滬深300股票指數(shù)期權(quán)定價(jià)實(shí)證研究

席 爽, 朱家明

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 1.金融學(xué)院； 2.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233000)

滬深300股票指數(shù)期權(quán)定價(jià)實(shí)證研究

席 爽1, 朱家明2

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 1.金融學(xué)院； 2.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233000)

針對(duì)中國(guó)尚未推出的滬深300股票指數(shù)期權(quán)，利用廣義自回歸條件異方差法和鞅方法等，使用EVIEWS軟件，通過(guò)構(gòu)建歷史波動(dòng)率模型和GARCH模型估計(jì)出標(biāo)的指數(shù)的波動(dòng)率水平，再利用通過(guò)鞅方法推導(dǎo)出的考慮股息率的擴(kuò)展Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型對(duì)滬深300指數(shù)期權(quán)進(jìn)行實(shí)證研究，計(jì)算出不同波動(dòng)率水平下定期支付紅利的歐式期權(quán)的理論價(jià)格。

滬深300股指期權(quán)； GARCH模型； Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型； 鞅方法

隨著我國(guó)資本市場(chǎng)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的加大，投資者需要利用金融衍生產(chǎn)品進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理，實(shí)現(xiàn)金融市場(chǎng)的資源配置和投資組合的優(yōu)化。2015年2月9日，國(guó)內(nèi)首支股票期權(quán)—華夏上證50ETF期權(quán)正式推出，開(kāi)啟了中國(guó)證券市場(chǎng)的期權(quán)時(shí)代。為了進(jìn)一步推進(jìn)金融市場(chǎng)創(chuàng)新發(fā)展和提高投資者利用金融衍生產(chǎn)品規(guī)避現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的能力，滬深300股指期權(quán)的推出指日可待。

股指期權(quán)市場(chǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)是能夠?qū)?biāo)的指數(shù)期權(quán)進(jìn)行合理定價(jià)。Fischer Black和Myron Scholes(1973)[1]提出了布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型，即著名的Black-Scholes公式(簡(jiǎn)稱B-S公式)并由此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，它是期權(quán)定價(jià)理論的基石，主要針對(duì)不考慮支付紅利情況下的歐式期權(quán)定價(jià)。為了很好的解決美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，Cox，Ross和Rubinstein[2]于1979年提出了二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型，相比Black-Scholes公式該模型更直觀形象。Hull和White(1987)[3]通過(guò)Monte Carlo以級(jí)數(shù)的形式對(duì)期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)。股息作為廣大投資者參與衍生產(chǎn)品市場(chǎng)獲得收益的重要組成部分在經(jīng)典的B-S模型中并未考慮，因此與現(xiàn)實(shí)情況不符。本文通過(guò)鞅方法推導(dǎo)考慮定期支付紅利情況下的擴(kuò)展B-S模型，然后采用擴(kuò)展的B-S模型對(duì)滬深300股指歐式期權(quán)定價(jià)。

擴(kuò)展的B-S定價(jià)模型中期權(quán)的價(jià)格取決于以下因素：標(biāo)的指數(shù)當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格S、未來(lái)T時(shí)刻執(zhí)行價(jià)格K、市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、期權(quán)到期期限(T-t)、標(biāo)的指數(shù)價(jià)格波動(dòng)率σ以及定期支付紅利的連續(xù)復(fù)利股息率δ。通過(guò)對(duì)各個(gè)指標(biāo)的估計(jì)和計(jì)算，最終得到不同波動(dòng)率水平下的歐式期權(quán)理論價(jià)格。

一、滬深300股指期權(quán)波動(dòng)率估計(jì)

(一)研究思路

標(biāo)的指數(shù)波動(dòng)率是進(jìn)行金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理的重要參考指標(biāo)，對(duì)股指價(jià)格波動(dòng)率估計(jì)的精確程度決定了期權(quán)價(jià)格的精確性。本文采用歷史波動(dòng)率模型和GARCH模型進(jìn)行標(biāo)的指數(shù)波動(dòng)率估計(jì)。

(二)歷史波動(dòng)率估計(jì)

本文選取的數(shù)據(jù)為2013年1月4日至2015年4月7日的滬深300指數(shù)的日收盤價(jià)，共計(jì)544個(gè)交易數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源為新浪財(cái)經(jīng)。波動(dòng)率的計(jì)算方法為：

{Pt}為標(biāo)的股指的價(jià)格序列，T為樣本容量，Rt為標(biāo)的指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率，σ為標(biāo)的指數(shù)日波動(dòng)率。

如圖1所示，標(biāo)的指數(shù)價(jià)格序列是非平穩(wěn)的，為了得到平穩(wěn)的時(shí)間序列，將標(biāo)的指數(shù)價(jià)格進(jìn)行對(duì)數(shù)差分處理，得到如圖2所示的標(biāo)的指數(shù)收益率序列。

圖1 收盤價(jià)序列

圖2 收益率序列

使用EVIEWS8軟件得到標(biāo)的指數(shù)收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征如圖3。

圖3 對(duì)數(shù)收益率序列統(tǒng)計(jì)描述

得到標(biāo)的指數(shù)的歷史日波動(dòng)率為0.013769。將日波動(dòng)率轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的年波動(dòng)率，計(jì)算方法為：

假設(shè)我國(guó)股票市場(chǎng)年交易日天數(shù)為240天，則可以計(jì)算滬深300指數(shù)歷史年波動(dòng)率σ=0.013769×√240=0.213308=21.331%

(三)GARCH波動(dòng)率估計(jì)

1.GARCH(1,1)模型

Bollerslev(1986)[4]提出了廣義自回歸條件異方差模型，即GARCH模型。GARCH模型[5]是用若干個(gè)協(xié)方差的滯后項(xiàng)代替隨機(jī)干擾項(xiàng)的高階滯后項(xiàng)，把條件方差轉(zhuǎn)變?yōu)锳RMA過(guò)程。它能夠追蹤隨時(shí)間變化而改變的方差，消除殘差序列的波動(dòng)聚集性。GARCH(p,q)表示為：

(1)

(2)

GARCH過(guò)程為寬平穩(wěn)過(guò)程的前提條件為：

ai反映當(dāng)前信息對(duì)標(biāo)的指數(shù)收益率序列波動(dòng)的影響程度，βi反映過(guò)去信息對(duì)現(xiàn)在標(biāo)的指數(shù)收益率序列波動(dòng)的影響范圍。VL表示長(zhǎng)期平均方差。

dV=a(VL-V)dt+ζVdz

γ+α+β=1

2.數(shù)據(jù)處理

首先對(duì)標(biāo)的指數(shù)收益率序列Rt使用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如下：

Rt=0.03961Rt-1+εt

圖4 收益率序列殘差圖

對(duì)應(yīng)標(biāo)的指數(shù)收益率序列的殘差圖如圖4所示。收益率序列可能存在異方差性，因此對(duì)標(biāo)的指數(shù)收益率的殘差序列進(jìn)行波動(dòng)聚集性檢驗(yàn)。

表1 ARCH-LM檢驗(yàn)

檢驗(yàn)結(jié)果P值接近于0，表明殘差序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，拒絕其為同方差的原假設(shè)，因此可以使用GARCH(1,1)模型來(lái)描述這種異方差現(xiàn)象。

使用EVIEWS8對(duì)GARCH模型建立參數(shù)估計(jì)模型，結(jié)果如下：

均值方程：Rt=0.000717+0.0396944×Rt-1+εt

(3)

圖5 GARCH(1,1)的建模估計(jì)

通過(guò)GARCH模型的條件方差方程(式(3))計(jì)算滬深300指數(shù)序列的長(zhǎng)期方差VL：

股票指數(shù)的長(zhǎng)期日波動(dòng)率σ=√0.00214587=0.014648777

則滬深300股指相應(yīng)年波動(dòng)率為σ年=0.01465×√240=0.226937876=22.694%

二、期權(quán)定價(jià)實(shí)證

(一)擴(kuò)展B-S模型推導(dǎo)

經(jīng)典B-S模型是基于風(fēng)險(xiǎn)中性的定價(jià)原理，使用該模型對(duì)股指期權(quán)進(jìn)行定價(jià)有五個(gè)假設(shè)條件，分別為：標(biāo)的指數(shù)變化服從自然對(duì)數(shù)正態(tài)分布；在標(biāo)的指數(shù)期權(quán)合約期內(nèi)沒(méi)有紅利支付；金融市場(chǎng)沒(méi)有相關(guān)交易成本；證券市場(chǎng)上允許對(duì)標(biāo)的指數(shù)進(jìn)行做空交易；證券市場(chǎng)上無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)不存在，股指的預(yù)期收益率是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r且在一定時(shí)間段內(nèi)是固定不變的。

經(jīng)典Black-Scholes模型為：

歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為：c=S0N(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)

歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為：p=Ke-r(T-t)N(-d2)-S0N(-d1)

下面利用鞅方法以歐式看漲期權(quán)為例推導(dǎo)考慮定期支付股息的擴(kuò)展B-S模型。

首先假定標(biāo)的指數(shù)價(jià)格的變化過(guò)程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)和伊藤過(guò)程：

dS=μSdS+σSdz

令F=lnS，則F遵循的隨機(jī)過(guò)程為：

未來(lái)T時(shí)刻標(biāo)的指數(shù)的對(duì)數(shù)價(jià)格服從正態(tài)分布：

標(biāo)的指數(shù)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c為：

可以看出W服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布W～N(0,1)

定義f(ST)為ST的密度函數(shù)，h(W)為W的密度函數(shù)，則:

(4)

同理可得歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為：p=Ke-r(T-t)N(-d2)-Se-δ(T-t)N(-d1)

(5)

(二)數(shù)據(jù)處理

由于選取的是2013年1月4日至2015年4月7日的數(shù)據(jù)，則滬深300股指的市場(chǎng)價(jià)格S為2015年4月7日的股指收盤價(jià)S=4260.044。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率采用上海銀行間同業(yè)拆放利率(SHIBOR)，選取的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為SHIBOR一年期4.78%。滬深300股指的股息率按照連續(xù)復(fù)利下的歷史股息率6.21%，數(shù)據(jù)來(lái)源于wind數(shù)據(jù)庫(kù)。假定標(biāo)的指數(shù)的到期執(zhí)行價(jià)格K=4150.00，上文估計(jì)得到的滬深300股指的歷史波動(dòng)率為21.331%，以GARCH方法估計(jì)的波動(dòng)率為22.694%。

滬深300股指期權(quán)定價(jià)所需的參數(shù)全部得到，代入(4)(5)式的擴(kuò)展B-S定價(jià)模型可計(jì)算出到期日為2015年4月30日的支付紅利的歐式看漲和看跌期權(quán)價(jià)格。結(jié)果如表2所示：

表2 2015年4月7日掛盤的滬深300指數(shù)歐式期權(quán)價(jià)格(元)

將得到的理論期權(quán)價(jià)格與滬深300指數(shù)期權(quán)的模擬交易數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)使用擴(kuò)展的B-S模型以GARCH波動(dòng)率進(jìn)行期權(quán)定價(jià)的精確程度更高。

三、結(jié)論

為了促進(jìn)金融產(chǎn)品創(chuàng)新發(fā)展和提高投資者和風(fēng)險(xiǎn)管理者利用金融衍生產(chǎn)品進(jìn)行投資決策與風(fēng)險(xiǎn)管理能力，中金所未來(lái)必定推出滬深300股指期權(quán)。有效的合約設(shè)計(jì)和交易制度是保證滬深300股指期權(quán)市場(chǎng)平穩(wěn)健康運(yùn)行的關(guān)鍵。期權(quán)合約設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是對(duì)期權(quán)的合理定價(jià)，本文利用考慮定期支付紅利的擴(kuò)展B-S模型對(duì)滬深300指數(shù)歐式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)，期望能夠?qū)ξ覈?guó)期權(quán)產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)有所幫助。對(duì)于其他期權(quán)品種如股指期貨期權(quán)，國(guó)債期權(quán)等的定價(jià)更為復(fù)雜，需要金融領(lǐng)域更多的探索和研究。

[1]BlackF,ScholesM.ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy，1973，81(3):637-659.

[2]JohnC.Cox,StephenARoss,MarkRubenstein.Optionpricing:ASimplifiedApproach[J].JournalofFinancialEconomics，1979(3)：229-263.

[3]Hull,White.ThePricingofOptionsonAssetswithStochasticVolatilities[J].ReviewofFinancialStudies,1987，42(2):281-300.

[4]Bollerslev,T.GeneralizedAutoregressiveConditionalHeterosledasticity[J].JournalofEconometrics,1986(31):310-326.

[5]高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模：EViews應(yīng)用及實(shí)例[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

Empirical Research on the CSI 300 Stock Index Options Pricing

XI Shuang1， ZHU Jia-ming2

(1.SchoolofFinance; 2.SchoolofStatisticsandAppliedMathematics,AnhuiUniversityofFinance&Economics,Bengbu,Anhui233000)

China has not yet launched the CSI 300 stock index options.Through the method of generalized auto-regressive conditional heteroscedasticity and martingale methods,and by using EVIEWS software,building historical volatility and GARCH estimate volatility level of the underlying index,and then using the extended Black-Scholes option pricing model derived by martingale method taking into account the dividend yield on the CSI 300 index options empirical research,this thesis calculates the different volatility levels under the regular payment of dividends of the European option price theory.

CSI 300 stock index options; GARCH model; Black-Scholes option pricing model; Martingale method

2015-05-03

國(guó)家自然科學(xué)基金“隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的非一致指數(shù)二分性及其數(shù)值模擬”(11301001)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目“數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽引領(lǐng)大學(xué)生科研創(chuàng)新的研究”(acjyzd201429)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院大學(xué)生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目“關(guān)于中國(guó)房地產(chǎn)價(jià)格指數(shù)期貨的設(shè)計(jì)與定價(jià)研究”(JRXY2015010)。

席 爽，1994年生，女，安徽碭山人，研究方向：金融工程；

F830.91

A

1671-9743(2015)07-0035-04

*通訊作者：朱家明，1973年生，男，安徽泗縣人，副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模。