淺談導數在求解與函數單調性有關問題中的應用

姜海峰

函數單調性是高中階段函數的一個最基本的性質，導數為我們提供了一套新的理論和方法，只通過簡單的求導和解相關的不等式就可以判斷出函數的單調性，進而更深入地解決問題，比如最值問題等。那么，怎樣用導數解決有關單調性的問題呢？

一、導數與函數單調性的關系

1.定義

設函數y=f（x）在某個區間（a，b）內可導，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f'（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減。

2.說明

（1）如果函數y=f（x）在區間I內恒有f'（x）=0，則y=（x）在區間I內為常函數。

（2）f'（x）>0是f（x）遞增的充分不必要條件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一個點例外，即x=0時f'（x）=0，同樣f'（x）<0是f（x）遞減的充分不必要條件。

（3）設函數y=f（x）在某個區間內可導，如果 f（x）在該區間上單調遞增（或單調遞減），則先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去驗證f'（x）=0時是否恒成立。

（4）利用導數證明不等式時，往往要先構造函數，再利用導數判斷其單調性求解。

（5）利用導數求函數單調區間的三個步驟：

①確定函數的定義域。

②求函數f（x）的導數f'（x）。

③令f'（x）>0解不等式，得x的范圍就是遞增區間；令f'（x）<0解不等式，得x的范圍就是遞減區間。

二、典型例題

1.判斷單調性

例：討論函數 的單調性。

題型分析：求出y'，在函數定義域內討論y'的符號，從而確定函數的單調性。

解題歸納：在判斷函數單調性時，在某個區間內若出現個別的點使f'（x）=0，則不影響包含該點的這個區間上函數的單調性，只有在某個區間內恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在該區間內為常函數。

2.證明單調性

例：求證函數f（x）=在區間（0，2）上是單調遞增函數。

題型分析：利用導數判斷或證明一個函數在給定區間上的單調性，實質就是判斷或證明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在給定區間上恒成立，一般步驟為：求導數f'（x），判斷f'（x）的符號，給出單調性結論。……