球體波能轉換裝置捕獲能量的理論研究

張顯濤，楊建民，肖龍飛

（上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240）

球體波能轉換裝置捕獲能量的理論研究

張顯濤，楊建民，肖龍飛

（上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240）

球體波能轉換裝置在波浪的激勵下可以同時在水平和豎直兩個模式振蕩?；诰€性微幅波浪和勢流理論，將波浪與球體相互作用簡化為球體固定不動，波浪繞過球體和球體在靜止流體中運動。線性疊加以后得到總的速度勢，計算出球體波能轉換裝置的平均功率和能量俘獲寬度因子的解析表達式。理論研究表明：裝置與波浪運動的相位差是影響波能的最重要的參數，最優相位差為-π/2，并且給出了最優相位差調節的理論表達式。另外，對波長、波幅、球體半徑、水深和球心距靜水面的距離等因素也進行了分析。

球體波能轉換裝置；理論研究；平均功率；能量俘獲寬度因子；影響因素

0 引言

相對于風能，波能蘊含更高的能量密度，是很有前景的新型能源。但是，由于海洋環境的復雜性，通常認為波浪能的利用比風能晚了二十年，而且擴張性發展會在2030年左右[1]。

波能發電裝置據其工作原理可分為振蕩水柱式，振蕩浮體式和收縮坡道式三種，Falcao[2]對此有比較詳細的介紹。振蕩浮體式是研究較多的一種裝置，波能的捕獲是利用裝置的振蕩。浮子式波能轉換裝置主要是利用浮子的垂蕩運動。近岸振蕩浮體波能轉換裝置是利用橫蕩運動。本文研究的球體波能轉換裝置充分利用其與波浪相互作用的橫蕩與垂蕩運動，從而可以獲得更高的能量。振蕩浮體式波能轉換裝置與波浪相互作用研究的方法通常是數值計算和模型試驗。Li Ye和Yu Yi-Hsiang[3]總結了數值計算的方法有格林函數法，基于勢流理論的Morison方程求解粘性力，以及基于CFD的求解Navier-Stokes方程的方法。Babarit等人[4]對很多振蕩浮體式波能轉換裝置進行了數值計算，以期給數值計算提供一個參考標準。Orer和Ozdamar[5]對板式波能轉換裝置進行了實驗探究。Flocard等[6-7]對波浪中垂直柱體的縱搖運動的波能捕獲進行了實驗探究。

本文采用與數值計算和實驗探究不同的方法，即對球體波能轉換裝置采用理論分析的解析方法，研究了裝置在波浪作用下，同時發生橫蕩和垂蕩兩種運動模式下的波能捕獲情況，推導了球體捕獲的平均功率和波能俘獲寬度因子，分析相對運動相位偏差、波長、波幅、水深、球體半徑等參數對捕獲能量的影響。

1 波能轉換裝置描述

本文研究的球體波浪能轉換裝置位于水面以下，可以同時在水平和垂向振蕩，通過液壓泵將機械能進一步轉化成電能。球體波能轉換裝置與波浪的相互作用如圖1所示。圖中標出了球體的位置和尺寸。球體的半徑為R；球心位于靜水面以下，距離為h；水深為H；規則波的幅值為A，波長為λ。球體在波浪作用下的水平速度為U（t），垂向速度為V（t）。本文的目的是基于線性波浪理論，計算球體上的水平力FH（t）和垂向力FV（t），然后計算平均捕獲能量P和能量俘獲寬度因子ζcapture。忽略粘性力的作用，粘性力作為一種耗散力，認為本文計算的結果作為能量捕獲的一個上限，粘性力的作用會使能量捕獲有所減少。

2 波能轉換裝置與波浪的相互作用

2.1 線性波浪和勢流理論

當波浪的幅值與波長之比A/λ＜＜1時，可以認為波浪是線性的。線性微幅波浪（Airy波）假設下，沿x方向傳播的行進波在有限水深的速度勢[8]為

其中：φ是流體的速度勢，A是波幅，g是重力加速度，w是波浪的圓頻率，H為水深，y是距離靜水面的距離。k是波數，定義為k=2π/λ。

勢流理論是在忽略流體粘性的情況下得到了有關流體運動和動力的理論。在理想流體的假設下，存在速度勢的拉普拉斯方程，

令u為水平速度，v為垂向速度，則速度勢滿足，

在球坐標系中，不妨設速度勢為φ（r,θ,β），則有

2.2 球體與波浪相互作用下流場的總的速度勢

波浪與物體相互作用分為兩個子問題[9]，物體在波浪中靜止不動，入射波對物體發生作用，這部分的速度勢分別是入射勢和繞射勢；物體在靜水中以入射波浪的頻率發生振蕩，沒有入射波，這部分的速度勢稱為輻射勢。兩種情況下的三種速度勢線性疊加得到物體與波浪相互作用的流體總的速度勢。

本文基于這種處理方法，對球體波能轉換裝置與波浪的相互作用簡化，一是假定球體不動，水平和垂直來流繞過球體；二是假定球體在靜水中做水平和垂直運動。Newman[8]運用分離變量法對來流繞過球體的速度勢進行求解，給出以速度U的來流繞過固定的半徑R的球體的速度勢φ為

半徑為R的球體在靜水中以速度U做運動，其流場的速度勢為

首先假定球體固定不動，分別有速度為u的水平來流和速度為v的垂直來流繞過球體波能轉換裝置，依據（6）式可得速度勢

其中：當球體的尺寸相對于波長而言是一個小量時，設球體運動的幅值與水質點響應方向上運動的幅值相等，但是存在一個相位差φ，球體運動的水平和垂向速度分別為：

將兩種情況下的速度勢進行線性疊加可以得到，球體波能轉換裝置與波浪相互作用下流場總的速度勢

可以驗證流場中總的速度勢是滿足球體坐標系下的拉普拉斯方程的，即φtotal滿足

2.3 波浪對球體波能轉換裝置的作用力

非定常場中表征流場動力的伯努利方程為

其中：C（t）是與時間有關的常量，不妨將C（t）放到速度勢φ中得到齊次的伯努利方程：

依據（17）式，可以得到

依據（15）式，可以得到

球心的坐標為（0，-h），球體的半徑為R，以球心上的速度值來近似表示整個球面上的速度值，則有

綜上可得，作用在波能轉換裝置的總水平力為FH，總垂向力為FV：

2.4 球體波能轉換裝置在波浪中的平均捕獲能量和能量俘獲寬度因子

依據（26）式和（27）式可以計算球體波能轉換裝置在一個波浪周期內的平均捕獲能量為

Newman[8]給出了單位波峰長度下，單位時間內，波浪的傳遞功率為

其中：Vg為波群速，VP為波浪的相速度，

波能轉換裝置的能量俘獲寬度因子ζcapture定義為轉換裝置的捕獲能量與波浪的傳遞功率和轉換裝置在垂直波浪傳播方向上的尺度之積的比值[10-11]，即

這里假定球體的水平方向的運動速度幅值Umax，垂向的運動速度幅值Vmax分別與水質點的水平方向的速度幅值和垂向的速度幅值相等，即：

當水深H→∞時，有能量俘獲寬度因子的表達式

3 波能轉換裝置的平均捕獲能量和能量俘獲寬度因子的影響因素分析

3.1 波能轉換裝置與波浪之間運動的相位偏差對能量俘獲寬度因子的影響

波能轉換裝置與波浪之間的運動相位差是影響平均捕獲波能和波能俘獲寬度因子最重要的因素。在有限水深的情況下，（34）式表明當相位偏差φ為時，能量俘獲寬度因子達到最大值，即最優相位差為此時球體運動與所受的波浪力同相位，這時功率最大。而且波能轉換裝置的捕獲能量的相位差的有效區間為（-π，0），在這個區間內，能量俘獲寬度因子是正值，波能轉換裝置的運動是比水質點的運動超前的。當相位差位于區間（0，π）時，波能轉換裝置的運動比水質點落后，這時捕獲的能量是負值，是無效區間。

為了得到最優相位差，對波能轉換裝置的運動控制是必要的[12]。在初始布置球體波能轉換裝置時，控制其相位差的初始值為，其運動的圓頻率是w0，在實際情況下，外界波浪的頻率發生變化變成w（t），那么通過直接或間接對波浪周期的測量，利用負反饋，依據下式進行相位差的實時調節：

這樣，可以保證波能轉換裝置的運動始終保持一個最優相位差，獲得最大的能量捕獲。在具體的實現過程中，因為相位調節需要外部能量的輸入，即存在能耗。因此要綜合權衡相位調節后的最大捕獲能量與調節需要的輸入能量，使凈捕獲能量達到一個最優值。

3.2 其他因素對能量俘獲寬度因子的影響

在有限水深的情況下，依據（34）式，其他影響能量俘獲寬度因子的因素主要有波數k，球體半徑R，水深H，球體球心與靜水面距離h等四個因素。下面將四個影響參數進行無量綱化，即可以得到三個影響能量俘獲寬度的無量綱因素，

圖2 水深對能量俘獲寬度的影響，在kR=0.314，kh=0.314Fig.2 The influence of water depth on the ratio of power capture width

圖3 圓柱半徑R和球心距離靜水面距離h對能量捕獲寬度的影響Fig.3 The influence of sphere radius R and distance h on the ratio of power capture width

取波長λ=100 m，球體半徑R=5 m，球心與靜水面距離為h=5 m，在最優相位差時，得到水深對能量俘獲寬度因子的影響如圖2所示，可以發現，水深增加，能量俘獲寬度因子ζcapture增大，但增長變慢，當kh≥4.5時，能量俘獲寬度因子ζcapture逐漸趨于一個穩定值。水平線代表應用（36）式計算得到的結果。一般來講，水深越大，能量俘獲寬度越大，但是當水深大致超過波長的一半時，水深對能量俘獲大小的影響可以忽略。因此在實際布置波能轉換裝置時，要選擇一個適當的水深，以追求能量獲取較大和維護控制經濟可行的一個較優的水深選擇。下面假設在深水情況下，在最優相位差時，討論球體的半徑R和球心距靜水面的距離h對能量捕獲寬度的影響。由圖3，球體波能轉換器半徑R的增大，能量捕獲寬度因子ζcapture增大，開始增加較慢，后來增加較快。在實際海況下，波能轉換裝置的尺寸選取還要考慮結構強度，共振區間和維護的成本等。因此，實際選取尺寸時，尺寸并非越大越好。球體球心距離靜水面距離增加，能量捕獲寬度因子減小，在距離較小時，能量捕獲的減小較慢，但隨著距離的增加，能量捕獲寬度因子會出現較大幅度的減小，如圖3中kh=0.754 0時的曲線明顯偏離了其他幾組曲線。所以目前研究較多的浮體式波能發電裝置基本都是浮在水面上的。在水面以下的裝置雖然能量的捕獲變小，同時可減小外界波浪力對結構破壞作用，但選擇時要綜合考慮能量捕獲和結構安全性與維護成本。

從（34）式和（35）式可以看到，波浪幅值對于能量俘獲寬度因子沒有影響，但波浪幅值的平方對應能量的大小[13]，因此波浪的幅值對于波能轉換裝置捕獲平均能量有較大的影響，這點可以從（28）式看出。波能轉換裝置捕獲到的平均能量是和波幅的平方成比例的。

4 結論

本文在線性微幅波浪和勢流理論的假設下，推導了球體波能轉換裝置在水平和豎直兩個模式振蕩下平均捕獲能量和能量俘獲寬度因子解析表達式，基于推導結果對影響波能裝置能量俘獲寬度因子的因素進行討論，獲得結論總結如下：

（1）推導了球體波能捕獲裝置在有限水深和無限水深中能量俘獲寬度因子的理論表達式，并給出了球體運動與波浪的水質點運動最優相位差的調節的理論公式。

（2）水深增加，能量俘獲寬度因子增大，但是增長的速度逐漸變慢，當水深超過波長的一半時，水深對能量俘獲大小的影響可以忽略。

（3）隨球體波能轉換裝置半徑的增大，能量捕獲寬度因子也增大，剛開始增加得比較慢，后來增加得較快。球體距離水面的距離的增加會導致能量俘獲寬度因子的減小，實際設計時，應選取浮在水面上的波能發電裝置。

（4）波幅的大小對于能量俘獲寬度因子沒有影響，但是對裝置捕獲的能量大小有較大的影響。

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Analytical study of power capture of spherical wave energy converts in two modes

ZHANG Xian-tao,YANG Jian-min,XIAO Long-fei
(State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China)

A floating spherical wave energy converter submerged under the water surface is studied.The converter can oscillate in both horizontal and vertical modes induced by waves and transfer mechanical energy forward by hydraulic cylinders.Based on the linear potential theory of airy waves,the interaction of the waves and the wave energy converters can be divided into two parts.One is flow past a fixed spherical body. The other is a spherical body moving in fluid at rest.By linear superposition of the two parts of velocity potential,the final velocity potential is achieved.Then the time-averaged power capture and power capture width ratio is calculated.Different parameters that affect the efficiency of wave energy harvesting are analyzed.The optimal phase difference between the motion of converters and water particles is obtained with a value of-π/2.And phase control is needed to keep the optimal phase difference for different waves.The radius of the spherical body,the wave length and wave amplitude and water depth,as well as the distance of the center of the wave energy converter from the surface,have effects on the efficiency of power capture.

spherical wave energy converter;analytical study;time-averaged power; power capture width ratio;influence factor

P751

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.04.001

1007-7294（2015）04-0349-07

2014-10-26

張顯濤（1991-），男，碩士生，E-mail:zhxter@outlook.com；楊建民（1958-），男，教授，博士生導師。