有趣的獵尋問(wèn)題及其Matlab編程應(yīng)用

【摘 要】對(duì)現(xiàn)實(shí)中很多問(wèn)題的合理數(shù)學(xué)抽象與求解是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵所在。本文針對(duì)有一定規(guī)則的狼獵尋羊的問(wèn)題進(jìn)行合理抽象后變成數(shù)學(xué)問(wèn)題。利用Matlab軟件和歸納綜合的方法對(duì)獵尋問(wèn)題進(jìn)行分類探討，總結(jié)出有意義的結(jié)論，有助于學(xué)生拓展思維寬度和增加學(xué)習(xí)樂(lè)趣。

【關(guān)鍵詞】獵尋問(wèn)題 Matlab 編程應(yīng)用 歸納綜合法

【中圖分類號(hào)】O244 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）29-0068-03

一 問(wèn)題引入

現(xiàn)有4只羊（名叫“閨丫”“璧丫”“芬丫”“鮮丫”）和1只狼（名叫“紳士”）住在同一座山上。山中，有12個(gè)山洞，圍成一圈，編號(hào)依次為0到11。起初，他們生活相處都很融洽。過(guò)了不久，再也尋不到其他吃食的狼盯上了這個(gè)羊群。“閨丫”于是和“紳士”打起了商量：“我知道您很久沒(méi)吃東西了，正在打我們的主意，但我們也不會(huì)束手就擒，我們何不打個(gè)賭呢？如您贏了，我們樂(lè)意隨你處置！現(xiàn)在我們姐妹4個(gè)各自找個(gè)山洞藏起來(lái)，每個(gè)山洞最多只藏一只羊，您從0號(hào)洞出發(fā)，每次必須隔兩個(gè)洞來(lái)尋我們——您的獵物，尋找次數(shù)不限，如何？”“紳士”很有點(diǎn)底氣兒：“尋找次數(shù)不限，這可是你承諾的，成為盤(pán)中餐時(shí)，閣下千萬(wàn)別怨這怨那啊！”

二 問(wèn)題分析

在“紳士”狼嚴(yán)格遵守既定獵尋規(guī)則的前提下，其結(jié)果顯而易見(jiàn)，狼先從第一個(gè)山洞（0號(hào)）出發(fā)，第一次到3號(hào)洞，第二次到6號(hào)洞，第三次到9號(hào)洞，第四次又回到0號(hào)洞，并依次循環(huán)下去。可見(jiàn)，狼可到達(dá)的洞穴只能是0、3、6、9號(hào)，因此只要4只羊分別藏于除0、3、6、9之外的其他洞穴，她們都是安全的，狼只能無(wú)可奈何，路線示意圖如下所示。

三 問(wèn)題延伸

“紳士”狼沒(méi)多想，直接依約開(kāi)始。但找了幾圈之后，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比較嚴(yán)重，漸漸失去按規(guī)則獵尋的耐性。“閨丫”見(jiàn)狀再次主動(dòng)和“紳士”打起了商量：“要不咱們重新?lián)Q個(gè)規(guī)則，從0號(hào)洞出發(fā)，第一次到1號(hào)洞，第二次隔一個(gè)洞（即到3號(hào)洞），第三次隔兩個(gè)洞（即到6號(hào)洞），依次類推，這樣可避免尋找洞穴的周期性重復(fù)出現(xiàn)，尋找次數(shù)仍舊不限，如何？”“紳士”不比先前自信，但想來(lái)這樣無(wú)限制地獵尋下去篤定是餓不著了。“閨丫”望著“紳士”又說(shuō)：“試試撒？”“紳士”不失風(fēng)度：“試試就試試啰，當(dāng)真你有那么好的運(yùn)氣不成！”

四 Matlab軟件編程助力解算

狼先從0號(hào)洞出發(fā)，接著來(lái)到1號(hào)洞，接著又來(lái)到3號(hào)洞（1+2=3），接著又來(lái)到6號(hào)洞（3+3=6）、10號(hào)洞（6+4=10）、3號(hào)洞（10+5-12=3）……依次類推，狼獵尋到下一洞的序號(hào)與前一洞的序號(hào)相關(guān)，是前一洞序號(hào)加上隔洞數(shù)除以12的余數(shù)。由于尋找次數(shù)不限，大量的手工計(jì)算比較麻煩，考慮運(yùn)用Matlab軟件編程助力解算。

Matlab（Matrix laboratory）軟件是Mathworks公司于1984年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，可方便地應(yīng)用于數(shù)學(xué)計(jì)算、算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學(xué)和工程方面。將Matlab的強(qiáng)大計(jì)算功能應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中，既可以鍛煉學(xué)生的工具應(yīng)用能力，也可以拓展學(xué)生解決問(wèn)題的思維，對(duì)于以后的高層次學(xué)習(xí)和發(fā)展有著重要意義。

根據(jù)之前對(duì)問(wèn)題的分析和數(shù)學(xué)抽象后，運(yùn)用Matlab軟件的編程思路是：

（1）初始洞號(hào)a=0，狼找過(guò)的洞的初始合集為b={0}；

（2）用while循環(huán)實(shí)現(xiàn)前若干次的序號(hào)集；

（3）循環(huán)體中，第i次的洞號(hào)a是前一洞號(hào)加隔洞數(shù)i除以12得到的余數(shù)，同時(shí)將每次產(chǎn)生的新序號(hào)添加到之前的序號(hào)集中。

具體編程語(yǔ)句代碼如下：

clc； clear all； close all；

a=0； b={0}； i=1；

while i<=100

a=rem（a+i，12）；

i=i+1；

b=[b，a]；

end

b

return

通過(guò)Matlab軟件編程計(jì)算結(jié)果表明：

（1）在前100次的獵尋中，狼找過(guò)的洞只限于0，1，3，4，6，7，9，10號(hào)；

（2）每24次獵尋后將會(huì)出現(xiàn)0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6，6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0循環(huán)，即狼“紳士”將重復(fù)進(jìn)入以上序號(hào)的洞穴。

綜合上述結(jié)果得知，如4只羊分別藏在第2、5、8、11號(hào)洞，她們顯然是安全的。當(dāng)進(jìn)一步加大模擬實(shí)驗(yàn)的次數(shù)時(shí)（如把i<=100改為i<=10000），發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律不變，狼獵尋的洞穴號(hào)只能是0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6，6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0循環(huán)。于是，通過(guò)大量數(shù)據(jù)的計(jì)算，歸納總結(jié)出2、5、8、11號(hào)洞是4只羊的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避地。

五 綜合拓展

苦不堪言的“紳士”又一次發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的嚴(yán)重性，停下了獵尋的腳步，“閨丫”不敢怠慢，再次和“紳士”打起了商量：“要不咱們這樣，前面兩個(gè)獵尋規(guī)則，你可以結(jié)合起來(lái)使用，先使用哪種規(guī)則都行，什么時(shí)間想變換規(guī)則都行，而且尋找次數(shù)不限。”此時(shí)，“紳士”似乎多了一份沉著，看了看“閨丫”，眼神中透出些許敬意，卻并不甘心，道：“剛才就差4個(gè)洞就能實(shí)現(xiàn)狼羊共舞，如今兩個(gè)規(guī)則又可以交叉結(jié)合，瞧好吧！你！”

六 分情況討論

既然兩種規(guī)則可以變換使用，那么可分兩種情況進(jìn)行討論。

情況一：狼先用規(guī)則1獵尋羊，獵尋過(guò)的洞號(hào)分別為0、3、6、9，狼可以在這4個(gè)洞中的任意一個(gè)變換使用規(guī)則2繼續(xù)獵尋。

對(duì)于情況一，即先使用規(guī)則1，再換規(guī)則2。由于規(guī)則1中只可能獵尋到4個(gè)洞穴，分別是0、3、6、9號(hào)洞，所以接下來(lái)只能在0、3、6、9號(hào)洞穴之一處繼續(xù)使用規(guī)則2獵尋。通過(guò)編程解算獲得下列計(jì)算結(jié)果：

洞穴0開(kāi)始改變規(guī)則：0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6，6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0……循環(huán)。

洞穴3開(kāi)始改變規(guī)則：3，4，6，9，1，6，0，7，3，0，10，9，9，10，0，3，7，0，6，1，9，6，4，3……循環(huán)。

洞穴6開(kāi)始改變規(guī)則：6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0，0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6……循環(huán)。

洞穴9開(kāi)始改變規(guī)則：9，10，0，3，7，0，6，1，9，6，4，3，3，4，6，9，1，6，0，7，3，0，10，9……循環(huán)。

上述討論結(jié)果表明：先使用規(guī)則1隨后變換為規(guī)則2，無(wú)論狼從4個(gè)洞穴中的哪個(gè)開(kāi)始變換使用規(guī)則2，狼都只能獵尋0、1、3、4、6、7、9、10號(hào)這8個(gè)洞穴，也就是說(shuō)，2、5、8、11號(hào)洞再次成為4只羊的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避地。

情況二，狼先使用規(guī)則2獵尋羊，獵尋過(guò)的洞穴分別為0、1、3、4、6、7、9、10，狼可以在這8個(gè)洞中的任意一個(gè)變換使用規(guī)則1繼續(xù)獵尋。

對(duì)于情況二，即先使用規(guī)則2，再換規(guī)則1。由于規(guī)則2中只可能獵尋到0、1、3、4、6、7、9、10號(hào)這8個(gè)洞穴，所以接下來(lái)只能在0、1、3、4、6、7、9、10號(hào)洞穴之一處繼續(xù)使用規(guī)則1獵尋。通過(guò)窮舉法獲得下列結(jié)果：

0：0，3，6，9…… 1：1，4，7，10……

3：3，6，9，0…… 4：4，7，10，1……

6：6，9，0，3…… 7：7，10，1，4……

9：9，0，3，6…… 10：10，1，4，7……

上述討論說(shuō)明，先使用規(guī)則2，隨后變換為規(guī)則1，無(wú)論狼從8個(gè)洞穴中的哪個(gè)開(kāi)始變換使用規(guī)則1，狼依舊獵尋不到2、5、8、11號(hào)這4個(gè)洞穴，也就是說(shuō)2、5、8、11號(hào)洞依舊是4只羊的風(fēng)水寶地。

七 結(jié)局料想

“紳士”的最后一番獵尋似乎較先前更為淡定，在兩種獵尋方案都嘗試以后，他望著“閨丫”，眼神里卻絲毫沒(méi)有無(wú)奈之感：“你真是不打無(wú)準(zhǔn)備之戰(zhàn)啊，的確有點(diǎn)主意，看在這股機(jī)靈勁兒的分上我暫時(shí)放過(guò)你們，要不我們結(jié)伴到別的山頭瞧瞧。”“閨丫”忙回話：“您真有遠(yuǎn)見(jiàn)，給您點(diǎn)贊——智慧與力量并舉的典范。”

獵尋問(wèn)題的本質(zhì)是一個(gè)搜索問(wèn)題，按照一定的規(guī)則進(jìn)行路徑的選擇。本文以充滿趣味的“狼吃羊”的故事為對(duì)象，按照預(yù)先設(shè)定的獵尋規(guī)則進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣有助于問(wèn)題的理解和求解。最后通過(guò)Matlab軟件平臺(tái)編程，對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行解算，成功歸納出“羊”的安全洞穴。成功地將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)工具進(jìn)行結(jié)合，拓展了解決實(shí)際問(wèn)題的思路，對(duì)于學(xué)生的平時(shí)學(xué)習(xí)有著重要的意義。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕、汪二款〕