一組最值難題“圓”來如此容易

☉江蘇省南京市金陵中學河西分校 李玉榮

一組最值難題“圓”來如此容易

☉江蘇省南京市金陵中學河西分校 李玉榮

引例（義務教育教科書蘇科版《數學》九年級（上冊）第154第16題）如圖1，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A、B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離，PB是點P到⊙O上的點的最長距離，你能說明理由嗎？

證明：如圖1，在⊙O是任取一點C（不為A、B），連接PC，OC.

因為PO＜PC+OC，PO=PA+OA=PA+OC，所以PA＜PC，即PA是點P到⊙O上的點的最短距離.

圖1

圖2

如圖2，在⊙O是任取一點D（不為A、B），連接PD，OD.

因為PO+OD＞PD，PB=PO+OB=PO+OD，所以PB＞PD，即PB是點P到⊙O上的點的最長距離.

研讀引例，筆者發現當點P在圓內時結論也成立，這些結論可以巧妙地用來解決一些最值問題，下面采擷幾例中考題，剖析解法，以饗讀者.

一、 動點在已知圓外

例1（2014年無錫）如圖3，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B的動點，則PE+PF的最小值是________.

圖4

圖3

解析：先將點P固定在AC的一個位置，連接PA、PB交⊙A和⊙B于點E、F，根據引例知此時“PE+PF的值最小值”，從而只需求“PA+PB的最小值”，而A、B是定點，P是CD上的動點，可用對稱法求解.如圖4，作點A關于CD的對稱點A′，連接A′B，交直線CD于點P，則點P與D重合，PA+PB的最小值就是A′B的長，易知∠BAA′=90°，∠A′= 30°，所以A′B=2AB=6，即PA+PB的最小值為6，于是PE+ PF的最小值為6-3=3.

評注：此題有三個動點，難度較大，先假定點P固定，P在⊙A、⊙B上，P為圓外的一點，根據引例知，當E、F分別是PA、PB與⊙A、⊙B的交點時，PE+PF最小，再利用對稱法求解.

二、 動點是斜邊為定值的直角三角形的直角頂點

圖5

例2（2013年武漢）如圖5，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是__________.

解析：點D為定點，H為動點，易證∠DAG=∠DCG，∠DCG=∠ABE，所以∠AHB=90°，故點H在以AB為直徑的圓上.

評注：此題難度很大，先利用全等三角形證明∠AHB=90°，發現點H是斜邊為AB=2的直角三角形的直角頂點，聯想到以AB為直徑的圓，D是⊙O外一定點，根據引例知H為OD與⊙O的交點時DH最小，從而得解.

三、 動點到一個定點的距離為定值

例3（2014年成都）如圖6，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是_______.

圖6

圖7

解析：因為MA′=MA=l，M為定點，所以點A′在以M為圓心，半徑為1的⊙M上，連接MC與⊙M交于點A′，如圖7，根據引例知此時A′C的長度最小.

過點M作MF⊥DC于點F，

在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，

所以CD=2，∠ADC=120°，

評注：此題動點A′到定點M的距離等于AM=1，為定長，聯想到以M為圓心、半徑為1的圓，C是⊙M外一定點，根據引例知A′為CM與⊙M的交點時A′C的長度最小，從而得解.

例4（2012年濟南）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=BC的中點為D，將ABC繞點C順時針旋轉任意一個角度得到△FEC，EF的中點為G，連接DG，在旋轉過程中，DG的最大值為（）.

圖8

所以點G在以C為圓心，半徑為4的⊙C上.

延長BC交⊙C于點G，根據引例知此時DG最大，DG的最大值=DC+CG=6，所以選B.

評注：此題動點G到定點C的距離為定長4，聯想到以C為圓心、半徑為4的圓，D為⊙C內一個定點，根據引例知G是射線DC與⊙C的交點時DG最大，從而得解.

例5（2012年義烏）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1.

（1）如圖9，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；

（2）如圖10，連接AA1，CC1，若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖11，點E為線段AB的中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

圖9

圖10

圖11

解析：（1）、（2）略.

（3）點P是線段AC上的動點，同時還繞點B按逆時針方向旋轉，不妨以“退”求進，先將點P固定在AC的一個位置，其對應點P1在以B為圓心、BP為半徑的⊙B上，延長BA、AB分別交⊙B于點P1，P1′，根據引例知此時EP1′最大、EP1最小，而BE=2，只需先求BP1的最大值和最小值：當BP1⊥AC時，小，此時EP1長度的最小值點P1與點C重合時，BP1=BC=5最大，此時EP1長度的最大值為5+2=7.

評注：此題難度很大，先將P固定在AC的一個位置，聯想到以B為圓心、BP為半徑的⊙B，E為⊙B內一個定點，根據引例知P是直線BE與⊙C的交點時，得到要想求線段EP1長度的最大值與最小值，只需求BP的最大值與最小值，問題不難得解.

義務教育《數學課程標準》（2011年版）指出：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，教學中注重結合具體的教學內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑.”上述幾道中考最值問題頗有難度，構造輔助圓將所求最值問題轉化為引例的模型，求解變得十分順暢，有助于學生初步形成“模型思想”、積累數學活動經驗，讓人不由感嘆：破解最值難題，“圓”來如此容易！H