函數對稱性的探究

【摘 "要】函數的對稱性是函數的一個基本性質，其中既有函數自身的對稱性又有不同函數之間的對稱性，性質結論復雜且繁多，既是高中數學學習的一個難點，也是高考考查的重點，廣泛存在于數學問題之中。筆者通過對函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性兩個方面的探討和歸納，希望能對讀者有所幫助。

【關鍵詞】函數對稱性 "周期性 "內部對稱 "外部對稱

【中圖分類號】G632 " " " "【文獻標識碼】A " " " " 【文章編號】1674-4810（2015）30-0096-02

函數是高中數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函數的性質是競賽和高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。筆者擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性兩個方面來探討函數與對稱有關的性質。

一 函數自身對稱性的探究

定理1，函數y=f（x）的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b。

證明：（必要性）在y=f（x）圖像上任取一點P（x，y），則點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P’（2a-x，2b-y），點P’也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=

f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b。

（充分性）在y=f（x）圖像上任取一點P（x0，y0），則y0=f（x0）

∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0） 。

故點P’（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P’關于點A（a，b）對稱。

特別的：函數y=f（x）的圖像關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。

定理2，函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是：

f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）（證明留給讀者）

若寫成：f（a+x）=f（b-x），函數y=f（x）關于

直線 對稱。

特別的：函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）。

定理3，（1）若函數y=f（x）圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期。（2）若函數y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期。（3）若函數y=f（x）圖像既關于點A（a，c）成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期。

以下給出（1）的證明：

證明：函數y=f（x）的圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱，則f（2a+x）+f（-x）=2c，f（2b-x）+f（x）=2c。

所以f[2（a-b）+x]=f[2a+（-2b+x）]

=2c-f[-（-2b+x）]=2c-f（2b-x）=2c-[2c-f（x）]=f（x）

所以2|a-b|是它的一個周期。

讀者可試證（2）（3）。

應用舉例：

例1，（2009全國卷）函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則（ " ）

A.f（x）是偶函數 " " " "B.f（x）是奇函數

C.f（x）=f（x+2） " " "D.f（x+3）是奇函數

解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數

∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1）

∴函數f（x）關于點（1，0）及點（-1，0）對稱，函數f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函數

∴f（x+3）=f（x-1+4）=f（x-1）=-f（-x-1）=-f（-x-1+4）=-f（-x+3）

∴f（-x+3）=-f（x+3），即f（x+3）是奇函數。故選D。

例2，設f（x）是定義在實數集R上的函數，且滿足f（10-x）=f（10+x）與f（20-x）=-f（20+x），則f（x）是（ " ）

A.偶函數，又是周期函數。

B.偶函數，但不是周期函數。

C.奇函數，又是周期函數。

D.奇函數，但不是周期函數。

解：T=4|a-b|=4|20-10|=40

∴f（-x）=f（-x+40）=f[10+（30-x）]=f[10-（30-x）]=f（x-20）=f（x-20+40）=f（x+20）=-f（20-x）=-f[10+（10-x）]=-f[10-（10-x）]=-f（x）

所以為奇函數。故選C。

例3，函數 ，（1）證明函數的圖像關于

（-1，-1）對稱。（2）求f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（0）+f（1）+f（2）的值。

解：因為 ，由 的對稱

中心（0，0），平移可得 對稱中心（-1，-1），

由命題3知，f（x）+f（-x-2）=-2。

則f（-4）+f（-3）+f（-2）+f（0）+f（1）+f（2）=3×[f（-2）+f（0）]=3×（-2）=-6。

二 不同函數對稱性的探究

定理1，函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱。

定理2，函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a成軸對稱。

現證定理1：

證明：設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0）。點P（x0，y0）關于點A（a，b）的對稱點為P’（2a-x0，2b-y0），此點坐標滿足y=2b-f（2a-x），顯然點P’（2a-x0，2b-y0）在y=2b-f（2a-x）的圖像上。

同理可證：y=2b-f（2a-x）圖像上關于點A（a，b）對稱的點也在y=f（x）的圖像上。

特別的：函數y=f（x）與y=f（-x）的圖像關于直線y軸對稱。

應用舉例：

例4，函數y=f（x+1）與函數y=f（3-x）的圖像關于__________對稱。

解：由命題1知，兩函數圖像關于 ，即

關于直線x=1對稱。

例5，若方程f（3+2x）=0有三個根，則方程f（1-2x）=0有_____個根，兩方程所有的根之和為______。

解：設y1=f（3+2x），設y2=f（1-2x），由推廣1

知，兩函數圖像關于 對稱，故兩函數圖像

與x軸交點個數相同，方程f（1-2x）=0也有三個根，

這六個跟之和為 。

三 三角函數圖像的對稱性

函數 對稱中心坐標 對稱軸方程

y=sin x （kπ，0） x=kπ+π/2

y=cos x （kπ+π/2，0） x=kπ

y=tan x （kπ/2，0） 無

注：上表中k∈Z

應用舉例：

例6，函數y=3sin（ ）的對稱中心是________。

解：由 =kπ，k∈Z得 +kπ。

∴x= +2kπ，k∈Z。∴對稱中心是（ +2kπ，0）。

例7，（92全國高考理）函數y=sin（2x+ ）的

圖像的一條對稱軸的方程是（ " ）

A.x= " B.x= " C.x= " D.x=

解：函數y=sin（2x+ ）的圖像的所有對稱軸的

方程是2x+ =kπ+

∴x= -π，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=

，故選（A）。

練習：1.若函數f（x）=x2+bx+c對一切實數都有f（2+x）=f（2-x），則（ " ）

A.f（2）

C.f（2）

2.函數y=f（x）在（0，2）上是增函數，函數y=f（x+2）是偶函數，則下列結論中正確的是（ " ）

A.f（1）

C.f（ ）

3.設函數f（x）=（x+a）3對任意實數x都有f（2+x）=-f（2-x），則f（3）+f（-3）=（ " ）

A.-124 " "B.124 " "C.-56 " "D.56

4.函數f（x）的定義域為R，且滿足f（12-x）=f（x），方程f（x）=0有n個實數根，這些實數根的和為1992，那么n為（ " ）

A.996 " " "B.498 " " "C.332 " " D.116

5.函數y=f（x）對一切x滿足f（x+a）=f（b-x）（1）若方程f（x）=0恰有2n（n∈N*）個根，則這些根的和為多少？（2）若方程恰2n+1（n∈N*）個根，則這些根的和為多少？

6.設f（x）=x2+1，若g（x）的圖像與y=f（x+2）的圖像關于點（1，1）對稱，求g（x）。

〔責任編輯：林勁、李婷婷〕