阻尼對三自由度彈性碰撞系統周期運動倍化分岔的影響研究

王 強 汪少銘 劉永葆 賈小權 趙雄飛 董 瑞

（海軍工程大學動力工程學院1） 武漢 430030） （海軍東海艦隊艦艇訓練中心2） 上海 201900）（海軍駐哈爾濱703所軍事代表室3） 哈爾濱 150078） （海軍旅順裝備技術質量監測站91315部隊4） 旅順 116041）

0 引 言

在機械設備中，由于故障間隙導致的系統碰撞振動時有發生，系統阻尼對系統的其非線性動力學行為也有密切關系。趙文禮等［1］對碰撞阻尼器振動系統推導了周期解存在的條件，并利用Poincare映射和數字仿真研究了該系統的倍周期分岔、HOPF分岔及擬周期環面破裂等分岔進入混沌運動的非線性行為。戎海武等［2］用Zhuravlev變換將碰撞系統轉化為速度連續的非碰撞系統，然后用隨機平均法得到了關于慢變量的隨機微分方程，討論了系統阻尼項、非線性項、隨機擾動項和碰撞恢復系數等參數對于系統響應的影響。劉莉等［3］以一類含非黏滯阻尼的Duffing單邊碰撞系統為研究對象，運用復合胞坐標系方法，分析了該系統的全局分岔特性，發現，隨著阻尼系數、松弛參數及恢復系數的變化，系統發生混沌吸引子與其吸引域內的混沌鞍發生碰撞而產生的內部激變和混沌吸引子與吸引域邊界上的周期鞍（混沌鞍）發生碰撞而產生的常規邊界激變。徐慧東等［4］研究了一類兩自由度分段線性彈性系統Nermark－Sacker分岔、倍化分岔、亞諧分岔現象。徐斌等［5］針對平面上的分段線性連續系統，研究了同宿軌的存在性及同宿分岔問題。朱喜鋒等［6］研究了兩自由度含間隙彈性碰撞系統模型，分析了該系統在低頻下單周期多碰撞周期運動及顫振運動特性及轉遷規律。國外，Shaw等［7］對一類在簡諧激振力作用下有單側約束的單自由度振子做了研究，用中心流形定理分析了周期運動的局部分岔，并通過同宿相截條件討論了混沌運動。Peterka［8］研究了具有粘滯阻尼的碰撞振子中的擦邊分岔、周期倍化分岔和鞍結分岔之間的轉遷現象。K.Czotlczyński［9］研究了氣動軸承的線性、非線性剛度和阻尼系數確定方法，找到其阻尼系數與軸承參數與外部負載，角速度和振動頻率的關系。Leine等［10］對非光滑系統周期解的不連續分岔作了進一步的研究，分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發生的各種不連續分岔現象。Luo等［11］研究了一個分段線性周期激勵系統，通過建立相應映射，研究各類穩定和不穩定的周期運動。雖然國內外學者在非光滑領域進行了大量的研究，取得了豐碩的成果，但其選擇一般是低維自由度數，且是固定的碰撞面，而在大多數設備運行中質塊發生故障碰撞都是相對移動的。因此本文基于非線性理論，建立三自由度移動碰撞面非光滑模型，首次從理論結合數值仿真研究了該情況下系統由倍化分岔通向混沌的非線性行為，同時分析了阻尼對系統分岔、混沌等非線性行為的影響，為設備設計及故障診斷提供依據并為大型設備的運轉和故障分析提供技術支持。

1 三自由度彈性碰撞系統的運動及分析過程

首先，建立三自由度分段彈性模型，見圖1.M1，M2，M3分別為3個物體的質量；X1，X2，X3分別為M1，M2，M3的運動的位移；C1，C2，C3分別為M1與M2的阻尼，M2與M3之間阻尼，M3與固定端阻尼；K1，K2，K3分別為3個物體之間的剛度，K4為碰撞時質塊突變的接觸剛度；F1sin（Ω1T），F2sin（Ω2T）分別為作用在 M1，M2的等效作用力；D為碰撞間隙；Ω1與Ω2分別為質塊M1，M2，的旋轉頻率.

圖1 三自由度移動碰撞面彈性系統模型

圖2 系統二維相平面圖

為了描述該系統的運動過程，引入一個分界面.首先定義邊界函數，E＝X1－X2－D，分界面可表示為

該分界面用來區分物塊M1與M2剛接觸或分離的狀態，分別表示碰撞前的系統運動區間V－，碰撞后的運動區間V＋，這樣狀態空間被分界面分成2部分，見圖2.圖中：V＋＝ ｛X ∈（X1，X2）＞0｝表示物塊與斷彈簧K4接觸狀態；V－＝ ｛X ∈（X1，X2）＜0｝ 表示物塊與斷彈簧K4分離狀態.

根據上面的分析，可建立系統的運動學方程：

2 系統周期運動倍化分岔的Floquet特征乘子分析

將系統（3）和（4）寫為如下的規范式：

設系統（5）的一個解x（t）從區域v－出發，即x（t0）∈v－.在t＝tp時刻到達分界面∑.系統在區間B＝｛t∈≤t≤tp｝是連續的，相應的基解矩陣也是連續的.然而由于向量場f（t，x（t））在分界面處的非光滑性使得相應的Jacobian矩陣在分界面處通常是不連續的，這將引起系統整個基解矩陣不連續，因此在不連續處需要求出相應的切換矩陣.

下面求分界面處的切換矩陣.

1）從區域v－進入區域v＋時，對超平面∑：e＝x1－x2－d＝0，有法向量n＝ ［1，0，1，0，0，0］T，設一周期解x（t）到達分界面∑的時間為t1并交于點xt1.在t1時刻計算切換矩陣如下.

2）從區域v＋進入區域v－，設周期解x（t）到達分界面∑的時間為t2并交于點，在時刻t2有切換矩陣

下面求各光滑區域的基解矩陣.在區域v－系統的運動方程為

方程（10）的擾動在周期解x（t）處線性化系統的基解矩陣為

將切換矩陣（8）和（9）結合各子空間相應的基解矩陣（13）和（14）經過合成可得全局的單值矩陣.

于是系統的Floquet特征乘子即為單值矩陣（15）的特征值.對于系統（5）這樣的非光滑系統，由于分界面是光滑的，系統的Floquet特征乘子是連續穿越單位圓周的.當有一個Floquet特征乘子沿實軸從（－1，0）穿出單位圓，其他特征乘子仍位于單位圓內時，系統（5）穩定的周期解將發生倍化分岔.

3 數值分析

為了通過數值仿真進一步揭示滾動軸承系統（3）和（4）的倍化分岔通向混沌的現象，在分界面∑處取Poincare截面如下.

式中：θ＝ω1t；b＝R（mod 2π）為1個實數對2π取余數.

選取系統（3）和（4）的一組無量綱化參數：d＝0.001；f1＝20；f2＝0；m2＝0.02；m3＝30；ζ1＝0.05；ζ2＝0.08；ζ3＝0.02；k2＝50；k3＝80；k4＝10.以旋轉頻率ω1為分岔參數.

當ω1＝2.283 353 17；時（ωs為系統臨界分岔的旋轉頻率），系統對應的其中一個Floquet特征乘子為λ1＝λ（ωs）＝－0.999 998，接近單位圓周上的（－1，0）點；其他的特征值

仍在單位圓周內.由此可見系統在ω1＝2.289 667 851 2時發生了倍化分岔.系統隨ω1變化的分岔圖見圖3.

圖3 系統的分岔圖

圖4 ω1＝2.25時單周期運動的相圖和龐加萊截面圖

圖5 ω1＝2.284時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖

由圖3可見，系統起初處于穩定的單周期運動（見圖4）.當ω1＝2.283 353 17；時，系統經歷倍化分岔并過渡到周期二運動 （見圖5～6）.隨著旋轉頻率ω1的增加，在ω1＝2.35時，系統處于周期四運動（見圖7），在ω1＝2.42時系統處于周期八運動（見圖8），當旋轉頻率進一步增加時，系統最終通向了混沌運動（見圖9），如龐相萊截面上的奇怪吸引子.

圖6 ω1＝2.3時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖

圖7 ω1＝2.35時周期四運動的相圖和龐加萊截面圖

圖8 ω1＝2.42時周期八運動的相圖和龐加萊截面圖

同時研究了不同的阻尼系數對系統分岔的影響（見圖10），從圖10可以明顯看出，阻尼系數增加對系統的振動有很大的衰減作用，隨著阻尼系數的增大，系統的混沌狀態和分岔形式都變的簡單，尤其是圖10c），在旋轉頻率ω1相同的范圍內，系統只出現了一個簡單的倍化分岔.

圖9 ω1＝2.44時運動的相圖和龐加萊截面圖

圖10 不同的阻尼系數對系統分岔的影響

4 結束語

文中建立了三自由移動碰撞面非光滑系統模型，應用Floquet理論分析了該系統周期運動發生倍化分岔的條件.結果表明系統有1個Floquet特征乘子接近－1，其余Floquet特征乘子的模都小于1，系統在該點發生了倍化分岔，數值仿真進一步研究了系統由倍周期分岔通向混沌的非線性現象.同時研究不同的阻尼系數對系統分岔的影響，發現增大阻尼可以有效的減少系統的分岔混沌等非線性行為，該項研究可以為實際設計提供理論指導.

［1］趙文禮，周曉軍.碰撞阻尼器系統的分岔、混沌與控制［J］.振動工程學報，2007，20（2）：161－167.

［2］劉 莉，徐 偉，岳曉樂，等.一類含非黏滯阻尼的Duffing單邊碰撞系統的激變研究［J］.物理學報，2013，62（20）：1－8.

［3］戎海武，王向東，徐 偉，等.窄帶隨機噪聲作用下單自由度非線性碰撞系統的響應［J］.應用力學學報，2010，27（1）：73－82.

［4］徐慧東，謝建華.一類兩自由度分段線性非光滑系統的分岔與混沌［J］.振動工程學報，2008，21（3）：279－286.

［5］徐 斌，唐 云，楊鳳紅，等.分段線性連續系統中的同宿分岔［J］.動力學與控制學報，2013，11（1）：31－35.

［6］朱喜鋒，曹興瀟.兩自由度彈性碰撞系統的顫振運動及轉遷規律［J］.蘭州交通大學學報，2014，33（4）：191－195.

［7］SHAW S W，HOLMES P J.A periodically forced piecewise linear oscillator［J］.Journal of Sound and Vibration，1983，90（1）：129－155.

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［9］CZOTLCZY？SKI K.How to obtain stiffness and damping coefficients of gas bearings［J］.Wear，1996，201：265－275.

［10］LEINE R I，NIJMEIJER H.Dynamics and Bifurcation of Non－Smooth Mechanical Systems［M］.Berlin：Springer，2004.

［11］LUO A C J，CHEN L.Periodic motions and grazing in a harmonically forced，piecewise，linear oscillator with impacts［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，24：567－578.