具有飽和執行器的不確定離散時滯系統的鎮定

李 靜, 景 麗

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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具有飽和執行器的不確定離散時滯系統的鎮定

李 靜, 景 麗

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

執行器的動態特征常常會引入某些非線性特性,其中常見的就是飽和。針對控制系統中廣泛存在的飽和問題,討論了具有飽和執行器的離散常時滯不確定系統的魯棒鎮定問題。首先,由于飽和執行器的非線性特性會對系統的穩定性有較大影響,所以利用扇形區域法對飽和非線性項進行處理。其次,利用李雅普諾夫函數方法,結合矩陣不等式性質,給出了無記憶狀態反饋控制律存在的充分條件,并且在閉環系統漸近穩定的條件下,將所得的非線性矩陣不等式轉化成線性矩陣不等式,該充分條件不僅消除了不確定項對系統穩定性的影響,而且得到了與時滯無關的穩定性判據。最后,給出一個數值仿真算例,驗證了所得結果的有效性和可行性。

離散系統; 執行器飽和; 時滯; 不確定

0 引 言

在實際控制工程中,如神經網絡、最優控制以及機器人等工程,不確定和時滯是難以避免的,飽和現象也廣泛存在于各種系統中,因此研究時滯系統的穩定性一直是控制界的熱點問題之一。近年來關于時滯問題的研究取得了眾多成果。文獻[1]研究了不確定非線性時滯系統的魯棒鎮定問題,其中非線性不確定項滿足增益有界的條件,運用線性矩陣不等式方法得出魯棒鎮定律的存在條件以及鎮定律的設計方法。文獻[2-3]研究了不確定離散多時滯系統的穩定性問題,定義新的李雅普諾夫函數,提出時滯相關穩定判據,并將Oliveira的參數依賴思想引入該判據,得到了參數依賴型時滯相關穩定性條件。文獻[4]研究不確定非線性離散系統的魯棒鎮定問題,把不確定非線性離散系統的魯棒問題轉化為嚴格的線性矩陣不等式,給出了無記憶狀態反饋控制律存在的充分條件。針對帶有飽和執行器的系統,文獻[5]研究了一類具有非線性飽和執行器的不確定時滯系統的魯棒鎮定問題。文獻[6]主要討論了具有執行器飽和的連續線性常時滯不確定系統的鎮定問題。文獻[7]利用自由權矩陣方法討論了具有輸入飽和的時滯系統的時滯相關的鎮定問題。文獻[8]討論了具有控制約束的多輸入連續線性系統的全局穩定性問題。文獻[9]研究了時變時滯在給定區間內的線性時滯系統的魯棒穩定性問題,為引入一些與時變時滯相關的狀態變量,構建了新的李雅普諾夫函數,分別得出了以線性矩陣不等式形式表示的關于標稱系統以及帶范數有界不確定性系統的保守性更小的結論。文獻[10]對具有時變時滯的一類不確定線性系統的穩定性問題進行了研究,通過引入無記憶狀態反饋控制器得出時滯相關的穩定性判據。文獻[11-12]對帶有時變時滯的不確定系統運用李雅普諾夫方法給出新的時滯相關的魯棒穩定性判據。文獻[13]依據Finsler’s引理,得出具有飽和執行器的離散線性系統的穩定性條件,并且利用迭代算法進行了吸引域估計。文獻[14]研究帶有飽和執行器的線性系統的吸引域估計問題,引入了輔助矩陣H來處理飽和非線性項,將穩定條件轉化為線性矩陣不等式。

本文根據文獻[1]和文獻[6],研究了一類同時具有狀態時滯、輸入時滯和帶有飽和執行器的離散不確定系統的鎮定問題,根據李雅普諾夫函數方法,結合線性矩陣不等式性質,給出無記憶狀態反饋控制律存在的充分條件。最后,給出一個數值仿真算例。

1 問題描述

考慮如下不確定時滯的執行器飽和離散系統:

其中:x(k)∈Rn是系統的狀態向量,h為常時滯;u(k)∈Rm是輸入向量;A、A1、B、B1為適當維數的常數矩陣;ΔA、ΔA1、ΔB、ΔB1為不確定實數矩陣,且滿足

考慮無記憶狀態反饋控制器

且設η(k)=sat(u(k))-Fx(k)=sat(2Fx(k))-Fx(k),η(k)Tη(k)≤x(k)TFTFx(k),則有sat(u(k))=η(k)+Fx(k);同理有sat(u(k-h))=η(k-h)+Fx(k-h),η(k-h)Tη(k-h)≤x(k-h)TFTFx(k-h)。

系統(1)在無記憶狀態反饋控制器(2)作用下,閉環系統為:

1) S<0;

引理2[10]對任意適當維數的實矩陣D、F(k)、E和標量ε>0,其中FT(k)F(k)≤I,下面不等式成立:

DF(k)E+ETFT(k)DT≤ε-1DDT+εETE

公路橋梁下部構造對于工程荷載能力的增強和工程穩定性具有重要作用。一般情況下，擴大基礎加固法、基礎加樁法等都是其常用的加固方式。在擴大基礎加固法應用過程中，工程建設人員首先應對加固的材質進行嚴格規范，然后確保基礎水平與公路橋梁水平的協調，同時還應在防排水方面進行嚴格規范；而在加樁法應用過程中，樁體埋深、樁間距、樁材料等都是其把控的重點所在。只有確保這些基礎加固方式應用的合理，才能實現公路橋梁應用質量的有效提升。

2 穩定性分析

定理 考慮不確定離散時滯系統(1),給定狀態反饋增益矩陣F,如果存在對稱正定矩陣P和Q,以及標量ε>0,λ>0使得下面的矩陣不等式成立:

則閉環系統(1)在給定狀態反饋控制器(2)下是漸近穩定的。

證明 取李雅普諾夫函數為:

則ΔV(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k))

其中

為此,只需證明M<0即可得到ΔV<0,即系統在(2)下漸近穩定。

M<0可寫成下面的形式:

上式等價于

式(5)等價于

根據引理2可知存在ε>0,使得:

式(6)可寫成:

3 仿真算例

例 考慮控制系統(1),具有如下參數:

利用Matlab的LMI工具箱求解矩陣不等式(3)得:

4 結 語

本文研究了含有飽和執行器的不確定離散時滯系統,用矩陣不等式的形式給出了系統漸近穩定的充分條件,以及無記憶狀態反饋控制器的設計方法。最后,通過數值算例驗證了該方法的有效性和可行性。

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Stabilization of uncertain discrete time-delay systems with actuator saturation

LIJing,JINGLi

(School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Dynamic characteristics of the actuator will often introduce some non-linear characteristics, the common one is saturation. This paper discusses the robust stabilization problem of discrete time-delay uncertain system with actuator saturation. First of all, since the nonlinear characteristics of saturated actuator will have great influence on the stability of the system, the paper deals with saturated nonlinear item by using fan zone method. Secondly, using Lyapunov function method, combined with matrix inequality properties, the paper proposes an existence condition of memory-less state feedback controller, and under the stability conditions of the closed-loop system, the nonlinear matrix inequality was transformed into linear matrix inequality. The sufficient condition not only eliminates the influence of uncertainties on the stability of the system, but also reaches the time-delay independent stability criterion. Finally, a numerical example illustrates the feasibility and effectiveness of the results.

discrete system; actuator saturation; time-delay; uncertain

2015-06-02。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014435)。

李 靜(1990-),女,山西朔州人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者: 景 麗(1967-),女,沈陽人,沈陽師范大學副教授,博士,碩士研究生導師。

1673-5862(2015)03-0346-05

O231

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.03.007