高中數學中常見的恒成立問題

岳永波

高中數學中有一個高考的熱點內容，它涉及到一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數的圖像與性質以及導數、數列等知識，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程、最值等思想方法，這就是恒成立問題，也就是在給定條件下某些結論永遠成立的命題。恒成立問題涉及的很多題型都與函數的最值相聯系，這就要求教師在平時教學中要多向學生滲透函數思想方法，引導學生深入理解知識之間的相互聯系和共性，以及數學中的通性通法，為綜合利用知識打下基礎。

一、構造函數，利用單調性解決恒成立問題

在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題。在一個含有多個變量的數學問題中，要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題面目更加清晰明了。一般來說，是把已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數。

例1.對于滿足0≤m≤3的所有實數m，求使不等式x2+mx>3x+2m-2成立的x的取值范圍。

分析：多元不等式問題求解的關鍵在于確定哪個量為主元。此問題可看成關于x的不等式的討論，若將m定為主元，則問題可轉化為在[0，3]內關于m的一次函數大于0恒成立的問題。

解：不等式變形為x2+（x-1）m-3x+2>0。

設f（m）=（x-2）m+x2-3x+2，則它是關于m的一個一次函數，是單調函數，結合題意有

，即

，得 x<-2或x>2。

二、數形結合，直觀處理恒成立問題

如果不等式中涉及的函數和代數式對應的圖象、圖形較易畫出，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式，求得參數范圍。

例2.已知函數y=f（x）

，若不等式f（x）≥2x-m恒成立，則實數m的取值范圍是 。

解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數y=2x-m 及y=f（x）的圖象，由于不等式f（x）≥2x-m恒成立，所以函數 y=2x-m的圖象應總在函數y=f（x）的圖象下方。因此，當x=-2時，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范圍是[-4，+∞）。

解決不等式問題經常要結合函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函數，利用函數圖像的上下位置關系確定參數的范圍。利用數形結合的方法解決不等式問題關鍵是構造函數，準確做出函數的圖象。例如，不等式 x2-logax<0在x∈（0，）時恒成立，求a的取值范圍。此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設f（x）=x2，g（x）=logax，然后在同一坐標系中準確做出這兩個函數的圖象，觀察圖象便可求解。

三、變量分離型恒成立問題

若在等式和不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，則該恒成立問題可以轉化為函數的最值求解問題，我們將此類恒成立問題稱為變量分離型恒成立問題。

例3.當x∈R時，不等式4a+sin2x<-4sinx=a2恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：不等式中含有兩個變量a和x，其中x∈R，另一個變量a的范圍為所求，因此可以考慮將a和x分離。

解：原不等式變形為sin2x+4sinx5，解得a>5或a<1。

四、立體幾何中恒成立問題

高中數學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用，其中也不乏有趣的幾何問題。

例4.如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1。

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1。∴當M在線段FH上時，MN?平面FHN。∴MN∥平面B1BDD1，即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1。

線與面平行，主要是指直線與平面無公共點，其中一個判定方法是：如果一條直線在某個平面內，并且這個平面與另一個平面平行，那么這條直線與另一個平面無公共點，即平行。例4就是應用此判定方法。另外還可以考慮用到直線與平面垂直，那么過這條直線的所有平面都與這個平面垂直。

恒成立問題題目涉及知識面廣，解題方法靈活多樣，技巧性強，難度大，所以要求學生有較強的思維靈活性和創造性。上述方法是比較常用的，但因為問題形式千變萬化，考題亦常考常新，因此在備考的各個階段都應重視恒成立問題的教與學，提高學生解決此類問題的能力。

（責任編輯 趙永玲）