基于FCM 自適應(yīng)模糊聚類的溫度測點優(yōu)化*＊

周 杰 李小汝 羅范杰

(①四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽 618000;②西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 綿陽 621010)

隨著制造業(yè)向著高效率、高質(zhì)量、高精度、高智能發(fā)展，精密和超精密加工已經(jīng)成為現(xiàn)代制造業(yè)最重要的發(fā)展方向。大量研究表明:熱誤差占總誤差的40%～70%［1-2］，對于高精密機床熱誤差所占比重更大。因此，熱變形導(dǎo)致機床加工誤差的問題日益突出。總的來說，減少熱誤差有誤差防止法和誤差補償法［3］。相對于“硬技術(shù)”的誤差防止法，誤差補償法是一項具有顯著經(jīng)濟價值并有效提高機床精度的手段［4-5］。

要想建立預(yù)測精度高、魯棒性好的熱誤差模型，需要在機床上布置大量的溫度傳感器，從而獲取較為準(zhǔn)確的溫度場，但這會導(dǎo)致數(shù)據(jù)處理量過大、數(shù)據(jù)耦合、布線過多、影響加工等問題，因此溫度測點的優(yōu)化具有重要意義。目前，對溫度測點優(yōu)化的研究，不少專家學(xué)者采用有限元［6］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［7］、逐步線性回歸［8］等方法均取得了一定效果，但是這些方法都有一定的局限性，如有限元方法的邊界條件和熱源載荷很難確定，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間過長，逐步線性回歸易導(dǎo)致溫度測點耦合。模糊聚類方法是目前較為優(yōu)越的方法之一［9-10］，其中基于模糊等價關(guān)系的傳遞閉包法和基于目標(biāo)函數(shù)的模糊C 均值聚類應(yīng)用最多，但這兩種方法都需要事先確定聚類數(shù)目，需要豐富的工程經(jīng)驗才能保證聚類數(shù)目的有效性。本文提出基于自適應(yīng)FCM 模糊聚類方法對機床溫度測點進行優(yōu)化，該方法自動給出最佳聚類數(shù)目，并結(jié)合相關(guān)分析找出測溫關(guān)鍵點，利用多元線性回歸對熱誤差進行建模，驗證該方法的有效性。

1 自適應(yīng)FCM 模糊聚類

傳統(tǒng)的FCM 模糊聚類算法對給定的數(shù)據(jù)集進行分類時，需要確定兩個重要參數(shù)，即樣本聚類數(shù)目C 和模糊加權(quán)指數(shù)m，由于需要人為事先給出聚類數(shù)目，加權(quán)指數(shù)m 也沒有相關(guān)理論能夠確定其最佳值，因此FCM 模糊聚類的有效性需要借助工程經(jīng)驗進行驗證，限制了其應(yīng)用。良好的聚類方法應(yīng)該滿足兩個條件，一是聚類中類與類之間的距離越大越好，二是聚類中個體與個體的聚類越小越好。因此結(jié)合以上思想和F 統(tǒng)計學(xué)理論，在FCM 模糊聚類算法上進行改進，提出了聚類數(shù)C 的自適應(yīng)函數(shù):

式中:c 為聚類數(shù)目，n 表示數(shù)據(jù)集X={x1，x2，…，xn}的變量個數(shù)，xi表示變量的觀測數(shù)據(jù)向量;vi表示第j類的原型矩陣表示總體樣本的中心向量。uij表示樣本的隸屬度矩陣。

從式(1)中可以看出，L(c)的分子表征類與類之間的距離，分母表征類內(nèi)數(shù)據(jù)點與該類中心之間的距離，因此L(c)的值越大，說明分類越合理，對應(yīng)L(c)值最大的c 為最佳值。具體算法如下:

STEP 0.給出迭代標(biāo)準(zhǔn)ε＞0，聚類數(shù)c=2，聚類數(shù)1 的自適應(yīng)函數(shù)L(1)=0，初始分類矩陣V(0)，k=0 ;

STEP1.用式(3)計算模糊劃分矩陣U(k):

STEP2.用式(4)計算聚類中心矩陣V(k+1)。

STEP 3.用一個矩陣范數(shù)| | | |比較V(k+1)與V(k)，若|| V(k+1)-V(k)||≤ε，則停止迭代，否則，置k=k+1，轉(zhuǎn)向STEP1。

STEP 4.計算L(c)，在c＞2 并且c＜n 的情況下，若L(c-1)＞L(c-2)并且L(c-1)＞L(c)，則聚類過程結(jié)束，否則，置c=c+1，轉(zhuǎn)向STEP 1。

由于FCM 聚類算法是在局部尋找最小點，故只需在局部比較L(c)，這也是STEP 4 的合理性所在。

2 實例分析

由于機床溫度場的分布比較復(fù)雜，溫度測點的布置一般都是由工程經(jīng)驗判斷進行，本文以一臺立式銑床為研究對象，采用熱成像儀得到機床的溫度場分布情況如圖1 所示，根據(jù)熱成像儀的溫度場分布情況，在機床主要發(fā)熱部位布置PT100 傳感器，具體為:前軸承處(1#，2#)，后軸承處(3#，4#)，主軸箱(5#，6#，7#，8#，9#)，立柱(10#，11#，12#)，環(huán)境溫度(13#)。

實驗中對機床采取500 r/min 的轉(zhuǎn)速運行2 h，接著1 000 r/min 的轉(zhuǎn)速運行3 h，每隔10 min 采集一次數(shù)據(jù)。用電渦流位移傳感器檢測主軸前端X、Y、Z 三個方向的熱變形。實驗過程如圖2 所示。

得到各測點的溫升和主軸熱變形曲線如圖3和圖4 所示。從圖3 可以看出，各測溫點具有較強的線性相關(guān)性，需要對測點進行分組優(yōu)化選擇。

采用改進后的自適應(yīng)FCM 模糊聚類對所測溫度變量進行聚類分組，從物理意義和聚類的有效性考慮，加權(quán)指數(shù)m 取值為2，經(jīng)過189 次迭代，并得到L(c)為:L(2)=89.830，L(3)=140.839，L(4)=172.705，L(5)=185.167，L(6)=213.482，L(7)=181.672，因此可以看出，劃分為6 類最好，得到聚類后的劃分矩陣U(表1)和圖5 的各分類的隸屬度函數(shù)條狀圖。

從圖5 和劃分矩陣U 中可以看出，改進后的自適應(yīng)算法是有效的，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)聚類分組，還能得到最好的聚類結(jié)果，聚類分組結(jié)果如表2 所示。

根據(jù)聚類分組的情況，只需在每個分組中選出1 個關(guān)鍵溫度測點，因此節(jié)省了計算量。采用相關(guān)分析方法，計算每個分組溫度變量與機床主軸的綜合熱誤差的相關(guān)系數(shù)，由于機床左右對稱，X 方向熱誤差很小，將其忽略，取Y、Z 方向熱誤差的加權(quán)綜合作為綜合熱誤差。這里Y 方向的加權(quán)指數(shù)為0.48，Z 方向的加權(quán)指數(shù)為0.52，計算結(jié)果見表1，最終選擇T5、T9、T1、T11、T6、T13用于建模補償。

3 建模與驗證

良好的熱誤差模型直接影響著熱誤差補償?shù)木_度，基于最小二乘法的多元線性回歸分析在工程實踐中適應(yīng)性強，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡單，計算效率高，因此本文采用多元線性回歸建立熱誤差與關(guān)鍵測溫點的誤差模型。應(yīng)用多元回歸分析建立機床熱誤差與關(guān)鍵溫度測點的數(shù)學(xué)模型可表示為［11］:

式中:(β0，β1，…，βn)是待確定的相關(guān)系數(shù)。ε是一個服從正態(tài)分布的隨機變量。以最小二乘估計法，將新測量的機床優(yōu)化后的溫度和熱誤差數(shù)據(jù)代入式(5)，建立回歸方程。由于機床X 方向結(jié)構(gòu)對稱，熱誤差很小，因此只建立Y 和Z 方向的熱誤差模型如下:

表1 測點序列的劃分矩陣U

表2 聚類分組結(jié)果

將機床第2 天重新開機運行后，以新測量的關(guān)鍵點溫升和主軸熱變形數(shù)據(jù)對回歸模型進行試驗驗證，得到如圖6 和圖7 的模型預(yù)測、實測對比驗證圖。從圖6 和圖7 可以看出，采用多元線性回歸方法建立的熱誤差模型，能有效地預(yù)測機床的熱變形，Y 方向的熱誤差最大殘差值為4.2 μm，Z 方向最大殘差值為8.1 μm。通過上述的方法獲得的以測溫關(guān)鍵點建立的熱誤差模型完全可以保證熱誤差模型的預(yù)測精度，同時也消除了溫度變量耦合現(xiàn)象，提高了模型的魯棒性，同時也驗證了自適應(yīng)FCM 模糊聚類在溫度測點優(yōu)化應(yīng)用的可行性。

4 結(jié)語

本文提出的自適應(yīng)FCM 模糊聚類分組優(yōu)化建模方法具有以下幾個優(yōu)點:①無需人工設(shè)置所需分組數(shù)目，不僅可以自動給出最優(yōu)聚類數(shù)，也能得到分類結(jié)果，有效地減少了溫度變量選擇的時間，效率更高，實用性更強;②對分組結(jié)果采用相關(guān)分析方法選出測溫關(guān)鍵點，避免了溫度變量的耦合，并且熱誤差由原來最大50 μm 減小到10 μm 以內(nèi)，熱誤差模型的預(yù)測精度高;③在保證熱誤差模型精度的條件下，大大減少了溫度變量和建模時間，有效地減少了熱誤差補償實驗成本。

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