熱環境下功能梯度圓柱殼的頻散特性

葉曦，孫永華，劉見華，姚熊亮

（1中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011；2哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱150001）

熱環境下功能梯度圓柱殼的頻散特性

葉曦1，孫永華1，劉見華1，姚熊亮2

（1中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011；2哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱150001）

基于經典殼體理論推導了溫度場作用下功能梯度材料圓柱殼自由振動方程，研究了沿厚度方向不同溫度分布對功能梯度殼體頻散特性的影響。研究結果表明：以徑向彎曲運動為主的傳播波受熱效應影響較為顯著；溫度效應對近場衰減波的影響隨著頻率的增大而減弱；共軛衰減波向近場衰減波轉化的頻率隨著溫度的升高而增大；與滿足一維穩態熱傳導條件的溫度分布相比，殼體最大溫升相同時，均勻升溫對殼體頻散特性的影響較大。該文結果可為功能梯度材料結構在熱環境中的波動特性研究提供參考。

圓柱殼；功能梯度材料；頻散；熱效應；體積分數指數

0 引言

功能梯度材料（FGMs）作為一種新型復合材料已被廣泛應用于船舶、航天、能源等關鍵工程領域。與傳統的復合材料不同，功能梯度材料的宏觀理化特性在空間上按梯度變化，從而使材料兩側呈現截然不同的性能和功能，使結構能更好地適應復雜環境。功能梯度材料多工作于熱環境下，且能保持良好的耐熱性、抗熱沖擊性、抗熱疲勞性、較高的機械強度和較好的力學性能。在材料高溫側采用耐熱性較好的陶瓷材料，在低溫側采用導熱性和強度較好的金屬材料，可有效降低結構中的熱應力。功能梯度材料對環境的良好適應性和材料本身的可調控性，使其擁有良好的開發和使用前景，加深對功能梯度材料典型結構（如圓柱殼結構）的認識和研究，具有較高的工程實用價值。

目前，國內外對功能梯度材料圓柱殼動態特性的研究已獲得相當多的成果。Loy[1]首先利用殼體理論研究了功能梯度圓柱殼的自由振動，討論了殼體參數以及功能梯度材料體積分數指數的變化對殼體固有頻率的影響，但沒有考慮溫度效應對殼體固有動態特性的影響。Kadoli[2]和Haddadpour[3]研究了特定溫度邊界條件下的功能梯度圓柱殼熱屈曲和自由振動特性,給出了不同結構邊界條件下，溫度改變對殼體最小自振頻率的影響。頻散效應是結構的固有波動特性，可由自由振動方程推得。現已有較多的文獻對圓柱殼結構的頻散特性[4-6]進行過研究。但是對熱環境下功能梯度材料圓柱殼波傳播特性的研究開展得還較少。當功能梯度圓柱殼兩側環境溫度發生變化時，會引起殼體固有特性的改變。因此，可以通過適當改變殼體兩側溫度，使結構的波動特性向有利的方向變化，達到對結構振動進行主動控制的目的。

本文研究指數型體積分數功能梯度圓柱殼在熱環境下的振動波頻散特性。基于經典殼體理論，采用波動法，推導沿厚度方向不同溫度分布下，功能梯度圓柱殼的自由振動方程。以不銹鋼/氧化鋯復合而成的功能梯度材料圓柱殼為例，分析比較了不同溫度分布及殼體材料參數對結構頻散特性的影響。所得結果可為功能梯度材料應用于高溫復雜環境下的波動特性研究提供參考。

1 基本理論

1.1 功能梯度材料基本特性

考慮由兩種材料復合而成的功能梯度材料圓柱殼，如圖1所示。兩者的體積分數遵循指數變化率，由此功能梯度材料的特性Pe可表示為：

其中：P可表示楊氏模量E、密度ρ、泊松比μ、熱傳導系數κ和熱膨脹系數α等；R為殼體中面半徑；h為殼體厚度，h=Ro-Ri，下標i和o分別表示殼體內側和外側；N為體積分數指數，取值范圍是[0，+∞）。

圖1 功能梯度材料圓柱殼模型Fig.1 The model of FG cylindrical shells

功能梯度材料多工作于高溫環境中，其組成材料的特性也大多是溫度的函數，可用下式表示：

其中：T表示溫度，單位是K；P0，P-1，P1，P2和P3為溫度系數，其值和材料有關。為了計算方便，本文中假定E、ρ、α和κ為溫度的函數，而泊松比μ與溫度無關。

根據Love殼體理論[7]，殼體微段的幾何關系滿足：

其中：u，v，w為中面位移；ex，eθ和exθ分別為殼體微段正應變與切應變。

不考慮溫度改變的影響，殼體微段的內力和內力矩為：

殼體的平面應力狀態可表示為：

其中：σx，σθ和σxθ分別為殼體微段的正應力和切應力；且，

當殼體內外側溫度發生改變時，會在殼體內產生熱應力。設溫度僅沿厚度方向改變，則相應的熱（預）內力為：

其中：△T是溫度差，為改變后的殼體溫度與初始溫度之差。由此，殼體微段內的總內力和總內力矩為

1.2 系統控制方程

假定殼體內外均為輕流體，忽略流體對殼體的聲壓反作用力。殼體受到溫度改變產生的熱（預）應力，可得功能梯度材料圓柱殼的自由振動方程如下：

假定溫度僅沿厚度方向改變，而在軸向和周向為均勻分布，殼體預變形為軸對稱形式，圓柱殼長徑比較大且兩端為簡支邊界，可知[8]：

采用波動法[9-10]，設殼體的中面位移模式為：

其中：n為周向模態數，km為軸向波數，ω為圓頻率。

將（1）-（6）式、（10）式和（11）式代入（7）-（9）式，合并化簡可得：

式中：λ＝kmnR為無量綱波數；f為頻率；Ai，Bi，Ci分別為拉伸剛度，耦合剛度以及彎曲剛度，可定義如下：

由于不考慮殼體周圍輕流體的影響，殼體的頻散特征方程是關于λ的八次多項式方程，其解可以分為三類：當λ為實數時，表示沿殼體軸向的傳播波；當λ為虛數時，表示沿殼體軸向的近場衰減波；而當λ為一對共軛復數時，表示一對沿相反方向傳播的共軛衰減波。

為了研究溫度效應對殼體自由振動時各運動分量的影響，可由（12）式得殼體振動波各運動分量之比為：比值較小說明徑向運動占的成分較大，比值較大則說明軸向運動或周向運動所占的成分較大。

2 數值結果與討論

定義功能梯度圓柱殼內層材料為不銹鋼，外層材料為氧化鋯，材料參數見表1，泊松比μ=0.3。殼厚徑比h/R=0.02。

表1 功能梯度圓柱殼組成材料的特性Tab.1 The material properties of FG cylindrical shells

考慮兩種溫度分布方式：

（1）TD1，沿厚度方向均勻升溫。假定初始狀態殼體溫度為T1，升溫后為T2，令T（z）=T2，△T=T（z）-T1=T2-T1。

（2）TD2，沿厚度方向溫度分布滿足穩態一維熱傳導條件，假定初始狀態殼體溫度為T1，升溫后殼體外側溫度為T2，內側溫度保持不變，即[3]：

將上式按級數展開，合并簡化后可得：

為了驗證本文理論和方法的正確性，按照文獻[1]的參數計算溫度為300 K時的功能梯度材料殼體固有頻率，結果如表2所示。其中m表示殼體軸向半波數。

分別計算TD1和TD2時，對應頻率的振動波無量綱波數，研究溫度對功能梯度材料殼體頻散特性的影響。按照文獻[11]的方法，計算在本文所取的殼體材料參數和邊界條件下，均勻升溫后的殼體屈曲溫度。如圖3所示，殼體厚徑比為0.02時，不同體積分數指數對應的屈曲溫度。分析圖2可知，一般情況下，T1和T2都相同時，TD1與TD2相比，升溫后殼體厚度方向各位置的溫度，TD1均高于TD2。由（6）式可知，溫度改變越大，殼體內熱應力越高，屈曲溫度就越低。因此TD1的屈曲溫度要低于TD2。為了避免殼體由于熱應力產生屈曲，在討論溫度對頻散特性的影響時，殼體升溫不應超過當前的屈曲溫度。由此可知，只要保證殼體升溫低于圖3所示的屈曲溫度，在計算TD1和TD2下的頻散特性時，即可不考慮熱應力帶來的穩定性問題。本文在計算過程中，取功能梯度材料體積分數指數N=1。

圖2 TD2溫度沿厚度方向分布Fig.2 The temperature distribution through the thickness of TD2

圖3 屈曲溫度與體積分數指數的關系Fig.3 The relationship between the buckling temperature and exponent of volume fraction

表2 功能梯度圓柱殼固有頻率比較（m=1，h/R=0.002，L/R=20）Tab.2 The natural frequency comparison of FG cylindrical shells(m=1,h/R=0.002,L/R=20)

圖4表示功能梯度殼體在自由狀態（取300 K）下均勻升溫至450 K后，結構內振動波的頻散特性。實線表示傳播波，虛線為共軛衰減波，點線為近場衰減波（下同）。圖5以n=1為例，給出了傳播波以及近場衰減波各運動分量之間的關系。結合圖4和圖5可推得，各周向模態下，R1波主要以軸向拉伸運動為主，R2波主要以周向扭轉運動為主，R3波和I1波主要以徑向彎曲運動為主。隨著周向模態數的增大，各支傳播波的截止頻率不斷提高。

當溫度沿厚度方向均勻升高時，各支傳播波的頻散曲線上移，軸向波數增大。以彎曲運動為主的R3波，受溫度的影響較為明顯。而分別以拉伸運動和扭轉運動為主的R1波和R2波受溫度的影響較小。由此可知，在一定的軸向波數下，隨著溫度的升高，殼體徑向振動固有頻率有較明顯的降低，而軸向振動和周向振動的固有頻率受溫度的影響較小。

共軛衰減波在一定的頻率之后轉化為近場衰減波，隨著周向模態數的增大，共軛衰減波和近場衰減波的個數增加，共軛衰減波向近場衰減波轉化的頻率也隨之增高。當溫度升高時，I1波軸向波數減小。在I1波出現初期的頻段內，受溫度的影響較為明顯，隨著頻率的增大，溫度對I1波的影響逐漸減弱。當溫度升高時，共軛衰減波向近場衰減波轉化的頻率也有所提高。隨著周向模態數的增大，溫度改變前后轉化頻率之間的差距也逐漸增加。I1波以外的近場衰減波受溫度的影響較小。

圖4 TD1時溫度效應對功能梯度圓柱殼頻散特性的影響Fig.4 The thermal effect on dispersive characteristics in TD1

圖5 自由狀態下各支振動波運動分量比（n=1）Fig.5 Motion components radio of vibration wave in free state(n=1)

現比較TD2溫度分布與TD1溫度分布方式對殼體頻散特性的影響。設TD2時，功能梯度殼體外側升溫至450 K，而內側溫度保持不變。如圖6所示，兩種溫度場下，頻散曲線的整體趨勢相似，TD1時各支傳播波的軸向波數高于TD2，其中R3波軸向波數的差距較為明顯，隨著頻率的增大差距逐漸減小。TD1時，共軛衰減波向近場衰減波轉化的頻率高于TD2，且隨著周向模態數的增加，差距增大。兩種溫度分布方式下，I1波之外的其余近場衰減波頻散曲線相差較小，基本重合。結合圖4結果可知，與自由狀態相比，當殼體外側溫度相同時，TD2溫度分布對頻散的影響小于TD1。

圖6 不同溫度分布方式對功能梯度殼體頻散特性的影響Fig.6 The difference of the influence on dispersive characteristics between the TD1and TD2

由圖2可知，體積分數指數變化會改變TD2溫度場沿厚度方向的溫度分布，由（6）式可得，這將使預內力發生變化并由此影響殼體的固有振動特性。

以n=1時傳播波R3和近場衰減波I1為例，研究TD2溫度場下，體積分數指數改變對振動波頻散特性的影響。

如圖7所示，可知在TD2溫度分布下，體積分數指數的改變對殼體頻散特性的影響較小。

圖7 TD2溫度分布下體積分數指數頻散特性的影響（n=1）Fig.7 The influence of volume fraction exponent on the dispersive characteristic in TD2(n=1)

3 結論

本文基于經典殼體理論，以不銹鋼和氧化鋯復合而成的功能梯度材料圓柱殼為例，研究了熱環境下功能梯度圓柱殼的頻散特性，并比較了不同溫度場對頻散的影響。當溫度沿厚度方向改變后，功能梯度殼體的宏觀材料特性沿徑向發生變化，并使殼體受到熱（預）內力作用，表現為在殼體自由振動方程中加入了熱（預）內力項，最終導致殼體波傳播特性的改變。

在不同溫度場作用下，以徑向運動為主的振動波受溫度影響較大。共軛衰減波向近場衰減波轉化的頻率隨著溫度的升高而增大。沿厚度均勻升溫與非均勻升溫相比，當殼體最大溫升相同時，殼體頻散特性相似，且前者對頻散的影響高于后者。功能梯度材料的體積分數指數會對非均勻溫度場沿殼體厚度方向的溫度分布產生影響，而對殼體頻散特性的影響較小。

[1]Loy C T,Lam K Y,Reddy J N.Vibration of functionally graded cylindrical shells[J].International Journal Mechanical Sciences,1990,41(3):309-324.

[2]Kadoli R,Ganesan N.Buckling and free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells subjected to a temperature-specified boundary condition[J].Journal of Sound and Vibration,2006,289(3):450-480.

[3]Haddadpour H,Mahmoudkhami S.Free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells including thermal effects[J].Thin-Walled Structure,2007,45(6):591-599.

[4]Scott J F M.The free modes of propagation of an infinite fluid-loaded thin cylindrical shell[J].J Sound Vib,1998,125(2): 241-280.

[5]Schenck H A.The efficient calculation and display of dispersion curves for a thin cylindrical shell immered in a fluid[C]// Proc.ICA,Paper B8-2,1992.Beijing,China,1992.

[6]Guo Y P.Approximate solutions of the dispersion equation for fluid-loaded cylindrical shells[J].J Acout.Soc.Am.,1994, 95(3):1435-1440.

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[9]Zhang X M,Liu G R,Lam K Y.Vibration analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach[J].J Sound Vib,2001,239(3):397-403.

[10]Zhang X M,Liu G R,Lam K Y.Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells using the wave propagation approach[J].Applied Acoustics,2001,62(3):229-243.

[11]Wu Lanhe,Jiang Zhiqing,Liu Jun.Thermoelastic stability of functionally graded cylindrical shells[J].Composite Structures,2005,70(1):60-68.

Dispersion characteristics of functionally graded material cylindrical shells in the thermal environment

YE Xi1,SUN Yong-hua1,LIU Jian-hua1,YAO Xiong-liang2
(1 Marine Design&Research Institute of China,Shanghai 200011,China;2 College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

The research about wave-motion characteristics of functionally graded material structure in the thermal environment was presented.Based on the classical shell theory,the free vibration equations of functionally graded cylindrical shells in the different temperature fields were deduced.The results show that the thermal effect is obvious on the propagation wave whose main motion component is bending.The thermal effect on the near-field decaying wave is reduced with the increment of the frequency.The conversion frequency from conjugate decaying waves to near-field decaying waves is increased with the increment of the temperature.Compared with the nonlinear temperature distribution through the thickness which meets the 1-D thermal conduction condition,as the same maximum temperature rise,the thermal effect of uniform temperature rise on the dispersion characteristics is more obvious.The results in this paper could provide reference for the research about wave-motion characteristics of functionally graded material in the thermal environment.

cylindrical shell;functionally graded material;dispersion characteristics;thermal effect; exponent of volume fraction

O343.2

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.04.009

1007-7294（2015）04-0411-09

2014-11-16

國家自然科學基金重點項目（50939002）；國家自然科學基金青年基金（11402143）

葉曦（1987-），男，博士，E-mail:yexi0527@163.com；孫永華（1968-），男，研究員。