行列式在解析幾何中的應(yīng)用

王紫萍

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550025）

行列式是為表達(dá)n元線性方程組的一般解而引入的，有了行列式線性方程組的解就可通過(guò)簡(jiǎn)化的形式表示出來(lái)。本文就是根據(jù)行列式的這一特點(diǎn)，把行列式應(yīng)用于幾個(gè)解析幾何問(wèn)題的求解中，使這些問(wèn)題的解可以用有規(guī)律的行列式表示出來(lái)。

在解析幾何中，如果已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求該三角形的面積；已知圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求該圓的圓心；已知一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求該四面體的體積；已知球上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求該圓心的坐標(biāo)，這幾個(gè)問(wèn)題用解析幾何方法來(lái)求解是比較復(fù)雜的，下面通過(guò)行列式得到這這四個(gè)問(wèn)題有規(guī)律的求解公式，這樣上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算了。

公式一：已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，則 三 角 形ABC的 面 積的絕對(duì)值.

證明：(如圖1)把三角形ABC看成空間中在平面XOY面上的三角形

圖1

公式二：已知四面體四個(gè)頂點(diǎn)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)則該四面體的體積為：的絕對(duì)值

證明：由向量混合積的定義及立體幾何中四面體與相應(yīng)的平行六面體的體積的關(guān)系，見(jiàn)[1]的絕對(duì)值

而

故公式二得證。

公式三：已知平面圓上三點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，則圓心坐標(biāo)為：

證明：由圓的方程(x-a)2+(y-b)2=R2可知在一般方程2ax+2by+c=x2+y2中(a,b)為圓心坐標(biāo)，把已知三點(diǎn)坐標(biāo)代入一般方程：

由Gramer法則解上面的方程組得圓心的橫坐標(biāo)公式如上,同理得圓心的縱坐標(biāo)公式。

公式四：已知球上不共面四點(diǎn)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)，其球心O(x y z)可按下列公式求得

證明：由球面方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2可知在

一般方程中2ax+2by+2cz+g=x2+y2+z2(a,b,c)為球心坐標(biāo)把四點(diǎn)坐標(biāo)代入一般方程：

用Gramer法則解該線性方程組類(lèi)似公式三的處理即可求得球心坐標(biāo)公式如上。

以上四個(gè)公式中行列式的坐標(biāo)排列均是有規(guī)律的，這樣有了點(diǎn)的坐標(biāo)后由這些點(diǎn)組成圖形的三角形的面積、四面體的體積、圓的圓心和球的球心就可方便地代入以上公式中進(jìn)行求解了。

［1］居余馬,等.線性代數(shù)[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社,2002.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室,主編.高等數(shù)學(xué)[M].4版.北京：高等教育出版社,2002.