數學解題中的聯想和探索

【摘""要】在數學教學過程中，抓住典型例題進行深入講解，可啟發學生對例題的思考，探索更多更深層次的結論和方法。解完一題后應善于聯想，探索能否在保持已知條件不變的情況下得出更深刻的結論。

【關鍵詞】數學教學""聯想""探索

【中圖分類號】G712"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2015）13-0174-02

在數學教學過程中，抓住典型例題進行深入講解，可啟發學生對例題的思考，探索更多更深層次的結論和方法。步步深入，層層推出，既使知識達到一定的高度，又可降低知識的坡度，既加深豐富了所學知識，又可培養學生的思維，能更有效地提高教學效果。

此外，解完一題后應善于聯想，探索能否在保持已知條件不變的情況下得出更深刻的結論。這樣的探索對于培養學生鍥而不舍的精神及創造性思維是大有裨益的。

下面略舉幾例，期望能起到舉一反三、觸類旁通的作用。

例1，計算（ctg3°-1）（1-ctg42°）的值。

解：（ctg3°-1）（1-ctg42°）=（ctg3°-1）[1-ctg（45°-3°）]

=（ctg3°-1）（1-）

=（ctg3°-1）·=-2。

以上解法利用了42°+3°=45°且ctg45°=1的特點，那么我們可以利用這個特點進行探索、聯想。

探索1：（ctg4°-1）（1-ctg41°）=-2（證略）。

探索2：若x+y=45°，則（ctgx-1）（1-ctgy）=-2。

證：左=（ctgx-1）[1-ctg（45°-x）]=（ctgx-1）

[1-]

=ctgx-ctg45°-ctgxctg45°-1=-2=右

探索3：（1-ctg1°）（1-ctg2°）（1-ctg3°）…（1-ctg44°）=（-1）22（-2）22=222（證略）。

上述解法主要利用了x+y=45°及ctg45°=1的特點，同時ctg（180°+45°）=ctg45°=1，因此有下面的探索。

探索4：若x+y=225°，則（ctgx-1）（1-ctgy）=-2（證略）。

進而有下面的探索。

探索5：若x+y=k·180°+45°（k∈z），則（ctgx-1）（1-ctg"y）=-2（證略）。

若將探索5的條件與結論倒過來，是否成立呢？因此有下面的探索。

探索6：若（ctgx-1）（1-ctg"y）=-2，則x+y=k·180°+45°（k∈z）。

證：只證ctg（x+y）=1即可。

事實上，由條件知ctgx-ctgxctgy-1+ctgy=-2，所以ctgx+ctgy=ctgxctgy-1。

從而ctgx+ctgy≠0，否則條件不成立，所以，

即ctg（x+y）=1。

我們將探索5的結論變為[-ctg（-x）-1][1+ctg（-α）]=-2。

由x+y=k·180°+45°，知-x+（-y）=-k·180°-45°。

若令α=-x，β=-y，n=-k，則又可得到下面的探索。

探索7：若α+β=n·180°-45°（n∈z），則有（-ctgα-1）（1+ctgβ）=-2。

同樣想到將探索7的條件與結論倒置，因此有下面的探索。

探索8：若（-ctgα-1）（1+ctgβ）=-2，則α+β=n·180°-45°（n∈z）（證略）。

例2，設x≥0，y≥0，z≥0且x+y+z=1。

求證：。

證明：∵x≥0，y≥0，z≥0

教學實踐證明，教學中抓住典型例題，探索其蘊藏的內在聯系和結構特點，加以改進、發展、延伸，既能強化學生的基礎知識、運算能力和思維能力，又能使學生學得主動、靈活。

〔責任編輯：龐遠燕〕