻的抗推剛度，得出了隨著直墻高度增加，圓弧拱拱頂彎矩增大而拱腳彎矩減小的變化規(guī)律。在直墻拱的設(shè)計(jì)中，建議選取合適的直墻高度和使得圓弧拱拱腳彎矩為零的圓心角大小，從而有利于提高結(jié)構(gòu)抗彎承載力及拱腳抗剪承載力。

關(guān)鍵詞：直墻拱；反彎點(diǎn)；力法；彈性約束；等效剛度

中圖分類號(hào)：TU311.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：16744764（2015）03004206

Abstract：Straightwall arches have been widely applied in civil engineering. Considering displacements at the arch springing， the arch model was assumed as elastically supported horizontally. Distribution of the bending moments was deduced using classical force method. The distribution and the inflection point of the bending moment were studied under uniformly distributed， triangular and concentrated loads， respectively. Central angle corresponding to zero bending moment at the springing was calculated， which decreased when the load changed from uniformly distributed load， triangular load to concentrated load. Horizontal constraint from the side wall was assumed as elastic support and the equivalent spring stiffness was deduced. With the increase of the straightwall height， bending moment at the crown increased while that at the springing decreased. When the moment at the springing was zero， antiflexural capacity at the crown and antishearing ability at the springing were improved. Straightwall height and central angle should be selected to make the moment at the springing zero.

Key words：straightwall arch； inflection point of bending moment； force method； elastic supports； equivalent stiffness

拱結(jié)構(gòu)是常用的結(jié)構(gòu)形式之一，特別是在隧道、地下洞室中，由于其較好的傳力路徑、較高的受彎承載力，得到了廣泛的應(yīng)用。

學(xué)者們對(duì)不同支承形式、不同受力特點(diǎn)圓弧拱的力學(xué)性能開展了一系列深入的研究工作。夏桂云等[1]指出大曲率深拱中，剪切變形不可忽略，進(jìn)而研究了考慮曲率、剪切變形的大曲率圓弧深拱平面彈性穩(wěn)定性；楊永華等[2]給出了固支形式下圓弧拱彎扭屈曲荷載的理論解，指出徑向均布荷載作用下，屈曲荷載隨著圓心角的增大而逐漸減小；PlautR.等[3]研究了拱腳轉(zhuǎn)動(dòng)約束的正弦拱在豎向均布荷載作用下的臨界屈曲荷載，其轉(zhuǎn)動(dòng)約束的扭轉(zhuǎn)剛度隨支座的水平推力可線性變化；Bradford等 [4]研究了水平彈性支承的軸壓拋物線拱在豎向均布荷載作用下的穩(wěn)定問題；楊洋等[56]用水平彈簧等效替代支承于其它構(gòu)件上的拱腳支座約束，研究了鋼拱的平面內(nèi)極限承載力、彈性屈曲等；周健南等[78]針對(duì)不同拱結(jié)構(gòu)形式，給出了動(dòng)荷載動(dòng)力系數(shù)的確定方法，從而推導(dǎo)出了不同荷載作用下拱形結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算公式，并給出了不同荷載作用下震后結(jié)構(gòu)抗動(dòng)載能力評(píng)估方法。

在工程實(shí)踐中，直墻拱應(yīng)用廣泛，陳海龍等[9]的試驗(yàn)研究表明，由于直墻不是完全剛性的，在豎向爆炸荷載作用下，直墻會(huì)產(chǎn)生側(cè)向位移；李平[10]通過荷載結(jié)構(gòu)法和有限元法對(duì)圓拱直墻隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)最大位移集中在拱圈位置。在這一類的直墻拱中，拱腳的支承形式不能簡(jiǎn)單假設(shè)為固支或者簡(jiǎn)支。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計(jì)算時(shí)，拱腳按照固端無鉸拱考慮，同時(shí)考慮拱腳位移的影響[1112]，為此，可以假設(shè)拱腳處為轉(zhuǎn)角約束、豎向約束以及水平彈性約束。目前，針對(duì)這類支承約束假設(shè)的研究較少，本文主要針對(duì)此種約束下，建立水平彈簧剛度的近似計(jì)算方法、理論分析不同受力形式下圓弧拱彎矩反彎點(diǎn)的分布規(guī)律，為直墻圓拱的合理設(shè)計(jì)提供依據(jù)，也為深入分析直墻圓拱的極限承載力與穩(wěn)定性奠定基礎(chǔ)。

1圓弧拱內(nèi)力計(jì)算

在直墻圓弧拱的受力分析中，主要關(guān)心圓弧拱部分的力學(xué)行為，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以只取圓弧拱部分進(jìn)行計(jì)算，將圓弧拱拱腳約束合理假設(shè)為轉(zhuǎn)角約束、豎向約束以及水平彈性約束，如圖1所示。

該結(jié)構(gòu)為一等截面滑移彈簧支座圓弧拱，截面為b×h的矩形，拱的圓心角為2φ0，半徑為R，分別承受豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載作用。

結(jié)構(gòu)為三次超靜定對(duì)稱結(jié)構(gòu)，取其一半并應(yīng)用力法[13]解其未知力，取消拱頂處轉(zhuǎn)角約束、豎向約束和拱腳處水平彈簧約束，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示。在對(duì)稱荷載作用下，拱頂處的反對(duì)稱未知力X3為零。豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載作用下，結(jié)構(gòu)基本體系如圖3所示。

2等效彈簧剛度計(jì)算

彈簧支座剛度為等效直墻的抗推剛度，取下端固支、上端允許水平位移的直墻計(jì)算等效彈簧支座剛度k，如圖4所示。

3.2彈簧剛度的影響

如上所述，彈簧剛度是等效直墻的抗推剛度，在直墻截面、材料參數(shù)不變的情況下，直墻高度l越小，等效剛度越大；當(dāng)直墻高度l趨近于零時(shí)，等效剛度趨近于無窮大，此時(shí)拱腳相當(dāng)于固支。不同直墻高度時(shí)，豎向均布荷載作用下，半圓拱（2φ0=180°）沿弧長(zhǎng)彎矩分布如圖6所示。

從圖6可看出，不同的彈簧剛度（不同的直墻高度）對(duì)沿弧長(zhǎng)彎矩分布有較大影響：當(dāng)直墻較低時(shí)，抗推剛度較大，水平彈性約束較強(qiáng)，拱腳位移較小，趨向于拱腳固支（直墻高度為0）；當(dāng)直墻較高時(shí)，水平彈性約束較弱，半圓拱的拱頂、拱腳彎矩異號(hào)，即沿弧長(zhǎng)彎矩分布形式發(fā)生變化。

計(jì)算表明：直墻高度與圓拱半徑比值L/R≤0.333 5時(shí)，半圓拱拱頂、拱腳彎矩與拱腳固支時(shí)拱頂、拱腳彎矩值相差均在10%以內(nèi)，此時(shí)可以忽略彈簧剛度的影響；直墻高度與圓拱半徑比值L/R≥0.469 4時(shí)，半圓拱拱頂、拱腳彎矩與拱腳固支時(shí)拱頂、拱腳彎矩值相差均超過20%，不可忽略彈簧剛度的影響；隨著直墻高度與圓拱半徑比值的增大，半圓拱拱頂、拱腳彎矩與拱腳固支時(shí)拱頂、拱腳彎矩值相差增大；當(dāng)直墻高度與圓拱半徑比值L/R≥0.901 9時(shí)，半圓拱的拱腳彎矩變?yōu)樨?fù)值，拱頂與拱腳彎矩異號(hào)，彎矩分布形式發(fā)生改變。

3.3不同荷載不同圓心角時(shí)沿x軸彎矩分布

圓弧拱圓心角2φ0分別為40°、80°、120°、160°時(shí)，分別承受豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載的作用，其彎矩沿x軸分布如圖7所示。

3.4拱腳彎矩為零時(shí)的圓心角

對(duì)于地下直墻拱結(jié)構(gòu)，在地震、爆炸等動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)可能因開裂而導(dǎo)致承載力降低，相關(guān)研究表明，拱結(jié)構(gòu)拱腳處由于開裂，承載力將降低50%以上[7]。

因此，科學(xué)合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)避免在拱腳位置出現(xiàn)彎曲拉應(yīng)力而導(dǎo)致拱腳混凝土開裂。拱腳彎矩為零在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要工程應(yīng)用價(jià)值和意義在于該位置不產(chǎn)生彎曲拉應(yīng)力，可抑制拱腳混凝土開裂，確保拱腳截面的抗剪強(qiáng)度。

利用彎曲拉應(yīng)力和軸向壓力以及混凝土抗拉強(qiáng)度，建立拱腳的開裂準(zhǔn)則[14]：

σc=MW0+NA0≤ft（10）

式中：σc為受拉邊緣混凝土的應(yīng)力；W0為受拉邊緣的截面抵抗矩；A0為換算截面積；M為彎矩；N為軸力；ft為混凝土的抗拉強(qiáng)度。

當(dāng)受拉側(cè)彎矩M較小或者為零時(shí)，拉應(yīng)力較小或者為負(fù)值，此時(shí)的σc遠(yuǎn)小于混凝土抗拉強(qiáng)度ft，截面不開裂，拱腳的抗剪承載能力不減弱。

當(dāng)圓心角較小時(shí)，拱頂、拱腳彎矩異號(hào)；當(dāng)圓心角較大時(shí)，拱頂、拱腳彎矩同號(hào)；所以對(duì)某一算例，存在一個(gè)圓心角角度，使拱腳彎矩為零。對(duì)于該算例，對(duì)應(yīng)于豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載，使得拱腳彎矩為零的圓心角分別為2φ0=142°、2φ0=131°、2φ0=117°，其沿弧長(zhǎng)彎矩分布如圖8所示：

拱腳處彎矩明顯減小。另外，計(jì)算所得的使得拱腳彎矩為零的圓心角角度在120°附近或者120°與160°之間，而從圖7可以看出圓心角為120°和160°時(shí)，彎矩沿弧長(zhǎng)范圍內(nèi)變化不大，只在拱腳處有所不同。因此，拱結(jié)構(gòu)跨度及所受荷載確定時(shí)，應(yīng)盡量選取使得拱腳彎矩為零的圓心角角度，有利于提高結(jié)構(gòu)抗彎承載力及拱腳抗剪承載力。

由于拱腳水平位移的存在，使得拱腳彎矩形式發(fā)生了變化，對(duì)圓弧拱的破壞形式有一定影響；選取合適的直墻高度，亦即合適的等效彈簧剛度，可以使得圓弧拱沿弧線最大正負(fù)彎矩大小相當(dāng)，有利于結(jié)構(gòu)承載。該結(jié)論對(duì)于工程建設(shè)中高邊墻拱結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

4結(jié)論

1）假設(shè)拱腳有轉(zhuǎn)角約束、豎向約束和水平彈性約束的情況，理論推導(dǎo)了彎矩、剪力、軸力共同作用下，圓弧拱沿弧長(zhǎng)彎矩公式。

2）圓弧拱圓心角較小時(shí)，沿弧長(zhǎng)范圍內(nèi)只存在一個(gè)反彎點(diǎn)，最大正負(fù)彎矩值相差較大；圓弧拱圓心角較大時(shí)，沿弧長(zhǎng)范圍內(nèi)存在兩個(gè)反彎點(diǎn)，最大正負(fù)彎矩值大小相當(dāng)。

3）對(duì)于豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載，使得拱腳彎矩為零的圓心角依次減小。

4）水平彈簧剛度對(duì)沿弧長(zhǎng)彎矩分布有較大影響，在一定范圍內(nèi)隨著彈簧剛度的減小，拱頂彎矩增大，拱腳彎矩減小。

5）選取合適的直墻高度和使得圓弧拱拱腳彎矩為零的圓心角大小，有利于提高結(jié)構(gòu)抗彎承載力及拱腳抗剪承載力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 夏桂云， 李傳習(xí)， 曾慶元. 大曲率圓弧深拱平面彈性穩(wěn)定分析[J]. 工程力學(xué)， 2008， 25（1）： 145149.

Xia G Y， Li C X， Zeng Q Y. Inplane elastic buckling analysis of circular arch considering influences of curvature and shear deformation [J]. Engineering Mechanics， 2008， 25（1）： 145149. （in Chinese）

[2] 楊永華， 陳以一. 雙軸對(duì)稱固支圓弧拱彎扭屈曲荷載的理論解[J]. 工程力學(xué)， 2008， 25（4）： 14.

Yang Y H， Chen Y Y. Theoretical solution for flexuraltorsional buckling load of fixedend circular arches with blaxiallysymmetric crosssections [J].Engineering Mechanics， 2008， 25（4）： 14. （in Chinese）

[3] Plaut R H. Buckling of shallow arches with supports that stiffen when compressed [J]. Journal of Engineering Mechanics， 1990， 116（4）： 973976.

[4] Bradford M A， Wang T， Pi Y L， et al. Inplane stability of parabolic arches with horizontal spring supports. I： Theory[J]. Journal of Structural Engineering， 2007， 133（8）： 11301137.

[5] 楊洋， 童根樹. 水平彈性支承圓弧鋼拱的彈性屈曲分析[J]. 工程力學(xué)， 2011， 28（3）： 916.

Yang Y， Tong G S. Inplane elastic buckling of steel circular arches with horizontal spring support [J]. Engineering Mechanics， 2011，28（3）： 916. （in Chinese）

[6] 楊洋， 童根樹. 水平彈性支承圓弧鋼拱的平面內(nèi)極限承載力研究[J]. 工程力學(xué)， 2012， 29（3）： 4554.

Yang Y， Tong G S. Study for inplane ultimate strength of steel circular arches with horizontal spring supports [J]. Engineering Mechanics， 2012， 29（3）： 4554. （in Chinese）

[7] 周健南， 金豐年， 范華林， 等. 震后地下拱結(jié)構(gòu)的抗沖擊波動(dòng)載能力評(píng)估[J]. 工程力學(xué)， 2012， 29（2）： 159164.

Zhou J N， Jin F N， Fan H L， et al. Residual dynamic resistance of seismic damaged underground arch [J].Engineering Mechanics， 2012， 29（2）： 159164. （in Chinese）

[8] 周健南， 范華林， 金豐年， 等. 非均布荷載作用下震后地下拱結(jié)構(gòu)抗動(dòng)載能力評(píng)估[J]. 工程力學(xué)， 2012， 29（sup1）：119123.

Zhou J N， Fan H L， Jin F N， et al. Residual dynamic resistance assessment of seismic damaged underground arch under nonuniform explosion loading [J].Engineering Mechanics， 2012，29（sup1）：119123. （in Chinese）

[9] Chen H， Zhou J， Fan H， et al. Dynamic responses of buried arch structure subjected to subsurface localized impulsive loading： Experimental study[J]. International Journal of Impact Engineering， 2014， 65： 89101.

[10] 李平. 圓拱直墻式隧道的內(nèi)力分析[D].西安：西安建筑科技大學(xué)， 2009.

[11] 關(guān)寶樹. 隧道力學(xué)概論[M]. 成都： 西南交通大學(xué)出版社， 1993.

[12]王海彥， 密榮三， 駱憲龍. 地下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的荷載、模型、方法的確定[J]. 石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)， 2007， 6（3）： 510.

Wang H Y， Mi R S， Luo X L. On the essentials of underground structure design[J]. Journal Shijiazhuang Institute of Railway Technology， 2007， 6（3）： 510. （in Chinese）

[13] 龍馭球， 包世華. 結(jié)構(gòu)力學(xué).I.基本教程[M]. 北京： 高等教育出版社， 2006.

[14] 過鎮(zhèn)海. 鋼筋混凝土原理[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 1999.

（編輯胡玲）