層次分析法的一致性改進及其應用

劉相利

（解放軍91336部隊，秦皇島 066326）

0 引 言

為了提高打贏信息化條件下戰爭的能力，海軍正在大力推進信息作戰能力建設。現有的海軍電子武器試驗靶場（本文簡稱靶場）是海軍電子武器裝備試驗與鑒定的重要場所，是海軍戰斗力生成的重要環節。隨著海軍信息作戰裝備的發展，靶場將面臨著信息化轉型。對靶場信息能力的評估是建設、使用、發展靶場的重要部分，通過對靶場能力的評估，其一，可以判斷靶場是否滿足試驗和訓練的使命要求；其二，能夠發現靶場的不足，從而全面推進靶場信息化建設。

20世紀70年代美國運籌學家Saaty提出了層次分析法（AHP），它是一種定性與定量分析相結合的多目標決策分析方法。該方法以其系統、靈活、簡潔等優點，得到廣泛運用，如在方案排序和性能評估等領域［1］的應用。AHP的核心思想是將評價者對復雜系統的評價思維過程數學化，為實施決策提供數學依據。有關AHP過程的具體描述和基本概念，可以參見文獻［2］～［8］。

判斷矩陣是AHP理論體系中極其關鍵的部分，矩陣的一致性是關系到評估是否成功的關鍵因素。雖然AHP的判斷矩陣通過矩陣中元素的兩兩比較獲得更加精確的判斷，但判斷矩陣的一致性檢驗給判斷矩陣的構建帶來復雜性，同時判斷矩陣中仍然存在一致性和合理性等問題［4，9－13］。

為了解決特定的問題，眾多專家對AHP提出了相應的改進策略。這些改進策略可以歸納為：

（1）改進一致性判斷方法：針對判斷矩陣一致性檢測的復雜性，文獻［4］描述接受或者拒絕判斷矩陣的新標準。

（2）構造具有一致性的判斷矩陣：針對判斷矩陣一致性檢測與矩陣修改帶來的重復性工作，文獻［10］、［11］分別描述了直接構建一致性判斷矩陣的方法。

（3）構造一致性矩陣的簡化方法：針對構建判斷矩陣的復雜性，文獻［2］、［9］為判斷矩陣提出了一種step－by－step的方法，這種方法包含4個階段：基本對角上的比較、獨立比較、傳遞比較、正互反比較，每個階段檢測每個比較的一致性。

另外，文獻［12］定義了判斷矩陣Hadamard凸組合的概念，給出了判斷矩陣Hadamard凸組合的性質。文獻［13］引入“比較一致性矩陣”概念，利用判斷平均特性修正矩陣的方法，有效地改善判斷矩陣的一致性，但其構建的矩陣仍然需要進行一致性判斷。

根據靶場的現狀和需求，本文研究信息化靶場能力的評估方法。首先，針對現有層次分析法中判斷矩陣一致性檢驗繁雜等缺陷，改進判斷矩陣的構造方法，使得判斷矩陣不僅具有合理性，而且具有一致性，所以稱本文提出的AHP為一致性的AHP（CAHP）。然后，結合信息化靶場的特點，建立評估靶場綜合能力的指標體系，采用CAHP對信息化靶場的能力進行評估。

1 AHP的一致性改進

1.1 基本思想

雖然上述AHP的改進策略已經具有各自優勢，但是在對靶場等復雜系統的評估方面還是不夠全面，不夠完善，不夠簡潔。基于對靶場能力評估需求的理解，將在本文中提出AHP判斷矩陣構建的一種更加簡潔、更加完善的方法，一方面，檢測判斷矩陣本身的前后矛盾，具有合理性；另一方面，采用簡單方法構建一致性矩陣［14］。

定義1：同序矩陣

設n階判斷矩陣A，若任取i，j，k∈［1，n］，aij＞aik→?l：alj≥alk；且aji＞aki→?l：ajl≥akl，則稱A為同序矩陣。

同序矩陣的每一行和每一列向量具有相同的排序結果，則可以認為決策者邏輯思路清晰有序，前后統一協調，具有合理性。所以，判斷矩陣具有比較一致性是說明評估者對各目標要素重要性的認識不存在邏輯上的矛盾，可以作為判斷矩陣可用的前提，這是把握判斷矩陣質量的重要標準。但是，比較一致性常常在判斷矩陣的構建過程中被忽略，例如，文獻［11］、［15］中的矩陣就存在比較一致性的問題，也就是其中的矩陣本身前后矛盾。

算法1：同序矩陣的判斷算法

中止算法；

該算法時間復雜性為o（n2），空間復雜性也為o（n2）。

定義2：矩陣基元

N階矩陣中能夠利用正互反性和傳遞性構建一致性矩陣的n－1個元素稱為矩陣基元。

1.2 判斷矩陣的構建方法

構建具有合理性、一致性的判斷矩陣的過程如下：

（1）對于每位專家的判斷矩陣進行如下操作：

（a）確定該矩陣具有比較一致性；

（b）從上述具有比較一致性的矩陣按下述方法（全選法、簡化法、中間法）之一，抽取矩陣基元，利用Hadamard凸組合［11－12］的方式構建判斷矩陣，則該判斷矩陣具有一致性。

（2）對多位專家的判斷矩陣利用Hadamard凸組合的方式構建最后的判斷矩陣。

1.2.1 全選法

全選法利用算法搜索所有的矩陣基元，利用這些元組構建具有一致性的矩陣，將這些矩陣組合成具有一致性的判斷矩陣。

全選法充分利用了原專家的比較信息，但是，該方法是階乘級數增長的，也就是說會出現指數爆炸問題。對于3個元素的矩陣，該方法有基本的矩陣基元：（1，2）、（1，3）；（1，2）、（2，3）；（1，3）、（2，3）。對于4階判斷矩陣，基本的矩陣基元有16個［10］，而對于5階矩陣，共有209個可以構成一致性判斷矩陣的矩陣基元。所以，全選法對于小于5階的矩陣可能可用，但是當階數大于等于5時，再使用全選法就不太現實了。

1.2.2 簡化法

為了降低全選法構建一致性矩陣的復雜性，簡化法在矩陣基元中選擇最能反映專家判斷信息的元組，構造判斷矩陣。根據心理學中“人類通常特別關注極端狀態”，在簡化法中，選擇評估專家特別用心的幾個矩陣基元構造一致性的判斷矩陣，這里的矩陣基元包括：第一行矩陣基元、最后一列矩陣基元、上三角中的對角矩陣基元［2，9］。應該注意的是，在此方法中，所選矩陣基元的影響較大，一旦不合理，根據累積放大原理，將導致整個判斷矩陣的更加不合理。為此，提高所選矩陣基元的質量成為本方法的關鍵。

1.2.3 中間法

針對上面2種算法的優劣，中間法采用對復雜性和合理性的折衷。中間法在利用簡化法簡化所有元組的基礎上，根據需要選擇必要的矩陣基元，利用這些矩陣基元構建一致性的判斷矩陣。

1.3 AHP改進的基本過程

針對靶場的應用需求，通過對AHP方法的研究，提出對已有AHP的改進，其大致步驟是：

（1）將評價對象概念化，把復雜系統描述為概念之間的邏輯結構，建立指標體系；

（2）根據問題的性質和要求達到的目標將一個復雜的問題分解成問題的組成因素，并按因素間的相互關系及隸屬關系將因素層次化，建立一個從目標到準則、到措施自上而下各類因素間直接影響的層次結構模型；

（3）通過測量數值或者優勢判定的兩兩評估獲得上述層次模型中的局部優先關系，由專家組根據經驗對同一個層次元素相對于上一層次中某一個準則的重要性進行兩兩比較，就每一層次指標的相對重要性給出定量表示，構造兩兩比較的判斷矩陣；

（4）根據實際應用對判斷矩陣的總體要求，結合判斷矩陣的維度，利用下列方法，構建具有合理性、一致性的判斷矩陣；

（5）由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，計算各層元素對系統目標的合成權重，并進行排序。

1.4 屬性分析

CAHP具有下列屬性：首先，其中的判斷矩陣前后協調，具有合理性；其次，其中的判斷矩陣具有一致性，容易獲得描述元素權重的特征向量；最后，它簡化了判斷矩陣一致性的檢驗過程，避免了因判斷矩陣一致性差造成的復雜循環過程。

2 應用實例

根據本文所建立的CAHP，可以對信息化靶場的能力進行評估。

2.1 指標體系和評語集

由于海軍信息作戰試驗訓練靶場結構龐大，關系復雜，技術先進，對抗環境多變等特點，在廣泛征求各方面專家意見的基礎上，根據海軍信息作戰試驗訓練靶場的現有職能和將來任務，借鑒信息系統的劃分方法［16］，構建靶場能力評估的指標體系模型，本文為其簡化模型，如圖1所示。信息系統的一級因素為：信息產生能力U1、信息獲取能力U2、信息傳輸能力U3、信息處理能力U4、以及指揮控制能力U5等。

相關因素的二級因素為：

（1）信息產生能力U1：信息源數目U11、種類U12及其覆蓋的頻段U13，和電磁信號密度U14。

（2）信息獲取能力U2：種類U21、頻段U22及其測距精度U23、測向精度U24和覆蓋面積U25。

（3）信息傳輸能力U3：容量U31、傳輸延遲U32、通信范圍U33和抗干擾能力U34。

（4）信息處理系統U4：信息融合能力U41、結果評估能力U42、試驗結果評估的及時性U43。

（5）指揮控制系統U5：實時性U51、輔助決策能力U52、信息顯示能力U53、控制協調能力U54。

將評語集定為5，采用十分制打分，即C＝｛C1，C2，C3，C4，C5｝＝｛9，7，5，3，1｝。并邀請10 位專家分別對模型的葉節點的評價指標進行獨立評價，并得到評價矩陣。

2.2 判斷矩陣和相對權重

利用矩陣的判斷一致性，可以在構造過程中改進判斷矩陣。例如：在信息獲取能力的判斷矩陣中，專家提出的初始矩陣為：

圖1 信息化靶場評估指標體系結構圖

上面的矩陣中，第1行的元素排序與第3行相互矛盾，因此不能滿足判斷一致性，后更改為：專家相對信息化靶場中一級因素的兩兩比較構造矩陣如下：

采用簡化法構造各矩陣的一致性矩陣，利用Hadamard凸組合的方法，合并專家的觀點，得到總體的一致性判斷矩陣：

利用上述方法得二級指標的權重如下：A1＝（0.15 0.24 0.25 0.36），A2＝（0.22 0.23 0.16 0.16 0.33），A3＝ （0.34 0.27 0.22 0.17），A4＝ （0.35 0.39 0.26），A5＝（0.20 0.26 0.23 0.31）。

2.3 評估

對海軍靶場能力評估的多層次指標體系，按以上模型由底層向上遞推，計算上一層次指標的評價結果，根據計算得各分值，再向上遞推直到目標層。

對信息產生能力指標因素的評價：

則信息產生系統的得分為：A1·D1·CT＝6.58。

同樣，其它系統的得分分別為：6.94，6.52，6.43，6.83。

進而，靶場的現有能力為：6.71，綜合評定為良。這也與海軍靶場基本能夠較好地完成當前的試驗訓練等任務的現實情況相吻合。

3 結束語

本文提出了一致性層次分析法CAHP，它不僅具有合理性，而且具有一致性。信息化靶場是一個巨大的復雜系統，本文采用CAHP對其能力進行了評估，不僅可以說明靶場的現有能力，而且有利于現有靶場的改進和完善。同時，CAHP對其它系統的評估也有一定的借鑒作用，因此具有一定的實用價值。

［1］許樹柏.層 次 分 析 法 ［M］.天 津：天 津 大 學 出 版社，1989.

［2］Ishizaka A.Advantages of clusters and pivots in AHP［R］.Switzerland：University of Basel，2004.

［3］Brozova H.The analytic hierarchy process for the decision tree with multiple criteria ［J］.Zemědělská Ekonomika，2004，50（2）：77－82.

［4］Alonso J A，Lamata M T.Consistency in the analytic hierarchy process：a new approach［J］.International Journal of Uncertainty，Fuzziness and Knowledgebased Systems，2006，14（4）：445－459.

［5］Forman E，Selly M.Decision by Objectives：How to Convince Others That You Are Right［M］.London：World Scientific Press，2001.

［6］Thomas L S，Michael P N.A Framework for making a better decision［J］.Research Review，2006（13）：8－12.

［7］Chan F，Kumar N.Searching for consensus in AHP－group decision making：A Bayesian perspective［EB／OL］.http：／／www.ima.udg.es／Activitats／CoDa－Work05／CD／Session3／Altuzarra－MorenoJimenez－Salvador.pdf，2015－03－30.

［8］Ray S.Selecting a doctoral dissertation supervisor：analytical hierarchy approach to the multiple criteria Problem［J］.International Journal of Doctoral Studies，2007（6）：122－127.

［9］Ishizaka A.Development of An Intelligent Tutoring System for AHP［R］.Basel，2004.

［10］熊立，梁樑，王國華.一種群決策中確定專家判斷認真程度的方法［J］.系統工程理論與實踐，2004，22（3）：84－87.

［11］王建，黃鳳崗，景韶光.AHP中判斷矩陣一致性調整方法研究［J］.系統工程理論與實踐，2005（8）：16－20.

［12］劉心報，楊善林.判斷矩陣的 Hadamard凸組合［J］.系統工程理論與實踐，2000，20（4）：83－85.

［13］吳祈宗，李有文.層次分析法中矩陣的判斷一致性研究［J］.北京：北京理工大學學報，1999（4）：21－26.

［14］Ishizaka A，Lusti M.An expert module to improve the consistency of AHP matrices［J］.International Transactions in Operational Research，2004，11（1）：97－105.

［15］郝海，顧培亮，郭漢丁.群組決策中調整判斷矩陣的算術平均法［A］.決策科學理論與實踐［C］.北京：海洋出版社，2003：150－157.

［16］文古生，葉紅兵，楊秀月.裝甲機械化部隊綜合信息系統效能評估［J］.裝甲兵工程學院學報，2005，19（1）：43－47.