數學與地理整合教學的兩個案例

【摘 要】學習地理離不開理性邏輯思維，地理知識的表征或學習離不開數學學科的推理計算、空間思維、邏輯分析，數學在地理學科某些知識的理解中顯得非常重要，譬如地球經度、緯度的概念和測定，時差的概念及其理解。地理教學需要重點做好案例剖析引導，組織活動讓學生動手操作、動腦思考、推理計算，能有效增強對地理知識的理解。用好某些數學工具是學好地理的必要條件，地理教師需要將地理教學與數學工具進行恰當的整合，以便提高地理教學效率。

【關鍵詞】數學知識方法 地理教學 整合教學 案例教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）29-0021-03

高中學生在政治、歷史、地理三個學科的學習中，最困難的是地理學科。政治、歷史傾向于形象思維，勤奮學習，多讀多記憶，總能夠收到較好的效果。地理學科離不開形象思維，但很多內容的分析或學習更傾向于理性邏輯思維，地理學科在中學劃歸為文科范疇，但在大學里地理學科被劃歸為理科范疇。實際上，地理學科與數學學科的關聯度很強，地理知識的表征或學習離不開數學學科的推理計算、空間思維、邏輯分析，這是學生對地理學科學習感到困難的主要原因。因此，高中地理教師不僅要精通地理知識，還要掌握必要的數學知識，在地理學科教學中要將數學學科與地理學科的教學進行必要的恰當的整合，體現數學知識方法對于地理學科研究與學習的工具作用，要引導學生用數學知識方法來學習處理某些地理問題。如何將地理教學與數學知識方法進行合理整合，仁者見仁、智者見智，作為筆者的實踐研究與教學見解，本文介紹分析兩個教學案例。

案例一：使用簡易工具測算某地的經緯度

運用數學方法測算某地的坐標，不借助諸如GPS之類的地理工具進行測量，而是僅借助竹竿、皮尺、手表等簡易工具在室外進行實地測量，并通過數學的方法計算出某地的經度及緯度。可以組織學生進行一次戶外實驗（如測量我校坐標），在此之前，應該明確該實驗的原理和過程。

實驗原理：某地的坐標包括經度和緯度，經度可以利用當地正午時刻地方時與北京時間（120°E）的時差來推算，相對容易；緯度則可利用正午太陽高度的計算公式H=90°-兩點緯度差（“兩點”指太陽直射點和所求點）列方程計算，問題在于應先求得當天太陽直射的緯度，還要運用三角函數知識測算出當天的正午太陽高度H，如此才可求出當地緯度。

實驗工具：竹竿、皮尺、手表、紙筆、計算器等。

實驗過程：筆者曾組織學生進行“測算我校坐標”的戶外實驗，現就以這次實驗為例，詳細說明實驗的過程。

實驗時間：2015年6月16日。

實驗地點：云南省曲靖市第一中學校園。

1 前期準備

1.1 明確實驗目標、原理、過程。

1.2 準備實驗工具。

1.3 計算當天太陽直射緯度。

選擇的日期最好是二分二至日，因為太陽直射緯度是已知的，但勢必對日期的選擇造成了很大的限定，能夠做到選擇任意一天都可以嗎？答案是肯定的，關鍵在于計算當天太陽直射的緯度。因為太陽直射點在南北回歸線之間做往返的回歸運動，完成一個回歸運動的周期約一年（以365天計算），移動的緯度總計為回歸線度數（23°26′）的4倍，即93°44′，那么我們就可以估算出每天太陽直射點移動的緯度數，進一步就可以估算出任意一天太陽直射的緯度。根據計算得出，太陽直射點每天移動約15′，據此算出當天（6月6日）太陽直射的緯度約為21°56′N。

2 具體過程

2.1 測量竹竿的長度h，測量得h約為210cm。

2.2 將竹竿垂直地固定在水平面上。

2.3 校準手表時間：將手表的時間調整為準確的北京時間。

2.4 測量與記錄：根據生活經驗在當地正午前的一段時間開始測量，每隔1～2分鐘測量一次竹竿影長并記錄對應的北京時間。當天實驗數據為：

2.5 找到當天竿影最短的時刻，即為當地正午（地方時12∶00）。

2.6 計算經度：根據實驗數據，當地正午12∶00時，對應的北京時間（120°E地方時）為13∶05，說明當地地方時比北京時間晚1小時5分鐘（相當于16°12′的經度差），即當地位于120°E以西16°12′的經線上，求得當地經度為103°48′E。

2.7 計算正午太陽高度H：根據實驗數據，正午時竿影長度L為13.0cm，又知竹竿長度h≈210cm，則在直角三角形中（如圖1），正午太陽高度角為H，運用三角函數知識，tanH=h/L=13.0/210，則arctanH≈86°26′，故當天正午太陽高度為86°26′。

2.8 計算緯度：將太陽直射緯度21°56′以及正午太陽高度角86°26′代入公式：H=90°-|φ±δ|（φ為當地緯度，δ為太陽直射的緯度），得一元一次方程（已知兩地均位于北半球，時間為夏季）：90°-（φ-21°56′）=86°26′，解此方程，得：φ≈25°30′。

綜上所述，該中學的地理位置坐標為（25°30′N，103°48′E）。

在這個地理問題當中，我們應用了數學中三角函數的方法以及方程的思想，體現了數學這一基礎學科在解決地理實際問題中的巧妙使用，將不可能變為可能。

案例二：數學方法在時差問題中的應用

時差是由地球自轉而產生的，由于地球在自西向東自轉，就使得東邊的地點要比西邊的地點時間早，這便產生了時差。時差問題會延伸出地方時、時區、區時、日期劃分等概念，還涉及各種計算，學生感覺易混淆、頭疼。因此，我們引入數學方法，力求將時差問題化繁為簡，幫助學生理解和掌握。以下通過兩個例題加以說明。

例題1，已知云南曲靖（約104°E）所在時區的區時為正午12∶00，求此時的北京時間和紐約（約74°W）所在時區的區時。

該題是區時計算類問題。首先明確三地所屬的時區：曲靖：東七區，北京：東八區，紐約：西五區。此類問題的一般做法為：先求兩地間的時區差，再根據“東加西減”的原則進行計算。在該題中，我們在計算兩地的時區差時，可以引入數學中有理數的思想，以0°經線為中線，東時區視為“+”，西時區視為“-”（如圖2），設兩地的時區分別為x、y，則兩地時區差即為|x-y|個時區，故曲靖與北京的時區差為1個時區，曲靖與紐約的時區差為12個時區，進一步求得當曲靖區時為12∶00時，北京時間為13∶00，紐約區時為0∶00。該題引入了數學中的有理數的思想。

例題2，如圖為全球經緯線展開示意圖，圖中AS虛線代表晨昏線，D點為晨昏線與赤道的交點，同時也是GF的中點；陰影與非陰影部分代表6日和7日兩個不同的日期。讀圖（圖3），回答下列兩道題。

1.此時甲地的地方時為（ ）。

A.6日9時 B.6日21時

C.7日9時 D.7日21時

2.關于該圖的說法，正確的是（ ）。

A.AS線為晨線

B.BC線為國際日期變更線

C.赤道上西半球的白晝長于黑夜

D.赤道上東、西半球的白晝之比為23∶13

解題過程為：第1小題，根據題意圖中陰影與非陰影部分分別代表6日和7日兩個不同的日期，但并沒有明確指出各自的對應關系，此時需要使用分類討論法，假設兩種可能的情況。若假設陰影為6日，非陰影為7日，又知劃分兩個日期的界線是0時經線和180°經線（0時經線向東到180°經線為新的一天，0時經線向西到180°經線為舊的一天），則此時左側日界線為0時經線，右側日界線為180°經線。這種情況成立嗎？讓我們來驗證一下，據題意可知，AS線為晨昏線，D點為晨昏線與赤道的交點，故D點的地方時為6時或18時，而D點距左側日界線的經度間隔為45°（3個小時），可求得左側日界線地方時應為3時或15時，與假設矛盾，故這種假設是不成立的。若假設陰影為7日，非陰影為6日，則此時左側日界線為180°經線，右側日界線為0時經線，甲地位于BC線以西45°，所以其地方時為21時，又因甲地位于非陰影部分，即6日范圍內。綜上，甲地的地方時應為6日21時。

在本小題中，我們使用了分類討論的數學思想。

第2小題，A選項，D點位于0時經線（BC線）以西90°（6個小時），可求得D點的地方時為18時，故AS線應為昏線。B選項，BC線為0時經線，國際日期變更線（180°經線）應為左側日界線。C選項，可以應用數學中的集合以及圖形化的方法，使問題變得直觀、簡單。我們可以將赤道上西半球的范圍和白晝的范圍視為兩個集合，而二者的交集即為所求。已知赤道上西半球的范圍為20°W向西至160°E，又據題意求得晨、昏線與赤道的交點的經度分別為45°E、135°W，故赤道上屬于白晝的范圍為45°E向東至135°W。下一步，分別將這兩個集合表示在數軸上（如圖4），從圖中可直觀地讀出二者的交集，即：160°E向東至135°W，跨65°，所以赤道上西半球的白晝與黑夜的經度跨度分別是65°、115°。D選項，依然參照上圖，得到東、西半球白晝的經度跨度分別為115°、65°，約分后得兩者之比為23∶13，故D選項正確。在本題中，我們使用了集合和圖形化（數軸）的思想與方法。

在地理時差計算的問題中，我們引入了數學中的有理數、分類討論、集合、圖形化（數軸）的思想和方法，使看似復雜的地理問題變得直觀、清晰、易于理解，也體現了數學作為一門基礎學科在解決地理實際問題中的重要作用。

高中地理離不開數學，學生用好必要的數學工具是學好地理的必要條件，地理教師將地理教學與數學工具進行恰當的整合，這是提高地理教學效率的重要環節。

〔責任編輯：龐遠燕、汪二款〕