基于小波多尺度變換的儲氣庫井管柱非線性振動特性研究

閆 行, 閆怡飛, 閆相禎

(1.中國石油大學 儲運與建筑工程學院, 山東 青島 266580；2. 中國石油大學 機電工程學院, 山東 青島 266580)

儲氣庫井管柱作為地下儲氣庫運行的主要工具，面臨地質構造復雜和大流量強注強采的苛刻要求，其服役周期的安全性是儲氣庫井安全運行的關鍵問題[1-4]。在儲氣庫井作業過程中，井下壓力波動、井深結構等產生的持續交變應力誘發注采管柱振動。同時，完井管柱受井身結構限制和油套間環空帶壓影響，管柱發生振動位移時易產生碰撞和變形，甚至造成氣體泄漏、封隔器失效和管柱疲勞破壞等井下事故。因此合理分析儲氣庫井管柱非線性振動特性對儲氣庫井工程安全研究具有十分重要的意義[5-8]。國內外研究學者對管柱振動已經進行了大量研究，Lubinski等[9]研究了在軸壓及內外壓作用下油管發生的螺旋彎曲，并發現內壓變化引起管柱失穩現象。陽明君等[10]對高產氣井帶封隔器油管柱振動進行數值模擬，分析結果表明高速氣流誘發管柱振動并造成底部管柱屈曲損失。竇益華等[11]一方面建立改進的輸流管道的水錘分析模型，并模擬研究了開關井工況下完井管柱振動的應力分布，發現開關井工況下完井管柱易發生劇烈振動。以上研究為本文工作的開展奠定了良好的基礎，但未充分考慮作業過程儲氣庫井井筒結構對管柱的影響，導致注采管柱非線性振動的研究還不夠充分。

隨著小波分析理論和算法的發展，在工程應用分析方面取得了良好的發展成果。其優點是既保留了傳統傅里葉分析的優點，又彌補了其無法進行局部分析的不足，適用于湍流及眾多非線性科學等領域。國內外已有的工程應用成果體現了目前小波分析方法的發展方向，為本文研究工作的開展奠定了良好的基礎和參考價值[12-13]。

為探究儲氣庫井注氣過程管柱非線性振動特性，首先，根據儲氣庫井筒結構特點建立儲氣庫井管柱非線性振動分析方法，通過數值求解得到管柱非線性的數學方程；其次，根據振動模型建立ANSYS仿真模型，模擬分析管柱的固有特性并與數學模型結果進行對比，同時對儲氣庫井管柱進行瞬態動力學響應分析，得到管柱振動效果變化規律；最后，結合現場工況搭建儲氣庫井管柱振動實驗研究裝置，設計振動信號數據采集終端，通過注氣過程管柱非線性振動實驗得到振動特征數據。以實際儲氣庫井J03-H1為例，分析注氣過程管柱壓力、管壁速度和幅值等振動效果變化規律。為深入開展儲氣庫井注采管柱振動分析提供了一種新的思路和方法。

1 儲氣庫井管柱非線性振動分析方法

1.1 柔性約束下管柱力學模型

基于彈性力學和管柱力學相關理論，建立儲氣庫井管柱力學分析模型[14-15]，如圖1所示?？紤]注采管柱生產實際工作條件，井身結構和井下工具分布較為復雜，包括表層套管、技術套管、生產套管、環空填充液、注采管柱、永久封隔器、尾管等。為了便于進行數值分析，假定井下管柱為長直桿件，并且是各向同性、均勻連續的線彈性體；將井下管柱看成一個整體，平均分為n等分。圖1還給出了衰竭油氣藏儲氣庫井注采過程i段管柱力學分析模型。圖中hi、r和R分別表示研究注采管柱i分段的長度和內外徑。

圖1 儲氣庫井管柱力學分析模型Fig.1 Non-linear vibration mechanics model of well string of gas storage reservoir

油套管間填充環空保護液，其作用是減輕套管頭或封隔器承受的油藏壓力，降低油管柱與環空之間的壓差等，由于多組分填充液具有優異的剪切穩定性和溫粘特性，可產生具有液體彈簧效果的柔性約束，因此分析模型中添加變剛度彈簧結構。

根據圖1所示油套橫截斷面，在初始狀態下管內壓為p0，液體體積為v，當管柱受持續激勵發生徑向位移時，環空壓力為p1，液體體積變化為Δv。假定環空內溫度為常數，則環空填充液的彈簧效應力為：

(1)

式中：Δp=p1-p0，增大或減少液體體積v，從而改變彈簧的剛度k。

當Δv→0時，

(2)

式中：液體彈簧剛度k，與體積彈性模量、環空橫截面積成正比。

1.2 管柱非線性振動計算模型

基于Rayleigh-Love桿理論和管柱力學[15]，儲氣庫井第i段注采管柱的非線性振動方程(3)可表示為：

(3)

式中：Ei，Ai，ρi，vi，δi分別表示第i部分井下管柱的彈性模量、橫截面積、密度、Poisson比、阻尼系數;ui=ui(z，t)表示第i部分井下管柱的縱向位移;fi表示第i部分井下管柱上、下端面單位長度作用力之和。用ci表示井下管柱接觸面上單位長度方向上的縱向剪切復剛度，Δf為環空壓力值。則fi及Ai可以表示為：

fi=ciui(z,t)

(4)

(5)

相鄰井下管柱微元段分界面兩側的位移需滿足的連續性條件為

(6)

(7)

1.3 小波變換求解管柱非線性

儲氣庫循環注采過程是多時間尺度的持續過程，小波函數變換可分析并給出管柱頻域信息。同時，與傅里葉函數變換相比，小波函數在求解非線性動力學方程時，時域和頻域上都具有很好的局域性，能夠提高求解計算精度和效率。因此，本文引入小波函數求解注采管柱的非線性振動方程，其中小波函數公式為[13]：

(8)

式中:w0為小波的中心頻率。

考慮井下管柱受持續激勵初始階段，第i部分井下管柱的初始位移和速度均等于 0，通過小波函數對方程(3)進行變換得到(9)：

(9)

式中:Ui=Ui(z,s)為ui(z,t)的小波變換。

為便于求解，設定

(10)

β=6ρi+Cit2

(11)

(12)

則上式方程可簡化為

(13)

解得：

Ui(z,s)=C1er1+C2er2

(14)

儲氣庫地層可看作是無限大地層(D≥0，t≥0)，初始儲層壓力為 ，則從井筒注氣的過程可以看作流體成平面徑向流流入地層，因此注氣后地層壓力隨時間t和半徑D的關系[16]為：

(15)

式中:Ggi為注氣重量流量，χ為導壓系數。

令Fi(z,t)=φ(z,t)Ai,則井下底部管柱振動應滿足以下條件：

Fi(z,t)|z=0+qi(z,t)=0

(16)

Ui(z,s)|h=0

(17)

將兩個關系代入解的C1、C2的關系式：

(18)

C1er1+C2er2=0

(19)

代入求得：

(20)

(21)

井下完井管柱ti時刻振動位移為：

(22)

相應的振動頻域公式為：

(23)

為求解井筒管柱的固有頻率，將式(3)進行無量綱化得到式(24)：

(24)

通過分離系數法求解式(27)可得到井筒內管柱的多階頻率值，其中第一、二階的儲氣庫井管柱頻率值分別為：

(25)

(26)

其中：

2 工程實例分析

2.1 現場數據

某衰竭油氣藏儲氣庫J03區塊井群位于華南地域，由原主力生產井改建而成，均具有天然良好的密封構造。建成后用以滿足目前陜京線、陜京二線、西氣東輸等長輸管線對儲氣庫季節及安全調峰氣量的迫切需求[17]，因此儲氣庫群設計和安全運行要求比較高。本文主要針對儲氣庫井J03-H1進行分析，現場地質工況包括：

儲層條件：儲層以成層分布的溶蝕孔洞為主，巖性致密；

儲庫數據：原始地層壓力30.4 MPa，儲層厚度12 m，壓力系數0.18；

場地條件：地震峰值加速度0.15g，地震基本烈度Ⅶ度。

表1 儲氣庫設計參數Tab.1 Parameters of underground gas storage

2.2 三維有限元模型建立

借助ANSYS軟件以現場工況參數建立衰竭油氣藏儲氣庫井管柱注氣過程非線性振動有限元分析模型。所建模型采用管單元Pipe288單元模擬，選取單元具有拉壓、彎曲和扭轉性能。單元的每個節點有6個自由度。數值積分采Newton-CoteS積分。為模擬油套間環空填充液的黏彈性作用，在注采管柱有限元模型的每個單元兩端添加非線性彈簧單元Combin39，添加方向包括管軸方向、水平方向和垂直方向。儲氣庫井管柱三維有限元模型圖如圖2所示，假定Combin39單元只允許有軸向變形，管柱選用φ114.3×14.22鋼制管材，其基本參數見表2。

表2 儲氣庫注氣管柱參數Tab.2 Parameters of reservoir

(a) 注采管柱有限元模型

(b) 注采管柱彈簧單元效果圖 圖2 儲氣庫井管柱三維有限元模型圖Fig.2 Three-dimensional finite element model of the gas storage well string

2.3 管柱固有特性分析

為驗證儲氣庫井管柱非線性振動分析方法的準確性和精度[19-20]，筆者采用Matlab軟件編制了本文的計算模型，對儲氣庫井J03-H1的某一生產工況進行了模擬計算，同時利用三維有限元模型對同一生產工況的注采管柱進行多周期的諧響應分析。模擬條件設定注氣壓力35 MPa，管柱軸向力為20 kN，相位角為0，載荷頻率范圍為0～0.5 Hz。并將本文模型計算所得管柱頻率結果與有限元模型計算結果進行了對比，如圖3所示。

圖3給出了本文有無考慮環空約束計算結果與諧響應分析結果的對比。由計算結果對比可知，當油管柱長度一定時，考慮環空帶壓約束(CAP)所得固有頻率值較未考慮環空帶壓約束(NAP)的計算值更大，與有限元分析結果比較接近。當管長約400 m時，NAP的固有頻率值約為 0.378×10-1Hz，CAP的計算值約為0.391×10-1Hz，兩者差值在3.35%，且數值計算值為0.402×10-1Hz，表明本文模型計算結果的具備一定穩定性。

圖3 同一工況管柱固有頻率對比曲線Fig.3 The curve of relationship between length and nature frequency for two conditions

由圖3可知，隨著管長的增加，環空帶壓約束對管柱的固有頻率影響逐漸增加，兩種邊界條件下固有頻率的差值不斷增大。當管長小于300 m時，環空約束對管柱固有頻率影響作用不大，當管長約200 m時，NAP的固有頻率值為 0.865×10-1Hz，CAP的管柱固有頻率值為0.874×10-1Hz，差值約在1.06%；當管長超過400 m后，CAP的管柱頻率值明顯大于NAP的頻率值，當管長約600 m時，NAP的管柱頻率值為 0.129×10-1Hz，CAP的管柱固有頻率值為0.161×10-1Hz，差值約在24.01%；當管長約800 m時，NAP的固有頻率值為 0.118×10-1Hz，CAP的管柱固有頻率值為0.149×10-1Hz，差值約在26.48%。結果說明當管柱足夠長時，進行相關管柱安全設計時必須要考慮油套環空對注采管柱的約束作用。

圖4給出儲氣庫井管柱系統阻尼對管柱振動影響分析圖。由結果曲線可以看出，當激擾頻率接近管柱某一階頻率時，管柱幅值會急劇變大，產生了“馬鞍狀”峰值結構，明顯大于其它頻率所產生的幅值，可認定該工況下管柱發生共振，相應激擾頻率為誘發管柱共振的激擾頻域。當阻尼δ= 0.10時，管柱發生“馬鞍狀”特性的激擾頻率分別為0.030 1 Hz、0.054 6 Hz、0.090 2 Hz，對應的模擬幅值為0.357 m、0.185 m和0.122 m，與軟件輸出結果差值分別為9.23%、4.86%和4.91%，表明幅值特性計算結果可信。

同時由圖4(a)～(c)可知，隨著阻尼的增加，對于同一激擾頻率下，阻尼不同管柱的幅值也會相應發生改變。當管柱系統阻尼δ分別為0.10、0.15、0.20時，管柱“馬鞍狀”特性幅值(f=0.030 1 Hz)分別0.357 m、0.315 m和0.225 m，說明阻尼越大，管柱發生共振時所產生的幅值會越小。

圖4 不同阻尼對管柱影響到幅頻特性圖Fig.4 The curve of the amplitude frequency and phase

根據油管完整性指數公式[21-22]為

IIT=γ‖max{ψ1,ψ2}·[δ(η1),δ(η2)]‖

(27)

油管完整性指數IIT的取值范圍為[0, 1]。當IIT=1時，油管失效；當0

通過對注采管柱的固有頻率特性及諧響應分析，研究注采壓力波動對注采管柱引起的激擾作用，得到激擾頻率對管柱振動的誘發效果。同時考慮儲氣庫多周期的強采強注生產，壓力波動的瞬時性和多變性會對誘發管柱振動產生較大影響，因此需進一步對氣藏型儲氣庫井管柱進行瞬態動力學響應分析[18]。

2.4 管柱瞬態動力響應分析

由于高速氣流的不穩定性因素，穩產過程中儲氣庫井保持的注采壓力存在一定范圍內的壓力波動，即真實載荷存在一定波動范圍。為更接近真實工況，在進行注采管柱瞬態動力響應分析時，添加間歇隨機波動壓力。圖5所示對三維管柱模型施加的內壓值。靜壓P0為30 MPa，波動壓差為10 MPa，運行時間為30 s。

圖5 模型施加的內壓值Fig.5 Internal pressure values imposed by the model

圖6 (a)～(c)所示為距離封隔器不同位置處管柱瞬態動力響應分析結果。由圖6可以得知，當注采管柱穩態注采過程中，由于高速的天然氣的不穩定性會造成內壓波動，其波動會造成管柱軸向位移產生周期性的擾動，越接近封隔器位置，管柱的振幅、速度和加速度會越?。辉竭h離封隔器位置，其振幅、速度和加速度會越大?？紤]距離封隔器距離越遠，管柱的柔度會增加，其彈性變形以及運動的空間也會增加。由此可以得知，穩定的注采過程近封隔器端管柱振動效果較小，且主要振動為管柱縱向振動。

圖6 管柱瞬態動力響應分析結果Fig.6 Pipeline transient dynamic response analysis results

為研究壓力波動對管柱振動頻域的影響，分別對距離封隔器100 m、200 m、300 m和400 m的數值結果進行變換分析，如圖7所示。結果表明：距封隔器不同位置處測點的管柱振動頻域分布趨勢具有相似性，當處于低頻壓力激勵區，管柱的頻域響應幅值較大，說明壓力激勵頻率接近系統低階固有頻率時，管柱將發生明顯振動，即該工況下管柱發生共振，由此可見低頻壓力波動是生產過程管柱產生振動的重要激勵源。

圖7 模擬數據變化分析結果Fig.7 Simulation data change analysis results

同時從圖 7 可知，距離封隔器400 m、300 m、200 m和100 m處的管柱振動幅值呈下降趨勢，其中距離封隔器400 m處的管柱最大幅值約為3.18 mm，距離封隔器100 m處的分析最大幅值約為1.71 mm，近封隔器端的管柱振動幅值并未隨管柱自身頻率的降低而增長，主要原因是井底封隔器對管柱具有良好的約束作用。因此為減緩交變載荷所帶來的疲勞效應，可選用適宜規格的封隔器裝置以保障管柱安全生產。

3 儲氣庫井管柱非線性振動實驗研究

3.1 實驗裝置設計

根據現場工況數據，搭建實驗裝置。實驗所用油管柱全長約8.5 m，設計壓力10 MPa，允許的最高壓力16 MPa ，由不銹鋼管構成。實驗裝置如圖8所示，按照“直井段——井斜段——水平段——儲氣庫”的模式設置，同時在起終點間設置8個測點，設置位置分別在直井段、井斜段、水平段等處，可根據實驗需要改變測點位置。實驗所用注氣為帶壓空氣，帶壓空氣與天然氣的物理性質相近，能夠滿足實驗效果和裝置安全的需要。該實驗裝置系統在設計時與實際的儲氣庫井工況進行了相似性分析(見表3)，取得較好相似性結果，可以實現儲氣庫井管柱注氣過程非線性振動的監測和模擬功能 。

圖8 實驗裝置圖Fig.8 The Experimental setup

Tab.3 Comparison of experimental tubings and real tubings

類型現場油管/mm外徑內徑壁厚實驗油管/mm外徑內徑壁厚比例參數114.3100.536.8853.813.3510.2330∶1

所建實驗系統包括硬件單元和數據采集單元。其中硬件單元由空壓機、增壓泵、儲氣罐、油管管路、傳感器等組成，實驗硬件單元布置如圖9所示。實驗過程中可由空壓機提供流量，由增壓泵和儲氣罐提供帶壓氣體，由氣體流量質量控制器控制氣體流入壓力，由差壓計測量每個實驗管段的壓差。

圖9 地下儲氣庫注采模擬硬件實驗裝置Fig.9 Simulation hardware experiment device for underground gas storage

為實時采集測點數據, 所用數據采集單元可測量每個管段測點的近壁壓力、位移和速度值，即在測點位置添加壓力傳感器(PM)、位移傳感器(DM)、速度傳感器(VM)等數據元件。儲氣庫非線性振動實驗測點數據元件分布如圖10所示 。

圖10 儲氣庫非線性振動測點數據元件分布圖Fig.10 Gas storage vibration data element distribution

該裝置建立的儲氣庫非線性振動的實時數據采集系統 ，還包括型號為PCI-1711的常規數據采集卡以及型號為PCI-4472的動態數據數據采集卡，均具有獨特的電路設計和完善的數據采集與控制功能。針對實驗信號的幅值和頻率變化速度極快等情況，所用采集卡可以進行高速數據的采集，最終保證了數據采集的實時性和實驗精度 。

3.2 實驗流程

實驗流程如下：實驗采用氣源為壓縮空氣，氣體經壓縮機加壓，通過冷干機和過濾器除去水分，經過高壓縮機泵入鋪設管段 ，利用流量控制球閥實現氣體穩壓流出后， 同時打開模擬井底和井口的氣體閥門，帶壓氣體經“直井段——井斜段——水平段”進入模擬儲庫的高壓儲罐，保持帶壓氣體流出并記錄傳感器反饋數據，最后關閉氣瓶，待油管柱內帶壓氣體釋放完畢完成該階段實驗，并以此操作步驟最終完成衰竭油氣藏儲氣庫井管柱注氣過程非線性振動模擬實驗。

3.3 實驗結果分析

參考Tijsseling提出的簡化條件[19-20]，忽略油管重力對實驗結果的影響，且認為整個管路的轉動慣量為零。實驗模擬工況：注氣流量 30×104m3·d-1，沿程壓降為8 MPa，狗腿度為9°/30 m，油壓33 MPa，井口溫度T=25℃，得到油管柱近壁壓力沿程分布實驗結果并與現場結果對比，如表4所示。

表4給出了油管柱A、B、C和D等處測點(直井段、井斜段和水平段)的近壁壓力沿程分布實驗結果與現場結果對比。結果表明，實驗測得各段壓力分布與現場結果的相對誤差分別為6.27%、7.58%、4.82%和5.31%，滿足實際工程需要，并且本文實驗測定結果的方差最大為3.85，而現場結果方差最大為3.99，說明用本文實驗測2得的計算結果比現場結果波動要小，可見上述實驗設計具備一定穩定性和實用性。為研究儲氣庫井注氣過程管柱振動特性，進一步分析注氣過程管壁壓力、管壁速度和幅值等振動效果變化規律。

表4 油管柱近壁壓力實驗結果與現場結果對比Tab.4 Near-wall pressure test results and field results

(1)管柱近壁壓力變化分析

圖11為選取的測定A、B和C等測點的注氣過程管壁近壁壓力隨時間的變化情況。從圖11(a)～(c)可以看出，管壁近壁壓力迅速上升，壓力穩定在某一區間范圍波動內，且具有周期性。其中圖11(a)所示近注氣口的直井段內氣體壓力的震蕩呈周期性變化，且變化幅度較大，從t=0.136 s后保持穩定。圖11(b)所示井斜段內近壁壓力在t=0.164 s后呈多段震蕩，變化幅度增大。說明儲氣開啟段和井斜段近壁壓力變化較大，對管柱作用比較明顯。圖11(c)所示水平段近壁壓力在傳輸過程中保持穩定，變化幅度逐漸減小，交替周期逐漸變長。

圖11 注氣過程管壁近壁壓力隨時間的變化情況Fig.11 Variation of pressure in the wall of the pipe wall with time during gas injection

(2)管壁速度變化

圖12為A、B和C等測點的注氣過程管壁速度隨時間的變化情況。從圖12 (a)～(c) 時程曲線可以看出，數值模擬的油管柱振動速度與實驗值基本一致。在持續注入過程中，近注氣口段、井斜段、水平段的油管柱管壁速度均呈周期性變速運動，并隨著注入流量的增加，各段油管柱運動速度變化明顯，趨勢為先快后慢。同時圖12(a)表明，當流量控制閥開啟后， 注入氣

圖12 注氣過程管壁速度隨時間的變化情況Fig.12 Variation of tube wall Velocity with time in gas injection

迅速進入實驗裝置內，近注氣口段管壁速度迅速上升，并逐漸穩定在某一區間范圍內，且具有周期性，波動頻率較大。圖12(b)表明注氣進入井斜段后，由于沿程流動阻力和壁面摩擦等影響，管壁速度波動峰值減小，且從t=0.02 s起管壁速度呈周期性交替變化，交替周期逐漸變小。圖12(c)表明注氣進入水平段后，管壁速度隨著揚程的增加而緩慢減小，交替周期變大，管壁速度逐漸趨于穩定狀態。

(3)管壁位移幅值變化

圖13為選取的測定A、B和C等測點的注氣過程管壁位移幅值隨時間的變化情況。結果表明，在持續注入過程中，直井段、井斜段、水平段的油管柱非線性振動幅值與管壁速度變化趨勢相似，隨著注入流量的增加，各段油管柱幅值變化明顯，呈周期性變化。

圖13 注氣過程管壁位移幅值隨時間的變化情況Fig.13 Variation of displacement amplitude of tube wall with time during gas injection

同時圖13(a)表明，在注氣開啟階段，管壁位移波動幅度較大，從t=0.056 s開始，幅值逐漸穩定在某一區間范圍內。由圖13(b)和(c)可知，井斜段處管壁速度下降，但位移幅值增加，交變周期較小。表明井斜段形成渦流區，對管壁激振效果明顯。且由井斜段(b)向水平段(c)油管柱幅值變化幅度逐漸減小，交變周期變長，筆者判斷該現象發生的原因與氣體的可壓縮性及管壁摩擦阻力有關。在實驗的進行過程中，測點(a)和(b)段油管柱發生一定程度震蕩，結合前述結果分析表明近注氣口段和井斜段是衰竭油氣藏儲氣庫井管柱發生非線性振動的高發區域，在管柱安全生產設計和運行時應做出相應的安全措施。

5 結 論

(1) 推導并建立儲氣庫井管柱非線性振動分析方法，以儲氣庫J03-H1井為例，程序實現獲得管柱固有特性結果并與有限元模擬結果進行對比，結果表明：儲氣庫井管柱非線性振動分析方法具有良好的適用性；隨著管柱設計的增長，環空約束對管柱固有頻率影響作用較大；井筒阻尼越大，管柱的共振幅值越小。

(2) 對儲氣庫井管柱進行了瞬態動力學響應分析，證實生產過程，越接近封隔器位置，管柱的振幅、速度和加速度會等振動效果越小，反之效果越大；低頻壓力波動是生產過程管柱產生振動的重要激勵源。

(3) 儲氣庫井管柱非線性振動實驗結果可知，隨著注氣量的增加，各段管柱振動效果變化明顯，呈周期性變化。同時，近注氣口段和井斜段是儲氣庫井管柱產生振動的高發區域，在管柱安全生產設計和運行時應做出相的安全措施