“兩句話”輕松解決方程問題

邱愛國

[摘 要]理解方程的意義，掌握等式的性質(zhì)是解方程問題的基礎。在解決方程問題的過程中，教師應剖析學生錯誤的成因，找到解決問題的策略，并在實踐中反思提煉。實踐證明，“先把負的變成正的”“能算的要先計算”這兩句話可幫助學生輕松解決方程問題。

[關鍵詞]方程；兩句話；解決策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）35-0044-02

一、錯題呈現(xiàn)

這三個是人教版教材五年級上冊第五單元“簡易方程”中學生最易出現(xiàn)的典型錯誤。

二、題型分析

形如a-x=b的方程，教材第68頁有例5“20-x=9”，學生作業(yè)情況稍好；形如a÷x=b的方程，教材中沒有相應的例題，課后練習有一道選擇題“3÷x=1.5（x=0.5 x=2）”，另有兩道解方程題“2.1÷x=3 6.3÷x=7”。這種安排不是很科學，學生的答案是套出來的，而不是從方程中解出來的。

形如a-bx=c，教材中一道題也沒有，編者可能把它歸在a-x=b中了，配套的作業(yè)本第50頁有一題“18-2x=16”，卻沒有專門的習題做分析講解，但后來解決問題時卻經(jīng)常出現(xiàn)，學生根本沒形成解題技能。

形如a（x-b）=c的方程，教材在給出第69頁例5（如下圖）解方程2（x-16）=8的第二種解法時，“2×16”這一步?jīng)]出現(xiàn)，直接出現(xiàn)2x-32=8。對乘法分配律掌握不扎實的學生根本無從得知這一步是從哪里來的。

形如ax±b×c=d的方程，即a（x±b）=c的展開式。本單元涉及的習題共有四道，配套的作業(yè)本另有四道，練習很充足，但因為沒有專屬例題，教師往往一筆帶過，結果一些理解能力稍差的學生一錯再錯。

三、解決策略

解方程的過程實際上是一連串依據(jù)等式性質(zhì)而展開的演繹推理過程，最終將原方程轉(zhuǎn)化為與其等價的“x=？”形式，“x=？”是方程變形的目標，說白了就是解決這樣一個問題：當x取什么值時，能使等式成立？建立方程的概念是學習解方程的基礎，等式的基本性質(zhì)是解方程的基礎，所以理解方程的意義及掌握等式的性質(zhì)，是解方程的前提。我認為，只要掌握好以下兩句話就可輕松解決方程問題。

第一句話：先把負的變成正的。

形如“a-（÷）x=b”的方程（包括a-bx=c），這看似簡單的方程，為什么學生錯誤率居高不下呢？原因是方程里的未知數(shù)逆向呈現(xiàn)，既然是逆的，那就先把它變成順的。

“減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算”這是學生早已牢固掌握的知識，低年級時“做減法想加法”“做除法想乘法”已成為學生計算減法和除法的順口溜。把這個已掌握的知識挖掘出來，與解方程聯(lián)系在一起，讓學生明白把逆向的題首先改成順向的題，問題就簡便多了。就好像人走路一樣，順著走方便，倒著走或因怕碰撞，或因怕摔倒，或因怕走歪，總之十分方便。對于形如a-bx=c的方程，我們可利用等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時加bx，如18-2x=16，方程兩邊可同時加2x，再移項，變成18-16=2x；對于形如a÷bx=c的方程兩邊同時乘x，如3÷x=1.5，變成3=1.5x，這樣一變，負的變成正的，新知就變成了舊知，問題也就迎刃而解了。

第二句話：能算的要先計算。

形如a（x-b）=c，ax±b×c=d的方程，學生解題錯誤率高的原因，一是不會把小括號里的算式看成一個整體；二是方程里至少有兩個運算符號。

一個算式或一個含有字母的式子，可以看成一個整體來思考，這樣的思考模式對于五年級學生來說是第一次出現(xiàn)。方程是個新知識，用字母可以代替一個數(shù)參與運算更是一個新鮮事物，是小學階段學生形象思維向抽象思維過渡的典型例子。這種思維背景下再要求把小括號里的算式看成一個“整體”，這無疑會成為學生解方程的絆腳石。如何幫助學生找到搬開這塊絆腳石的辦法是我們一線教師長期探討的問題。

我在突破“a（x-b）=c”這個難點時，先引導學生復習小括號的作用：小括號除了能改變運算順序外，還能把括號里的算式看作一個整體來參與運算；然后再讓學生把小括號里的“x-b”看成一個整體來進行計算。多次的教學實踐發(fā)現(xiàn)，學生還是避開整體利用乘法分配律來解題順手，也可與直接給出展開式ax±b×c=d的方程合并教學，使解決策略前后連貫。

下面重點介紹形如ax±b×c=d方程的解決策略。首先與四則運算掛鉤，但不是用它們之間的關系，而是用運算順序。對于乘除加減混合運算的題，先算乘除后算加減。如方程3x-2×6=24（作業(yè)本第72頁），教學時我先提問：“方程左邊既有減法又有乘法，我們要先算什么？”學生認為應先計算出2×6=12，方程演變成ax-b =c的形式，接著就利用上面第一句話，先把負的變成正的，兩邊同時加12，方程變成3x=24+12，這樣方程右邊又可先算了，3x=36，至此方程得解。

“我們要先算什么？”這一“問”至關重要，抓住了問題的本質(zhì)，學生就不會急著利用等式的性質(zhì)在方程兩邊同時除以6，而出現(xiàn)錯誤了。

形如ax+bx=c的方程，也可套用“能算的要先計算”這句話。“3x+x+6=26（課本第72頁）”是課本中稍復雜的一道方程題，在講評這道題時，我提問：“這個方程中有能先算的嗎？”當原方程變成“4x+6=26”后，新問題又可用老辦法解決了。

以后面對稍復雜的的方程，如左右兩邊均有未知數(shù)的方程，也可運用“先把負的變成正的”“能算的要先計算”來解決問題，與中學階段的“先合并同類項”順利“會師”。

當然，要十分重視方程的檢驗，要讓學生在理解“方程的解”的含義的基礎上，用代入法檢驗，養(yǎng)成及時檢驗的好習慣。

四、實踐反思

“簡易方程”是小學階段集中教學代數(shù)初步知識的單元，從算術到代數(shù)是人們對現(xiàn)實世界數(shù)量關系的認識的一次飛躍，也是數(shù)學思想方法的一次突破。以前教材給出的解方程的主要依據(jù)是加減運算與乘除運算的關系，雖易于理解，但要記憶的關系式太多，加法、乘法各一個，減法、除法各兩個，一共有六個，解題時學生錯誤率高，學習效果很不理想。

我?guī)Я司艑卯厴I(yè)生，進行了九次方程教學，實踐，提煉，再實踐，再提煉?！跋劝沿摰淖兂烧摹薄澳芩愕囊扔嬎恪?，這兩句話不僅使學生體會到方程的實質(zhì)，及方程中蘊含的等價思想和建模思想，還讓學生體驗到解決問題的策略——把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，即先找到自己認知領域的“最近發(fā)展區(qū)”，再超越這個“最近發(fā)展區(qū)”，從而到達更新更高的思維領域。

（責編 黃春香）endprint