基于總應變能的多軸疲勞模型研究

孫楠楠，李國祥，白書戰，王洋，魏濤

（1山東大學能源與動力工程學院，濟南250061；2濰柴動力股份有限公司技術中心，山東濰坊261205）

基于總應變能的多軸疲勞模型研究

孫楠楠1，李國祥1，白書戰1，王洋2，魏濤2

（1山東大學能源與動力工程學院，濟南250061；2濰柴動力股份有限公司技術中心，山東濰坊261205）

該研究提出一種多軸疲勞壽命預測模型。結合現有的幾種多軸疲勞模型的優點和不足之處，分別對正應變能部分和剪應變能部分做出了修正，提出了一個能夠適用于多種載荷形式的多軸疲勞壽命預測模型。該模型通過求解莫爾圓把剪應變幅作為臨界面判定參量，把臨界面上的總應變能作為損傷參量。運用SNCM630合金鋼、純鈦和鈦合金等4種材料的疲勞試驗數據對提出的模型進行評估和驗證，盡管材料特性和載荷形式各異，但所有的預測壽命基本都落在了試驗壽命兩倍的公差帶以內，這證明提出的新模型具有較高的預測精度。

多軸疲勞；能量準則；臨界面；多軸比例—非比例載荷

0 引言

隨著對彈塑性力學和疲勞裂紋萌生機理的深入研究，基于應變的疲勞壽命模型研究得到了很好的發展，彌補了S-N方法只基于統計數據但缺乏深入的理論基礎的弊端。目前商業軟件中已經將Manson-Coffin模型、Morrow模型、SWT模型等單軸模型引入了結構件的應用當中并取得了良好的效果。發動機結構件在工作過程中幾乎都是處于多軸應力狀態下的，但是目前仍然沒有一個公認的多軸疲勞壽命模型。目前的多軸疲勞壽命模型主要分為三類：應力模型、應變模型和應變能模型。無論應力、應變模型還是能量模型，與臨界面法結合都是目前最流行且最有效的方法。KBM模型、Wang-Brown模型、Fatemi-Socie模型都是結合臨界面法的有效的應變模型，國內也有王英玉、尚德廣、李靜、吳志榮等提出了幾種非常準確的基于應變和臨界面的多軸模型。但是基于應力和應變的臨界面法因為缺乏嚴格的連續動力學理論基礎而飽受質疑，因此本研究是在連續動力學和彈塑性力學的基礎上，把應變能作為疲勞損傷參量進行了深入的研究。本研究是在參考了SWT[1]、Glinka[2-3]、Chen[4]、Fatemi-Socie[5]、Varani-Farahani[6]等模型的基礎上，提出了一種新的適用于多軸比例/非比例載荷的應變能模型。新模型不但考慮了平均正應力、平均剪應力的影響，還考慮了多軸比例/非比例載荷強化效應。本研究還通過文獻中的大量試驗數據，驗證了新模型的準確性。

1 新模型的提出

1.1 臨界面的確定

自從臨界面的思路被Brown和Miller等提出，由于它的有效性和準確性，該方法得到了很好的發展。目前臨界面的判定有基于應力、應變和應變能等方法。經過對比研究，新模型把剪應變幅作為臨界面的判定參量。本研究以薄壁圓管作為簡化的研究對象，通過應力—應變的莫爾圓得到應力應變的彈塑性張量：

文獻[7-9]中給出了詳細的推導過程，基于最大剪應變幅的臨界面的具體求解表達形式為：

式中：εa為正應變幅，γa為剪應變幅，θ為相位差，εe和εp分別為彈塑性應變。

1.2 新模型的推導

新模型中的損傷參量由正應變能和剪應變能兩部分組成，本研究分別對兩部分作出改進和推導。

1.2.1 正應變能部分

Sines等人[10]在其研究中指出：在拉壓載荷下，平均拉應力能夠加速疲勞的發生，而平均壓應力能夠延長疲勞壽命，如圖1（a）所示?，F有的模型中，也大都已經考慮到了平均正應力的影響，如現在已經被疲勞軟件采用的Morrow模型和SWT模型都考慮了平均正應力修正。文獻[11]中的對比研究表明：基于應變能的SWT模型能夠比基于應變的Morrow、Manson-Coffin模型更加準確地預測高低周疲勞，SWT模型公式如下：

SWT模型主要有兩個缺點：（1）該模型的疲勞損傷參量過度重視了平均應力而忽略了應變幅對疲勞壽命的決定性作用，當平均正應力的值太大時，SWT模型就不再能準確預測疲勞壽命，文獻[11]中證明了這一點。（2）Bergmann等人[12]通過研究發現，平均應力對彈塑性階段的影響是不一樣的，平均應力對彈性階段的影響程度要強于對塑性階段的影響，而SWT模型對平均正應力的修正沒有考慮到這一點?；谏鲜鰞牲c考慮，對SWT模型進行變形：

式中：σf′為疲勞強度系數，b、c分別為疲勞強度指數和疲勞延性指數，εf′為疲勞延性系數，E是彈性模量，σa為正應力幅，σm為平均正應力。

1.2.2 剪應變能部分

基于Glinka[2-3]和Chen[4]模型，剪應變能部分可用如下公式表達：

Sines等人證明了正應力對扭轉疲勞和拉壓疲勞的作用是一致的，如圖1（b）所示，卻認為平均剪應力對疲勞壽命沒有影響。但是Papadopoulos[13]、Dang Van[14]、Liu[15]、McClaflin和Fatemi[16]等人都通過研究證明了平均剪應力會使疲勞壽命縮短?？紤]平均剪應力的影響，可將公式（8）改寫成如下形式：

考慮到正應力對單軸扭轉疲勞的影響，在損傷參量中引入正應力修正參數（1+σm/σf′），則剪應變能部分最終的表達形式如下：

式中：τf′為剪切疲勞強度系數，b0，c0分別為剪切疲勞強度指數和剪切疲勞延性指數，γf′為剪切疲勞延性系數，G是剪切模量，τa為剪應力幅，τm為平均剪應力。

圖1 平均正應力對疲勞強度的影響Fig.1 The effect of axial mean stress

1.2.3 多軸模型

經過前面兩個部分對正應變能部分和剪應變能部分的推導，多軸疲勞模型的基本形式為：

但是多軸載荷下的疲勞壽命預測模型不僅是前面兩部分的簡單組合，還要考慮多軸作用及非比例強化效應。特別是在非比例載荷下，應力應變主軸方向的變化會導致更多位錯的發生和滑移帶的形成，從而加速疲勞過程。Socie和Marquis等人[17]曾在其研究中發現，在應變幅不變的情況下，相位差意味著更多的應變能，因此在疲勞模型中需要引入參數修正非比例效應。Fatemi和Socie[5]在FS模型的損傷參量的中提出修正參數（1+nσn，max/σy）來體現多軸及非比例效應，后來Varvani-Farahani等人[6]又針對此修正系數的不足進行了改進，將參數修改為（1+σn，m/σf′）。本研究發現臨界面上的平均正應力為零時，σn，m=0時，Varvani-Farahani的修正參數無法體現正應力對剪應變能的影響，因此多軸模型中將剪應變能部分的正應力修正項（1+σm/σf′）更改為（1+σn，max/σf′）。事實上，基于莫爾圓求解臨界面的過程也已經考慮到了多軸及非比例效應對疲勞壽命的影響。另外在計算過程中發現，僅用（1+σn，max/σf′）對剪應變能進行修正，使得預測壽命偏長，因此本多軸模型在剪應變能部分引入了參數P。P可通過材料的單軸扭轉試驗直接獲得，數值在1.0～1.5之間，并未給模型增加未知量。多軸疲勞壽命模型的最終形式為：

2 數據對比及分析

通過文獻[18-20]中的試驗數據及材料參數，運用新模型對多種材料在各種載荷下的疲勞壽命進行的預測，表1為本研究所用到的材料的性能參數。計算結果通過Python編程計算獲得，計算中對于復雜的載荷采用雨流計數法，應力—應變模型為Miner-Palmgren線性模型。

表1 材料屬性Tab.1 Fatigue properties of materials used in this study

（1）文獻[18]中將SWT模型、Chen模型、FS模型、VF模型的預測結果和SNCM630的試驗結果進行了對比。SWT模型對單軸拉壓載荷預測結果很好，但是對多軸載荷的預測結果和試驗數據一致性差，很多點都落在了5倍的公差帶以外。Chen模型對單軸扭轉載荷的結果與試驗結果一致性很好，但是對于其它載荷下預測壽命都偏長，這主要是由于該模型沒有充分考慮平均應力及多軸效應導致的。FS模型和VF模型在低周范圍內預測結果都與試驗數據一致性很好，在高周范圍內有一定的偏差，有部分點甚至落在了三倍的公差帶以外，但大多數點都落在了兩倍的公差帶以內。新模型的預測結果基本都落在了兩倍的公差帶以內。

（2）對于材料Pure Titanium和Titanium Alloy BT9，文獻[19]運用Von Mises等效應變模型和FS模型分別對兩種材料的疲勞壽命進行了預測。Von Mises等效應變模型的預測壽命基本能夠落在三倍的公差帶以內，FS模型的預測結果基本落在兩倍的公差帶內。新模型的預測數據全部都落在試驗數據兩倍的公差帶以內。

（3）文獻[20]中將KBM模型和FS模型的預測結果和Titanium Alloy TC4的試驗結果進行對比。兩個模型在低周范圍內基本都落在了兩倍的公差帶以內，但是高周范圍內很多點與試驗結果偏差較大，有部分點甚至落在了三倍的公差帶以外。本研究提出的新模型的預測結果全部都落在兩倍的公差帶以內。

圖2 新模型預測壽命和壽命試驗值的對比Fig.2 Comparison of consistency between predicted and observed data based all kinds of loading

3 結論

（1）本研究通過求解莫爾圓，將剪應變幅作為確定臨界面參數，將臨界面上的總應變能作為損傷參量。新模型不僅分別對正應變能和剪應變能部分做出了修正，還引入一個新的修正系數（1+σn，max/σf′）來體現多軸非比例效應。

（2）新模型不但提出了新的損傷參量，還給出了具體的疲勞壽命表達式。將多種材料在各種不同載荷形式下的預測壽命和試驗結果對比，雖然材料類型不同，載荷形式不同，但是幾乎所有的預測壽命都落在了試驗壽命兩倍的公差帶以內，這證明了新模型的準確性和廣泛適用性。

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Study on multiaxial fatigue criterion based on total strain energy

SUN Nan-nan1,LI Guo-xiang1,BAI Shu-zhan1,WANG Yang2,WEI Tao2
(1 School of Energy&Power Engineering,Shandong University,Jinan 250061,China; 2 R&D Center,Weichai Power Co.,Ltd,Weifang 261205,China)

A new multi-axial model fatigue criterion is proposed.Taking into account the advantage and shortage of several existing multi-axial fatigue criteria,modifications are made on the normal energy and shear energy part,and a new multiaxial fatigue criterion is proposed to predict fatigue life under proportional and non-proportional loadings.Through the calculation of Mohr’s circle,shear strain amplitude is taken as the parameter to determine the critical plane and total strain energy is taken as the damage parameter of the new model.The model is evaluated by the multiaxial fatigue test data of SNCM630 steel,pure titanium,titanium alloy BT9,and titanium alloy TC4.Although loadings are complex and various,the predicted data are almost within a factor of 2 scatter band of the test results.The results show that the new model has a higher predicted accuracy.

multi-axial fatigue;energy criterion;critical plane; proportional and non-proportional loading

TK4TG1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.04.008

1007-7294（2015）04-0405-06

2014-09-06

國家高科技研究發展計劃資助863項目（2014AA041501）

孫楠楠（1985-），女，博士研究生，E-mail:sunnan1020@163.com；

李國祥（1965-），男，教授，博士生導師，E-mail:liguox@sud.edu.cn。